2016届吉林省长春市普通高中高三质量监测(二)数学(理)试题(解析版)

1、.2016届吉林省长春市普通高中高三质量监测（二）数学（理）试题一、选择题1复数，在复平面内对应的点关于直线对称，且，则（ ）A B C D 【答案】D【解析】试题分析：复数在复平面内关于直线对称的点表示的复数，故选D【考点】复数的运算2若实数，且，则下列不等式恒成立的是（ ）A B C D 【答案】C【解析】试题分析：根据函数的图象与不等式的性质可知：当时，为正确选项，故选C【考点】不等式的性质3设集合，则（ ）A BC D【答案】C【解析】试题分析：由题意可知，则，故选C【考点】集合的关系4设等差数列的前项和为，且，当取最大值时，的值为（ ）A B C D【答案】B【解析】试题分析：由题意

2、，不妨设，则公差，其中，因此，即当时，取得最大值，故选B【考点】等差数列的通项公式及其前项和5几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A B C D【答案】C【解析】试题分析：该几何体可视为长方体挖去一个四棱锥，其体积为，故选C【考点】空间几何体体积计算6已知变量服从正态分布，下列概率与相等的是（ ）A B C D【答案】B【解析】试题分析： 由变量服从正态分布可知，为其密度曲线的对称轴，因此，故选B【考点】正态分布的性质7函数与的图象关于直线对称，则可能是（ ）A B C D【答案】A【解析】试题分析：由题意，设两个函数关于对称，则函数关于的对称函数为，利用诱导公式将其化为余弦表达式为

3、，令，则，故选A【考点】三角函数的图象和性质8已知为圆的直径，点为直线上任意一点，则的最小值为（ ）A B C D 【答案】A【解析】试题分析：由题意得，设，则，当且仅当时，等号成立，故选A【考点】1圆的标准方程；2平面向量数量积及其运用9已知函数满足，当时，当时，若定义在上的函数有三个不同的零点，则实数的取值范围是（ ）A BC D【答案】D【解析】试题分析：当时，即在上的解析式为，又，的图象关于点对称，可将函数在上的大致图象如下图所示，令，而表示过定点斜率为的直线，由图可知为其临界位置，当时，联立，并令，可求得，因此直线的斜率的取值范围是，故选D【考点】1函数与方程；2数形结合的数学思想1

4、0小明试图将一箱中的24瓶啤酒全部取出，每次小明在取出啤酒时只能取出三瓶或四瓶啤酒，那么小明取出啤酒的方式共有（ ）种A B C D【答案】C【解析】试题分析：由题可知，取出酒瓶的方式有3类，第一类：取6次，每次取出4瓶，只有1种方式；第二类：取8次，每次取出3瓶，只有1种方式；第三类：取7次，3次4瓶和4次3瓶，取法为，为35种；共计37种取法，故选C【考点】排列组合11过双曲线的右支上一点，分别向圆和圆作切线，切点分别为，则的最小值为（ ）A B C D【答案】B【解析】试题分析：由题可知，因此，故选B【考点】圆锥曲线综合题二、填空题12已知实数，满足，则的最小值为_【答案】【解析】试题分

5、析：根据不等式组获得可行域如下图，令，可化为，因此当直线过点时，取得最小值为，故填：【考点】线性规划13已知向量，则当时，的取值范围是_【答案】【解析】试题分析：由题意，为，根据向量的差的几何意义，表示向量终点到终点的距离，当时，该距离取得最小值为，当时，根据余弦定理，可算得该距离取得最大值为，即的取值范围是，故填：【考点】平面向量的线性运算14已知，展开式的常数项为15，则_【答案】【解析】试题分析：由的常数项为，可得，因此原式为，故填：【考点】1二项式定理；2定积分的计算15已知数列中，对任意的，若满足（为常数），则称该数列为阶等和数列，其中为阶公和；若满足（为常数），则称该数列为阶等积数

6、列，其中为阶公积，已知数列为首项为的阶等和数列，且满足；数列为公积为的阶等积数列，且，设为数列的前项和，则 _【答案】【解析】试题分析：由题意可知，又是4阶等和数列，因此该数列将会照此规律循环下去，同理，又是3阶等积数列，因此该数列将会照此规律循环下去，由此可知对于数列，每12项的和循环一次，易求出，因此中有168组循环结构，故，故填：【考点】1新定义问题；2数列求和三、解答题16已知函数（1）求函数的最小正周期和单调减区间；（2）已知的三个内角，的对边分别为，其中，若锐角满足，且，求的面积【答案】（1）最小正周期：，单调递减区间：；（2）【解析】试题分析：（1）对的表达式进行三角恒等变形，再

7、利用三角函数的性质即可求解；（2）首先求得的值，再结合正余弦定理列出相应的式子，即可求解试题解析：（1） ，因此的最小正周期为，的单调递减区间为，即；（2） 由，又为锐角，由正弦定理可得，则，由余弦定理可知，可求得，故【考点】1三角恒等变形；2正余弦定理解三角形17近年来我国电子商务行业迎来篷布发展的新机遇，2015年双11期间，某购物平台的销售业绩高达918亿人民币与此同时，相关管理部门推出了针对电商的商品和服务的评价体系现从评价系统中选出200次成功交易，并对其评价进行统计，对商品的好评率为06，对服务的好评率为075，其中对商品和服务都做出好评的交易为80次（1）是否可以在犯错误概率不超

8、过01%的前提下，认为商品好评与服务好评有关？（2）若将频率视为概率，某人在该购物平台上进行的5次购物中，设对商品和服务全好评的次数为随机变量：求对商品和服务全好评的次数的分布列（概率用组合数算式表示）；求的数学期望和方差（，其中）【答案】（1）可以；（2）详见解析【解析】试题分析：（1）得到对应的列联表，根据条件中给出的数据以及公式计算相应的值，比较大小即可判断；（2）计算离散型随机变量取到各个可能值时对应的概率，列出分布列后即可求解试题解析：由题意可得关于商品和服务评价的列联表： 对服务好评对服务不满意合计对商品好评8040120对商品不满意701080合计15050200，可以在犯错误概

9、率不超过01%的前提下，认为商品好评与服务好评有关；（2）每次购物时，对商品和服务都好评的概率为，且的取值可以是0，1，2，3，4，5， 其中；，的分布列为：012345由于，则，【考点】1独立性检验；2离散型随机变量的概率分布与期望和方差18在四棱锥中，底面是菱形，平面，点为棱的中点，过作与平面平行的平面与棱，相交于，（1）证明：为的中点；（2）若，且二面角的大小为，的交点为，连接，求三棱锥外接球的体积【答案】（1）详见解析；（2）【解析】试题分析：（1）根据已知条件中面面，再利用面面平行的性质可知，从而得证；（2）根据题意可以建立空间直角坐标系，根据二面角的大小可求出的长度，进而进一步通过

10、补形确定外接球的球心与半径试题解析：（1）连接，面面，面面，面面，即为的中位线，为中点；（2）以为原点，方向为轴，方向为轴，方向为轴，建立空间直角坐标系， 则，从而，则，又，则，由题可知，即三棱锥外接球为以，为长、宽、高的长方体外接球，则该长方体的体对角线长为，即外接球半径为，则三棱锥外接球的体积为【考点】1面面平行的性质；2二面角的求解；3空间向量在立体几何中的运用19椭圆的左右焦点分别为，且离心率为，点为椭圆上一动点，内切圆面积的最大值为（1）求椭圆的方程；（2）设椭圆的左顶点为，过右焦点的直线与椭圆相交于，两点，连结，并延长交直线分别于，两点，以为直径的圆是否恒过定点？若是，请求出定点坐

11、标；若不是，请说明理由【答案】（1）；（2）详见解析【解析】试题分析：（1）分析题意可知点为短轴端点时取到最大值，再根据条件中数据求出，的值即可；（2）设直线的方程为，再将以为直径的圆的方程表示出来，说明其方程上有点的坐标与的取值无关即可试题解析：（1） 已知椭圆的离心率为，不妨设，即，其中，又内切圆面积取最大值时，半径取最大值为，由，由为定值，因此也取得最大值，即点为短轴端点，因此，解得，则椭圆的方程为；（2）设直线的方程为， 联立可得，则，直线的方程为， 直线的方程为， 则，假设为直径的圆是否恒过定点，则，即，即，即，若为直径的圆是否恒过定点，即不论为何值时，恒成立，因此，或，即恒过定点和

12、【考点】1椭圆的标准方程及其性质；2直线与椭圆的位置关系；3圆锥曲线中的定点问题20已知函数在点处的切线与直线平行（1）求实数的值及的极值；（2）若对任意，有，求实数的取值范围；【答案】（1），有极小值为；（2）【解析】试题分析：（1）首先求导，根据导数的几何意义可求得的值，再根据导数的取值情况确定原函数的极值点；（2）将原不等式变形为，再构造对应函数，将问题等价转化为求函数最值即可试题解析：（1）由题意得，又，解得，令，解得，即有极小值为；（2）由，可得，令，则，其中，又，则，即，因此实数的取值范围是【考点】导数的综合运用21选修41：几何证明选讲如图，过圆外一点的作圆的切线，为切点，过的中

13、点的直线交圆于，两点，连接并延长交圆于点，连接交圆于点，若（1）求证：；（2）求证：四边形是平行四边形【答案】（1）详见解析；（2）详见解析【解析】试题分析：（1）证明，再根据相似三角形的判定即可得证；（2）证明，根据平行四边形的判定即可得证试题解析：（1）由题意可知，则为的中点，则，即，因此，则，由可得，即，则；（2）由（1），又，则，可得，由，则，可得，因此四边形是平行四边形【考点】1割线定理；2相似三角形的判定；3平行四边形的判定22选修44：坐标系与参数方程在直角坐标系中，曲线的参数方程为（是参数），以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为（1）求曲线的直角坐标方程，并指出其表示何种曲线；（2）若曲线与曲线交于，两点，求的最大值和最小值【答案】（1）曲线的直角坐标方程为，其表示一个圆；（2）最小值为，最大值为【解析】试题分析：（1）利用，可将的极坐标方程化为相应直角方程，即可求解；（2）联立，的方程，将表示为相应的函数关系式，从而求解试题解析：（1）对于曲线有，即，因此曲线的直角坐标方程为，其表示一个圆；（2）联立曲线与曲线的方程可得：，因此的最小值为，最大值为 【考点】1极坐标方程与直角坐标方程的相互转化；2直线与圆的位置关系23选修45：不等式选讲设函数（1）若不等式恒成立，求实数的取值范围；（2）若不等式恒成立，求实数