微积分在实际中的应用

1、微积分在实践中的应用首先，微积分的发明过程如果把整个数学比作一棵大树，那么初等数学就是树的根，数学的各个分支都是分支，主干的主要部分是微积分。微积分是人类智力最伟大的成就之一。微积分是微分学和积分学的总称。它是一种数学思想，“无限细分”意味着微分，“无限积分”意味着积分。微积分是一套关于变化的理论，包括求导运算。它使得函数、速度、加速度和曲线斜率可以用一组通用符号来讨论。积分学，包括积分的计算，提供了一套定义和计算面积、体积等的通用方法。微积分的产生一般分为三个阶段：极限的概念，求无穷小面积的方法，积分和微分之间的相互关系。在前两个阶段的工作中，来自欧洲和中国的许多数学家都做出了自己的贡献。从

2、17世纪开始，随着社会的进步和生产力的发展，以及航海、天文、矿山建设等许多问题有待解决，数学也开始研究数量的变化。数学进入了“可变数学”时代，即微积分被不断提升为一门学科。整个17世纪，数十名科学家为微积分的创立进行了开创性的研究，但牛顿和莱布尼茨使微积分成为数学的一个重要分支。第二，微积分的思想从微积分成为一门学科的角度来看，那是在17世纪，但是分化和整合的思想早在古代就已经出现了。公元前3世纪，古希腊数学家和机械师阿基米德(公元前287-212年)已经在他的著作圆的测量和论球与圆柱中包含了微积分的基础知识。他在研究解决抛物线下的弓形面积、球面和冠状面积、螺旋线下的面积和旋转双曲线的体积等问

3、题时，隐含了现代积分的思想。作为微积分的基本极限理论，它早在中国古代就被详细讨论过。同时，战国时代的庄子在庄子天下篇中说“一尺抵半日，万世无尽”，体现了无限可分性和有限性的思想。公元3世纪，刘辉在九章算术中提到，用正多边形近似圆周“切圆的技术很薄，损耗很小，切得很小，不能切，与圆周和身体一致，不损耗任何东西”。这是极限理论的成功应用。他的极限思想和无穷小方法也是世界古代极限思想的深刻体现。尽管欧洲人最终真正研究并完成了微积分的创造，但微积分在中国古代数学中的杰出工作却不容忽视。从刘辉对圆锥、圆台和圆柱体积公式的证明，到14世纪初数学史上的重要成就，如矢割、组合数学、计算技术改革和算盘计算，中国

4、古代数学在前两个阶段都有出色的工作，其中许多是微积分产生的关键。中国具备了17世纪微积分发明之前的所有内部条件，并且接近微积分的大门。遗憾的是，元代以后，文人八股的创作成为学术领域的一大挫折。封建文化专制和盲目排斥导致了包括数学在内的科学的逐渐衰落，并在微积分的创造中留下了最关键的一步。意大利数学家卡瓦列里在1635年发表了连续不可分几何，他认为曲线是无限多的线段(不可通约)。所有这些都为微积分的诞生做好了准备。第三，解析几何为微积分的创立奠定了基础。16世纪后，欧洲封建社会日益衰落，取而代之的是资本主义的兴起，这为科学技术的发展开辟了光明的前景。到17世纪，许多著名的数学家、天文学家和物理学

5、家已经做了大量的研究来解决上述问题。笛卡尔于1637年发表了科学中的正确运用理性和追求真理的方法论(简称方法论)，从而建立了解析几何，表明几何问题不仅可以归结为代数形式，而且几何性质可以通过代数变换来发现和证明。他不仅用坐标表示点的位置，而且还把点的坐标应用到曲线上。他认为点会移动成直线，所以方程不仅可以表示已知数和未知量之间的关系，变量和变量之间的关系，而且还可以表示曲线，从而建立方程和曲线之间的对应关系。此外，笛卡尔打破了体积面积和长度不能加或减的限制。因此，各种数量的几何图形可以转化为代数数之间的关系，从而使几何和代数在数量上统一起来。笛卡尔由此统一了对立的“数”和“形”，从而实现了数学

6、史上的一次飞跃，更重要的是，它为微积分的成熟提供了必要的条件，从而为变量数学开辟了广阔的空间。四、牛顿的“流动数”数学史上的另一个飞跃是研究“形状”的变化。17世纪生产力的发展促进了自然科学和技术的发展。不仅现有的数学成果得到了进一步的巩固、丰富和拓展，而且由于实践的需要，我们开始研究运动物体和变化量，从而获得了变量的概念，研究了变化量的一般性及其相关性。17世纪下半叶，伟大的英国数学家和物理学家牛顿(16421727)在前人创造性研究的基础上，从物理学的角度研究了微积分。为了解决运动问题，他创立了一种与物理概念直接相关的数学理论，即牛顿的理论“流量计数”，这实际上是微积分理论。牛顿关于“流量

7、计数”的主要著作是求曲边形面积、运用无穷多项方程的计算法和流数术和无穷极数。这些概念是力的概念的数学反映。牛顿认为任何运动都存在于空间中，并且依赖于时间，所以他把时间作为自变量，把与时间相关的固体变量作为流率。不仅如此，他还把几何图形线、角和物体作为机械位移的结果。因此，所有变量都是流。五、牛顿指出，“流量计数”基本上包括三类问题。(1)知道流量之间的关系并找到它们的流量之间的关系相当于微积分。(2)了解代表流量之间关系的方程式，找出相应流量之间的关系。这相当于积分。牛顿积分法不仅包括寻找原始函数，还包括求解微分方程。(3)“流量计数”的应用范围包括计算曲线的最大值和最小值、求曲线的切线和曲率

8、、求曲线的长度和计算曲线的边面积。牛顿充分意识到上述两类问题(1)和(2)中的运算是互逆运算，从而建立了微分学和积分学之间的联系。牛顿在1665年5月20日的手稿中提到了“流量计数”，所以有些人把这一天作为微积分诞生的象征。六、莱布尼茨使微积分更加简洁和准确然而，德国数学家莱布尼茨(16461716)独立于几何发现了微积分。在牛顿和莱布尼茨对微积分的诞生做出开创性贡献之前，至少有几十位数学家研究过它。但是他们的工作是零碎的，不连贯的，缺乏统一性。莱布尼茨以不同于牛顿的方式创造了微积分。莱布尼茨研究了曲线的切线和曲线所包围的区域，引入了微积分的概念，并利用解析方法得到了算法。牛顿在微积分的应用中

9、更多地结合了运动学，并且他的造诣比莱布尼茨更高。然而，莱布尼茨用数学符号的表述远胜于牛顿，这不仅简明准确地揭示了微积分的本质，而且促进了高等数学的发展。莱布尼茨的微积分符号促进了微积分的发展，就像印度阿拉伯数字促进了算术和代数的发展一样。莱布尼茨是数学史上最杰出的符号创造者之一。牛顿当时使用的微分和积分符号现在没有使用，而莱布尼茨使用的符号今天仍然在使用。莱布尼茨比其他人更早、更清楚地认识到，好的符号可以大大节省思考的劳动，而使用符号的技巧是数学成功的关键之一。7.牛顿-莱布尼茨公式的进一步发展事实上，他们两个独立建立了微积分。最后，还应该指出，牛顿的“流量计数技术”在概念上不够清晰，在理论上

10、不够严密。它在操作步骤上有神秘的色彩，还没有形成无穷小和极限的概念。牛顿和莱布尼茨的特殊贡献在于，他们从更高的角度分析和综合了前人的工作，将前人解决各种具体问题的特殊技巧统一成两种常用的算法微分和积分，发现微分和积分是逆运算，建立了所谓的微积分基本定理(现在称为牛顿-莱布尼茨公式)，从而完成了微积分发明中最关键的一步，为其进一步发展和广泛应用铺平了道路。由于当时历史条件的限制，牛顿和莱布尼茨建立的微积分理论基础并不十分牢固，一些概念模糊不清，从而引发了对微积分逻辑基础的长期争论和讨论。经过18和19世纪大量数学家的努力，特别是法国数学家柯西首先成功地建立了极限理论之后，他从极限的角度定义了微积

11、分的基本概念，并简明而严格地证明了微积分的基本定理牛顿-莱布尼茨公式，然后建立了一个基本上严格而完整的微积分体系。八.牛顿-莱布尼茨公式的应用牛顿-莱布尼茨公式的本质是定积分。微积分理论在现实中的应用，通过数值计算，服务于生产实践。在生产实践中，体积计算是一个非常广泛的应用。以下两个公式是定积分中体积的应用公式：绕x轴旋转物体的体积公式是V=a，bf(x) 2dx，即通过绕二维坐标的x轴旋转简单的二维图形获得的三维立体图形的体积。以与绕y轴旋转体积的公式相同的方式，x和y可以交换，并且V= a，b(y)2dy是通过绕二维坐标的y轴旋转简单的二维图形获得的三维实体图形的体积。其中：87Xiao是

12、积分符号，a，b是积分区域，a是积分上限，b是积分下限，f(x)是要积分的函数，dx是积分符号例如，下图计算了椭球体的体积。椭圆的标准方程是：x2/a2 y2/b2=1。y2=a2b2-b2x2/a2=f(x)这个图形可以看作是一个绕Y轴旋转的椭圆，积分面积为-15，15，所以这个支撑球的体积可以通过代入2420*立方厘米的公式得到。牛顿-莱布尼茨公式为实际生产中计算面积和体积提供了一套通用的方法，同时也使西方制造业得到了很好的发展。以上是积分的应用，而在经济应用中，它主要是微分的应用。例如，变化率(边际)的概念实际上是在数学上区分经济函数。R=D*P(收入函数，其中r代表利润，D代表需求，P代表价格)需要知道收入的增长率，这是函数的导数(即微