内切球与外接球习题讲义教师版

1、立体几何中“内”与“外”问题的探讨1个球和圆柱体规则圆柱体，如立方体、长方体、规则棱柱等。可以和球完全结合。它们可以组合成两种形式：外接式和内接式。球的半径与棱镜的边缘相连，然后检查几何体的体积或表面积。1.1球和立方体如图1所示，对于一个立方体，让它的边的长度，边的中点，和球的中心。有三种常见的组合：第一，一个内接球体，其球体是立方体，其横截面是正方形及其内切圆；第二个是与立方体的每条边相切的球体，它的横截面是正方形和它的外接圆。第三，球是一个立方体外切球，横截面为矩形，外切圆。通过这三种类型可以发现，解决立方体和球体的组合问题，常用的工具是截面图，即根据组合形式找到两个几何体的轴向截面，并

2、通过两个截面图的位置关系确定立方体的边与球体的半径之间的关系，从而将空间问题转化为平面问题。例1如果一个长为单侧的立方体的8个顶点都在球的表面上，并且分别是边的中点，那么被球切割的直线的线段长度为()A.学士学位1.2球和长方体长方体的每个顶点都可以在球面上，所以长方体中有一个外接球体。然而，不一定有一个内接球体。让长方体的边长是长方体的对角线。当球体是长方体的外接球体时，截面图是长方体及其外接圆的对角线面，立方体的外接球体原理相同，所以球体半径相同例2在一个长、宽、高分别为2、2、4的长方体中有一个半径为1的球。如果长方体任意摆动，球通过的空间体积是()A.B4直流电1.3球体和规则棱镜球和

3、规则棱柱的组合通常是外部连接的形式。下面，以正三棱镜为例，介绍解决这类问题的方法，构造直角三角形法。假设正三棱柱的高度为，底面的边长为，如图2所示，上底面和下底面的中心分别为。根据几何学的特点，球体的中心必须落在高度的中间。借助直角三角形的毕达哥拉斯定理，它可以被发现。例3如果正四边形棱柱的每个顶点都在一个有半径的球面上，那么正四边形棱柱的横向面积的最大值为。2个球和圆锥体规则的圆锥，如正四面体、规则的金字塔和特殊的金字塔，可以与球完全结合，并与外接式和内切式结合。球的半径与金字塔的边缘和高度有关，然后检查几何的体积或表面积和其他相关问题。2.1球体和正四面体正四面体作为一个规则的几何体，既有

4、外切球又有内切球，两个中心是统一的。利用这一点，球的半径和正四面体的边长之间的关系可以很好地解决。如图4所示，让正四面体的边长为，内接球体的半径为，外接球体的半径为，中点作为底面上的投影，连接是正四面体的高度。在横截面三角形中，画一个与边相切的圆，圆的中心在高度上，这是内切球的横截面。由于正四面体本身的对称性，外切球和内切球的中心是相同的。在这个时候，有一个解决方案：这个解决方案是通过使用联合两个中心的思想来建立两个球体半径之间的平等关系来解决的。同时，我们可以发现球体的中心是正四面体高度的四分之一。如果我们牢记这些数量关系，它将为解决方案带来极大的便利。实施例4将半径为1的四个钢球完全填充到

5、正四面体形状的容器中。这个正四面体高度的最小值是()A.公元前2世纪到公元4世纪球的中心首先，如果三棱锥的三条边相互垂直且相等，它们可以互补成一个立方体，并且它的外切球面的中心是三棱锥的外切球面的中心。如图5所示，三棱锥的外切球的中心与立方体的外切球的中心重合。第二，如果三棱锥的三个侧边相互垂直且不相等，它们可以被补充成一个长方体，并且它的外切球的球面中心是三棱锥的外切球的球面中心(它是长方体对角线的长度)。例5在正三棱锥中，边的中点分别是，如果边是侧边，则正三棱锥的外接圆的表面积是。2.3球体和规则金字塔球和规则金字塔有两种常见的组合。一个是球体是三棱锥的外接球体。此时，三角金字塔的每个顶点

6、都在球体上。根据横截面的特点，可以构造一个直角三角形来解决这个问题。第二个是球体是规则金字塔的内接球体，例如，规则三角金字塔的内接球体。球体与正三棱锥的四个面相切，从球体中心到四个面的距离相等，都是球体半径。因此，球体的半径可以转换成从球体中心到三棱锥的距离。因此，可以采用等体积法来解决问题，即四个小三角锥的体积和正三角锥的体积。实施例6在三棱锥p-ABC中，PA=Pb=PC=，侧边PA和底面ABC如果角度是60度，三棱锥外接圆的体积是()A.公元前4世纪2.4球和特殊金字塔当一个球与一些特殊的棱锥体组合在一起时，它必须掌握棱锥体的几何性质，并且可以用截面法、互补形状法等方法求解。例如，四面体

7、是直角三角形的三棱锥，直角三角形斜边中点的几何特征可以用来巧妙地定位球心。如图8所示，三棱锥的中点，即令人满意的表面，是从直角三角形的性质中获得的，因此该点是三棱锥的外切球面的中心。例7在矩形中，如果矩形被折叠成一个直的二面角，四面体的外接圆的体积是()A.学士学位3个球和球将多个小球组合成一个复杂的几何问题需要丰富的空间想象力。要解决这类问题，必须掌握适当的处理方法，如准确地确定每个小球的球心位置关系，或熟练地利用截面图等方法将空间问题转化为平面问题。例8如果将4个相同大小的小球放在一个半径为的球中，小球的最大半径为()这4个球与几何图形的每条边相切球面与几何中每条边相切问题的关键是掌握边与

8、球面相切的几何性质，从而确定球面中心的位置。然后，构造一个直角三角形来变换和解决问题。例如，与正四面体的每条边相切的球体半径是相对边半径的一半。实施例8如图10所示，将橡胶球放置在由8根长度为20厘米的铁丝组成的金字塔形框架中。如果橡胶球的表面与8根铁丝有接触点，橡胶球的半径为()A.学士学位根据以上四种类型，解决外切球面问题主要是指外切多面体和球体的旋转体。解决问题时，切点必须找到，并通过制作截面来解决。如果外切多面体是一个多面体，那么通过球体中心的多面体的对角线平面主要是用来制作截面的。将一个多面体的几个顶点放在一个球面上是内接球面的问题。解决这类问题的关键是掌握内接球面的特征，即从球面中

9、心到多面体顶点的距离等于球面的半径。这个问题可以解决3.正三棱柱与半径为的球体相连。如果两点之间的球面距离为，则正三棱柱的体积为。答案84.如果具有表面积的八面体的每个顶点都在同一个球面上，则球面的体积为A.学士学位回答a【解析】这个八面体是一个等边三角形，每条边都有长度。因此，根据知识，这个球的直径是，所以选择A。5.给定立方体所包围的球体的体积，立方体边缘的长度等于()公元前2世纪答案d6.(山东体积)立方体的内切球和外切球的体积比()A.1B13c 13d 19答案c7.(宁夏科学海南)六角棱镜的底面是正六边形，其侧边垂直于底面。众所周知，六棱柱的顶点都在同一个球面上，六棱柱的体积是，底

10、面的周长是3，那么球的体积是。回答8.(李天金)如果一个长方体的每个顶点都在同一个球的球面上，并且一个顶点上的三条边的长度分别是1、2和3，那么球的表面积是。回答9.(国家科学二)正四棱柱的每个顶点都在一个直径为2厘米的球面上。如果正四棱柱的底面长1厘米，则棱柱的表面积为2厘米。回答ABCPDEF10.(辽宁)如图所示，如果在半径为2的半球上有一个内接正六角锥，那么这个正六角锥的侧向面积是_ _ _ _ _ _。回答11.(辽宁省抚顺市第一中学)一个长度为2的正四面体的四个顶点都在同一个球面上。如果图中显示了穿过球体中心的横截面，则图中三角形(正四面体的横截面)的面积为。回答12.(枣庄模具)右图显示了一个几何体的三个视图，那么捕捉球的几何体的表面积是()工商管理硕士以上都不是真的答案c13.(吉林省吉林市)如果立方体的棱柱长度是，它的外接球体的表面积是