12 添加辅助线1教师初一培优

1、 1 / 6 第十二讲 添加辅助线（1） 【中线倍长】 【例题1】如图，已知ACAB，AD 是ABC的中线，求证： 22 ABACACAB AD . 【解答】 【例题2】已知在ABC 中，AD 是 BC 边上的中线，E 是 AD 上一点，且 BEAC，延长 BE 交 AC 于 F，求证 AFEF. 【解答】证明：倍长 AD 至 G，连接 BG， 易证ADCGDB，所以GCAD，BGAC， BEAC，BGBEGBEG，CADBEG BEGAEF（对顶角相等）CADAEF，AFAE（等角对等边） 【例题3】如图，在ABC中，ACAB ，D 在 AB 的延长线上，且ABBD ，E 是 AB 的中点，

2、连 接 CD、CE. 求证：CDCE 2 1 . DBC A 2 / 6 【解答】 【例题4】已知：如图，在ABC中，ABAC，DE、在BC上，且DEEC，过D作DFBA 交AE于点F，DFAC.求证AE平分BAC. 证明：延长 FE 至 G，使得 EGEF，连结 CG， 易证DEFCEG，所以 DFCG，DFECGE DFAC，CGAC，CAECGE， 又DFBA，BAEDFE，BAECAE AE 平分BAC。 【角平分线翻折】 【例题5】如图，CDAB/，AE、DE分别平分BAD和ADC，过E作直线交AB于B，交 DC于C，若2AB，3DC，则AD_； 解：5 【例题6】如图，在中，求证：

3、. 【解答】 ABCCABC221，ACBDAB 3 / 6 【例题7】如图，已知ABC中， 90A，AB=AC，B的平分线交 AC 于 D，作 CEBD 交 BD 的延长线于 E。求证：BD=2CE。 【旋转】 【例题8】如图，等边三角形ABC与等边DEC共顶点于C点求证：AEBD 【例题9】如图，四边形ABCD、DEFG都是正方形，连接AE、CG求证：AECG D E C B A B C A D G F E D C B A 4 / 6 【例题10】如图，B，C，E三点共线， 且ABC与DCE是等边三角形， 连结BD，AE分别交AC， DC于M，N点求证：CMCN 【例题1】AD为ABC中B

4、C边上的中线，若2AB，4AC，则 AD 的取值范围是 _。 【例题2】如图，C在线段AB上，在AB的同侧作等边三角形ACM和BCN，连AN、BM，若 38MBN，求ANB的度数. 【例题3】以ABC 的两边 AB、AC 为边向外作正方形 ABDE、ACFG，求证：CE=BG，且 CEBG O G F E D CB A NM E D C B A 5 / 6 【例题4】如图， 正方形OGHK绕正方形ABCD中点O旋转， 其交点为E、F， 求证：AECFAB 【备用】 1. 如图，ABC中，4,7,ABACM 是 BC 的中点，AD 平分,BAC过 M 作/ /,FMAD交 AC 于 F，求FC的

5、长度. 法二：，并延长 AD 与 BN 交于点 E,由三角形全等易证 ACBN ，由角平分线性质可得 BE=AB=4,且知 FC=BN，而/ /,FMAD四边形 AENF 是平行四边形，即 AF=EN.由 4 7 FCEN FCAF 得到 FC=5.5 5 4 3 2 1 O H B E D K G C F A 6 / 6 2. 如图，等腰直角三角形ABC中，90B，ABa，O为AC中点，EOOF求证：BEBF 为定值 3. 已知ABC，AD是BC边上的中线，分别以AB边、AC边为直角边各向形外作等腰直角三角 形. （1） 求证：2EFAD； （2） 求证：ADEF； （3） 联结ECBF、，试证明：EC垂直且等于BF. 证明：解法一：延长AD至G，使得DGDA，连结BG 易证BDGCDA，所以BGCA，GCAD， ABE与ACF是等腰直角三角形 AEAB，BAE90，ACAF，CAF90BGAF 又EAF=360-BAE-CAF-BAD-CAD 180-BAD-CADABG180-BAD-GEAF ABG ABGEAF AGEF 又AG2A