高代2考试试卷

1、试卷1一、填空题 (每小题3分,共15分)1、若二次型是正定二次型，则t的取值范围是 。2、线性空间Pxn中的向量f(x)，在基下的坐标是 。3、n维线性空间V的数乘变换A：在基e1，en下的矩阵是 。4、已知方阵A的不变因子是1、1、，则A的若当标准形是 。5、设l是正交变换A的特征值，则l = 。二、选择题 (每小题3分,共15分)1、若二次型经非退化线性替换变为二次型，则下列（ ）不成立。（A）A与B秩相等 （B）A与B相似 （C）A与B合同 （D）A与B等价2、设V1和V2是n维线性空间V的两个子空间，若和V1 + V2是直和，则（ ）。（A）维(V1 ) + 维(V2 )= n （B

2、）维(V1 ) +维(V2 ) 维( V1 + V2)3、在Px的下列变换中，（ ）不是线性变换。（A）A (f(x) = （B）A (f(x) = f /(x) （C）A (f(x) = f(x)2 （D）A (f(x) = f(x + x0) （x 0是P中固定的数）4、在下列条件中，（ ）不是两个同级复矩阵A与B相似的充分必要条件。（A）lE - A与lE - B等价 （B）A与B有相同的特征多项式（C）A与B有相同的不变因子 （D）A与B有相同的初等因子5、设a = (x1，xn)，b = (y1，yn)是R n中的向量，R n关于内积（ ）不构成欧氏空间。（A）(a，b) = x1y

3、1 + x2y2 + + xnyn （B）(a，b) = -x1y1 - x2y2 - - xnyn（C）(a，b) = x1y1 + 2x2y2 + + n xnyn （D）(a，b) = n(x1y1 + + xnyn)三、本题满分14分 已知二次型，求正交线性替换X = TY，把化为标准形。四、本题满分12分 已知是3维线性空间V的一组基，。（1）证明，也是V的一组基；（2）若V中的向量在基下的坐标为(3，2，1)，求在基下的坐标。五、本题满分10分 设P3的线性变换A把P3的基a1 = (1，0，0)，a2 = (2，1，0)，a3 = (1，1，1)变为基b1 = (1，2，-1)，

4、b2 = (2，2，-1)，b3 = (2，-1，-1)，求A在基和基下的矩阵六、本题满分10分 设齐次线性方程组，（1）求解空间W；（2）求W在R4中的正交补W七、本题满分6分 设A为n级正定矩阵，B是n级实反对称矩阵，证明：A - B2是正定矩阵。八、本题满分6分 设V1和V2都是线性空间V的子空间，若V1V2也是V的子空间，则V1V2 = V1 + V2九、本题满分6分 设A是线性空间V的线性变换，证明，A2 = q(零变换)的充分必要条件是 AV A-1(0) 。十、本题满分6分 设a，b是欧氏空间V中两个向量，若|a| = |b|，证明a + b与a - b正交并在R2中说明几何意义

5、试卷2一、填空题 (每小题3分,共18分)1、已知实二次型的正惯性指数等于3，则的取值范围是 。2、已知的向量，则= 。3、设在欧氏空间向量与的夹角为，则= 。4、设方阵的不变因子为1，1，则的若当标准形为 。5、的微商变换在基下的矩阵是 。6、中的向量在基下的坐标为 。二、选择题 (每小题3分,共18分)1、设是元实二次型，则（ ）是正定的必要条件，但不是充分条件。（A），有；（B）矩阵的各阶顺序主子式都大于0 （C）矩阵的行列式大于0（D）矩阵的特征值都大于02、设是正交矩阵，则（ ）不一定是正交矩阵 （A）（是实数） （B） （C） （D）3、设是维欧氏空间的子空间，若，则（ ）。 （A

6、）维(V1 ) + 维(V2 )= n （B）维(V1 ) +维(V2 ) 维( V1 + V2)4、设是欧氏空间的线性变换，（ ）不是为正交变换的充分必要条件。 （A） （B） （C） （D）5、在下面所定义的变换中，（ ）不是线性变换。 （A）在中， （B）在中，其中，是一固定的数 （C）把复数域看作复数域上的线性空间， （D）在中，其中是两个固定的矩阵6、设是数域上维线性空间，=|是的线性变换，则与下列中的（ ）同构 （A） （B） （C） （D）三、本题满分12分 已知二次型，求正交线性替换，把化为标准形。四、本题满分8分 在中，求基，到基，的过渡矩阵，并求向量在这两个基下的坐标。五、

7、本题满分8分 已知，求，使是的标准正交基。六、本题满分8分 设是数域，证明是的子空间，并求的一组基和维数。七、本题满分6分 设是线性空间上的线性变换，但。证明（1）的维数为。 （2）是的不变子空间。八、本题满分6分 设是维线性空间的线性变换，则可逆 九、本题满分8分 设矩阵 ，（1）证明x不论取何值，A都不可能是正定矩阵。 （2）x取何值时，A为正交矩阵。十、本题满分8分 设是欧氏空间一单位向量，定义：，（1）证明是的线性变换。 （2）当取何值时，是正交变换，并讨论的类型。试卷3一、填空题 (每小题3分,共18分)1、设为数域上矩阵，如果有上可逆的矩阵，使 ，那么称合同.2、如果是线性空间的两

8、个子空间，那么有维数公式：维(V1 ) + 维(V2 )= .3、设三维线性空间上的线性变换A在基下的矩阵为，则A在基下的矩阵为 .4、设三级矩阵的特征值，则行列式 .5、在欧氏空间中与向量都正交的单位向量等于 .6、设A为欧氏空间上的线性变换，如果对任意的，均有 ，那么称A为对称变换.二、选择题 (每小题3分,共18分)1、设均为矩阵，如果，则当（ ）时，必有.（A）秩秩； （B）； （C）； （D）且.2、设是级正交矩阵，则下列命题错误的是（ ）. （A）必为可逆矩阵； （B）；（C）必为正交矩阵；（D）必为正交矩阵.3、有限维欧氏空间的任意一组基的度量矩阵一定是（ ）. （A）正定矩阵；

9、 （B）正交矩阵； （C）对角矩阵； （D）三角矩阵.4、不能与“线性变换A为正交变换”等价的是（ ）. （A）； （B）； （C）； （D）.5、下列命题中正确的是（ ）. （A）级矩阵必有个线性无关的特征向量； （B）实对称矩阵一定可以对角化； （C）行列式大于零的实对称矩阵一定是正定矩阵；（D）矩阵的特征向量的非零线性组合仍为特征向量.6、设是欧氏空间的两个子空间，则必有（ ）. （A）； （B） ； （C）； （D）.三、计算题 (12分) 已知，（1）试求正交矩阵，使为对角形；（2）试求二次型的标准形.四、计算题 (12分) 在线性空间中，求基，到基，的过渡矩阵，并求向量在基，下的坐

10、标.五、计算题 (10分) 设矩阵，试求的若尔当标准形六、证明题 (8分) 设是数域，证明是的子空间，并求的一组基和维数.七、证明题 (8分) 设为级实矩阵，证明：是正定矩阵.八、证明题 (8分) 设是线性变换A的两个不同特征值，是分别属于的特征向量，（1）证明线性无关；（2）证明不是A的特征向量.九、证明题 (4分) 设A，B是两个线性变换，且AB=A，BA=B，证明.十、讨论题 (8分) 设都是级矩阵，(1)如果相似，证明的特征多项式相等；（2）举例说明（1）的逆命题不成立；(3)如果都是实对称矩阵，且它们的特征值相等，证明：存在正交矩阵，使试卷4一、计算题10%在中求单位向量，使之同时与

11、向量中每一个都正交二、计算题12%设矩阵，试求(1)的不变因子、初等因子；(2)的若当标准形三、填空题15% （每小题3分）1、已知三级矩阵的特征值为，为的伴随矩阵，为单位矩阵，则行列式.2、设向量，则由生成的子空间的维数等于3、实二次型的正惯性指数等于 4、在中，则线性变换的核为5、级正交矩阵的个列向量可作为欧氏空间的一组 基四、证明题8%设是对称变换的两个不同的特征值，分别是属于的特征向量，证明必正交.五、解答题12%设，令(1)证明是的子空间；(2)若，求的维数和一组基 六、单项选择题15%（每小题3分）1、设是正定矩阵，则的取值范围是( )(A)； (B)； (C)； (D)2、设是3维线性空间的一组基，则由基到基的过渡矩阵是( ).(A)； (B)； (C)； (D).3、设是线性空间上的线性变换，则在的基下的矩阵是( ).(A)；(B)；(C)；(D) 4、设矩阵，则在复数域上与( ).(A)合同，且相似； (B)不合同，但相似； (C)合同，但不相似