微积分在生活中的应用

1、微积分在生活中的应用 （何杰东 陈新亮 连冠才 施楠 信工一班 北二830） 一. 摘要 牛顿、莱布尼兹发明微积分以后，人们才有能力把握运动和过程。有了微积分，就有了工业革命，就有了大工业生产，也就有了现代化的社会。航天飞机、宇宙飞船等现代化交通工具都是在微积分的帮助下制造出来的。微积分在人类社会从农业文明跨入工业文明的过程中起到了决定性的作用。微积分是为了解决变量的瞬时变化率而存在的。从数学的角度讲，是研究变量在函数中的作用。从物理的角度讲，是为了解决长期困扰人们的关于速度与加速度的定义的问题。“变”这个字是微积分最大的奥义。因此，了解微积分在生活中的应用对于我们解决实际问题有很大的帮助。二

2、关键词：物理，经济，应用。三引言：通过研究微积分在物理，经济等方面的具体应用，得到微积分在现实生活中的重要意义，从而能够利用微积分这一数学工具科学地解决问题。获取资料的途径主要是互联网。四（一）在物理中的应用例1，研究物体做匀变速直线运动位移问题时；对于匀速直线运动，位移和速度之间的关系我们都清楚,x=vt，但如果物体的速度大小时刻发生变化，那么物体的位移如何求解呢？此时，微积分就成了我们有利工具。我们可以把物体运动的时间无限细分。在每一份时间内，速度的变化量非常小，可以忽略这种微小变化，认为物体在做匀速直线运动，因此根据已有知识位移可求；接下来把所有时间内的位移相加，即“无限求和”，则总的位

3、移可以知道。现在我们明白，物体在变速直线运动时候的位移等于速度时间图像与时间轴所围图形的面积；例2，研究匀速圆周向心加速度的方向问题时； 根据牛顿第二定律，我们可以知道匀速圆周运动加速度的方向指向圆心；同时利用极限思想，也可以加速度的方向。当圆周上的两个点无限靠近时，速度变化量也无限的小，因此由VAVBV围成的等腰三角形的底角接近90，因此速度变化量和速度垂直，而速度又和半径垂直，因此，匀变速圆周运动中，加速度的方向始终指向圆心。例3.研究变力做功问题时；对于恒力做功，我们可以利用公式直接求出；但对于变力，我们不能利用公式；这种情况下，我们要借助于微积分，我们可以把位移无限细分，在每一个小位移

4、上，力的变化很小，可以看作是恒力，根据公式算出力所作的功；然后把每一个小位移上的功无限求和，那么就可以求出变力做的总功是多少。（二）在经济上的应用1.1 边际分析在经济分析中的的应用 1.1.1 边际需求与边际供给 设需求函数Q=f（p）在点p处可导（其中Q为需求量，P为商品价格），则其边际函数Q=f(p)称为边际需求函数，简称边际需求。类似地，若供给函数Q=Q(P)可导（其中Q为供给量，P为商品价格），则其边际函数Q=Q(p)称为边际供给函数，简称边际供给。 1.1.2 边际成本函数 总成本函数C=C(Q)=C0+C1(Q)；平均成本函数=(Q)=C(Q)Q；边际成本函数C=C(Q)C(Q0

5、)称为当产量为Q0时的边际成本，其经济意义为：当产量达到Q0时，如果增减一个单位产品，则成本将相应增减C(Q0)个单位。 1.1.3 边际收益函数 总收益函数R=R(Q)；平均收益函数=(Q)；边际收益函数R=R(Q) R(Q0)称为当商品销售量为Q0时的边际收益。其经济意义为：当销售量达到Q0时，如果增减一个单位产品，则收益将相应地增减R(Q0)个单位。 1.1.4 边际利润函数 利润函数L=L(Q)=R(Q)-C(Q);平均利润函数;=(Q)边际利润函数L=L(Q)=R(Q)-C(Q).L(Q0)称为当产量为Q0时的边际利润，其经济意义是：当产量达到Q0时，如果增减一个单位产品，则利润将相

6、应增减L(Q0)个单位。 例1 某 企业 每月生产Q（吨）产品的总成本C（千元）是产量Q的函数，C(Q)=Q2-10Q+20。如果每吨产品销售价格2万元，求每月生产10吨、15吨、20吨时的边际利润。 解：每月生产Q吨产品的总收入函数为： R（Q）=20Q L（Q）=R（Q）-C（Q）=20Q-（Q2-1Q+20） =-Q2+30Q-20 L(Q)=(-Q2+30Q-20)=-2Q+30 则每月生产10吨、15吨、20吨的边际利润分别为 L(10)=-210+30=10（千元/吨）； L(15)=-215+30=0（千元/吨）； L(20)=-220+30=-10（千元/吨）； 以上结果表明：

7、当月产量为10吨时，再增产1吨，利润将增加1万元；当月产量为15吨时，再增产1吨，利润则不会增加；当月产量为20吨时，再增产1吨，利润反而减少1万元。 显然，企业不能完全靠增加产量来提高利润，那么保持怎样的产量才能使企业获得最大利润呢？ 1.2 弹性在经济分析中的应用 1.2.1 弹性函数 设函数y=f(x)在点x处可导，函数的相对改变量yy=f(x+x)-f(x)y与自变量的相对改变量xx之比，当x0时的极限称为函数y=f(x)在点x处的相对变化率，或称为弹性函数。记为EyExEyEx=limx0 yyxx=limx0yxxy=f(x)xf(x) 在点x=x0处，弹性函数值Ef(x0)Ex=

8、f(x0)xf(x0)称为f（x）在点x=x0处的弹性值，简称弹性。EExf(x0)%表示在点x=x0处，当x产生1%的改变时，f（x）近似地改变EExf(x0)%。 1.2.2 需求弹性 经济学中，把需求量对价格的相对变化率称为需求弹性。 对于需求函数Q=f（P）(或P=P（Q）)，由于价格上涨时，商品的需求函数Q=f(p)（或P=P(Q)）为单调减少函数，P与Q异号，所以特殊地定义，需求对价格的弹性函数为(p)=-f(p)pf(p) 例2 设某商品的需求函数为Q=e-p5，求(1)需求弹性函数；(2)P=3,P=5,P=6时的需求弹性。 解：(1)(p)=-f(p)pf(p)=-(-15)e-p5.pe-p5=p5； (2)(3)=35=0.6;(5)=55=1;(6)=65=1.2 (3)=0.61，说明当P=3时，价格上涨1%，需求只减少0.6%，需求变动的幅度小于价格变动的幅度。 (5)=1，说明当P=5时，价格上涨1%，需求也减少1%，价格与需求变动的幅度相同。五结论 从以上的例题解决的实际