弹性力学的基本方程和变分原理

1、 1 0.1 弹性力学的基本方程弹性力学的基本方程 在有限单元法中经常要用到弹性力学的基本方程和与之等效的变分原理，现将它们连同相应的 矩阵表达形式和张量表达形式综合引述于后。 关于它们的详细推导可从弹性力学的有关教材中查到。 弹性体的基本假设弹性体的基本假设 为突出所处理问题的实质，并使问题得以简单化和抽象化，在弹性力学中，提出以下五个基本 假定。 (1)物体内的物质连续性(continuity)假定，即认为物质中无空隙，因此可采用连续函数来描述 对象。 (2)物体内的物质均匀性(homogeneity)假定，即认为物体内各个位置的物质具有相同特性，因 此，各个位置材料的描述是相同的。 (3

2、)物体内的物质(力学)特性各向同性(isotropy)假定， 即认为物体内同一位置的物质在各个方 向上具有相同特性，因此，同一位置材料在各个方向上的描述是相同的。 (4)线弹性(1inear elasticity)假定，即物体变形与外力作用的关系是线性的，外力去除后， 物体可恢复原状，因此，描述材料性质的方程是线性方程。 (5)小变形(small deformation)假定，即物体变形远小于物体的几何尺寸，因此在建立方程时， 可以忽略高阶小量(二阶以上)。 以上基本假定和真实情况虽然有一定的差别，但从宏观尺度上来看，特别是对于工程问题，大 多数情况下还是比较接近实际的。以上几个假定的最大作用

3、就是可以对复杂的对象进行简化处理， 以抓住问题的实质。 弹性体在载荷作用下，体内任意一点的应力状态可由 6 个应力分量 zxyzxyzyx ,来表示。 其中 zyx ,为正应力； zxyzxy ,为剪应力。应力分量的正负号规定如下：如果某一个面的外法 线方向与坐标轴的正方向一致，这个面上的应力分量就以沿坐标轴正方向为正，与坐标轴反向为负； 相反，如果某一个面的外法线方向与坐标轴的负方向一致，这个面上的应力分量就以沿坐标轴负方 向为正，与坐标轴同向为负。应力分量及其正方向见图 0.1.1。 应力分量的矩阵表示称为应力列阵或应力向量应力列阵或应力向量。 x y z xy yz zx = T xyz

4、xyyzzx = (0.1.1) 弹性体在载荷作用下，还将产生位移和变形，即弹性体位置的移动和形状的改变。 弹性体内任一点的位移可由沿直角坐标轴方向的 3 个位移分量w, v ,u来表示。它的矩阵形式是 T u uvuvw w = (0.1.2) 称作位移列阵或位移向量位移列阵或位移向量。 2 图 0.1.1 应力分量 弹性体内任意一点的应变， 可以由 6 个应变分量 zxyzxyzyx ,来表示。 其中 zyx ,为 正应变； zxyzxy ,为剪应变。应变的正负号与应力的正负号相对应，即应变以伸长时为正，缩短 为负； 剪应变是以两个沿坐标轴正方向的线段组成的直角变小为正， 反之为负。 图

5、0.1.2 的(a)， (b) 分别为 x 和 xy 的应变状态。 图 0.1.2 x 和 xy 的应变的正方向 应变的矩阵形式是 x y z xy yz zx = T xyzxyyzzx = (0.1.3) 称为应变列阵或应变向量应变列阵或应变向量。 对于三维问题，弹性力学基本方程为如下形式。 1. 平衡方程 3 由 x，y，z 三方向的力平衡可推出微分形式的平衡方程。在推导平衡方程时不同位置截面上的 应力将由于几何位置的差别 dx，dy，dz 而有所不同，以 Taylor 级数展开后，可写为 ()() (), , , , , xx xxxx x y z xdx y zx y zdx x +

6、=+ () () 2 2 2 , , 2 xx x y z dx x + 略去二阶以上微量，有 ()() () dx x y, x y, xy,dxx xx xxxx +=+ 故弹性体 V 域内任一点沿坐标轴z , y, x方向的平衡方程为 0 xy xxz x F xyz += 0 yxyyz y F xyz += (0.1.4) 0 zy zxz z F xyz += 其中, xyz F F F为单位体积的体积力在z , y, x方向的分量。 平衡方程的矩阵形式为 0AF+= (0.1.5) 其中 A是微分算子 A 000 000 000 xyz yxz zyx = (0.1.6) F是体

7、积力向量， F = T xyz F F F 2. 几何方程应变-位移关系 设一个变形体微小体元的平面直角在变形前为 APB，而变形后为 APB ，P 点变形到 P点的 x 方向位移为 u，y 方向位移为 v，如下图 0.1.3 所示。 4 0.1.3 平面问题中的变形表达 从图 0.1.3 可以看出，平面物体在受力后，其几何形状的改变主要在两个方面：沿各个方向上的 长度变化以及夹角的变化，下面给出具体的描述。 (1) 定义 x 方向的相对伸长量为 x P APAPAPPPA PAPA = u dxudxudx PAAAPPPA x PAdx + + = u x = (2)定义 y 方向的相对伸

8、长量为 y P BPBv PBy = (3)定义夹角的变化 PA线与 PA 线的夹角为 vvv vdxvdxdx xxx tg uu P A dxudxudxdx xx + = + = v x PB线与 PB 线的夹角为 u udyu yu dyy + = 则定义夹角的总变化为 xy uv yx =+=+ 在微小位移和微小变形的情况下，略去位移导数的高次幂，则应变向量和位移向量间的几何关系有 5 x u x = y v y = z w z = xy uv yx =+ (0.1.7) yz wv zy =+ zx uw zx =+ 几何方程的矩阵是 uL= (0.1.8) 其中 L是微分算子 0

9、0 00 00 0 0 0 x y z L yx zy zx = T A= (0.1.9) 3. 物理方程应力-应变关系 对于各向同性的线弹性材料，用应力表示的本构方程 () 1 xxyz E =+ () 1 yyxz E =+ () 1 zzyx E =+ 6 xy xy G = (0.1.10a) yz yz G = zx zx G = 以矩阵形式表示： = C 其中 C是柔性矩阵。 = G G G EEE EEE EEE C 1 00000 0 1 0000 00 1 000 000 1 000 1 000 1 物理方程的另一种形式是用应变表示的本构方程 () ()() () + + +

10、 = zyxx E 1211 1 () ()() () + + + = zxyy E 1211 1 () ()() () + + + = xyzz E 1211 1 () xyxy E + = 12 7 () yzyz E + = 12 () zxzx E + = 12 应力通过应变的表达式可用矩阵形式表示： D= (0.1.10b) 其中 D () ()() 1 11 2 E = + () () () 1000 11 1000 11 1000 11 1 2 00000 2 1 1 2 00000 2 1 1 2 00000 2 1 (0.1.11) 称为弹性矩阵。它完全取决于弹性体材料的弹性

11、模量 E 和泊桑比。 表征弹性体的弹性，也可以采用剪切弹性模量 G 和拉梅(Lame)常数： ()2 1 E G = + ， ()()11 2 E = + (0.1.12) 注意到 () ()() 1 2 11 2 E G += + (0.1.13) 物理方程中的弹性矩阵D亦可表示为 2000 2000 2000 0 00000 00000 00000 G G G D G G G + + + = (0.1.14) C= (0.1.15) 8 其中柔度矩阵和弹性矩阵是互逆关系，即， 1 = DC。 弹性体 V 的全部边界为 S。 一部分边界上已知外力, xyz ppp称为力的边界条件，这部分边界

12、用 S表示；另一部分边界上弹性体的位移w, v ,u已知，称为几何边界条件或位移边界条件，这部分边 界用 u S表示。这两部分边界构成弹性体的全部边界，即 SSS u =+ (0.1.16) 4力的边界条件 弹性体在边界上单位面积的内力为 zyx T ,T ,T，在边界 S上已知弹性体单位面积上作用的面积 力为, xyz ppp，根据平衡应有 , xxyyzz TpTpTp= (0.1.17) 图 0.1.5 设边界外法线为 N，其方向余弦为 zyx n ,n ,n，()x , ncosnx=，()y, ncosny=，()cos, z nn z=，且 1 222 =+ zyx nnn则边界上

13、弹性体的内力可由下式确定 xxxyxyzxz Tnnn=+ yxyxyyzyz Tnnn=+ (0.1.18) Fig.0.1.4 物体的边界 9 zxzxyzyzz Tnnn=+ 以上公式的矩阵形式为 Tp= (在 S上) (0.1.19) 其中 nT = (0.1.20) n 000 000 000 xyz yxz zyx nnn nnn nnn = (0.1.21) 5几何边界条件 在位移边界条件 u S上，弹性体的位移已知为w, v ,u，即有 ww, vv,uu= (0.1.22) 用矩阵形式表示是 uu = (在 u S上) (0.1.23) 以上是三维弹性力学问题中的一组基本方程

14、和边界条件。同样，对于平面问题，轴对称问题等 也可以得到类似的方程和边界条件。 我们把弹性力学方程记作一般形式 平衡方程 0AF+=（在 V 内) 几何方程 uL= (在 V 内) 物理方程 D= (在 V 内) (0.1.24) 边界条件 np= (在 S上) uu = (在 u S上) 并有SSS u =+ ，S 为弹性体全部边界。 对于不同类型问题，几何方程和物理方程的有关矩阵符号的意义汇集于下表。板与壳的基本方程 将分别在本书有关章节中给出。 6弹性问题中的能量表示 弹性问题中的自然能量包括两类：施加外力在可能位移上所做的功，变形体由于变形而存 储的能量。 出于研究的需要，还要定义一些

15、由自然能量所组合的物理量，如势能(以位移为基本变量的表 达)、余能(以应力为基本变量的表达)等，下面分别给出具体的表达式。 外力功 10 外力功，即所施加外力在可能位移上所做的功，外力有两种，包括作用在物体上的面力和体力， 这些力被假设为与变形无关的不变力系，即为保守力系保守力系，则外力功包括这两部分力在可能位移上所 做的功。 在力边界条件上，由外力(面力)kpjpipp zyx +=；在对应位移 u uv w = 上所做的功 (在 S上)。 在物体内部，由体积力kFjFiFF zyx +=在对应位移 u uv w = 上所做的功(在 V 内) 则外力的总功为 ()() + += S zyx

16、V zyx dSwpvpupdVwFvFuFW TT VS uF dVup dS=+ 应变能 以位移(或应变)为基本变量所表达的变形能叫做应变能(strain energy)。3 D 情形下变形体的 应力与应变的对应关系为 xxyyzzxyyzzxxxyyzzxyyzzx 对应于 可以看出，其应变能应包括两个部分： 对应于正应力与正应变的应变能， 对应于剪应力与剪应变的应变能。 下面分别讨论这两种情形下应变能计算。 对应于正应力与正应变的应变能 图 0.1.6 正应力与正应变产生的应变能 如上图所示，在 Oxy 平面内考察由于主应力和主应变的作用所产生的应变能。设在微小体元 dV=dxdydz

17、 上只作用有 x 与 x ，这时微体的厚度为 dz，则由上图中的力与位移的关系，可求得微 体上的应变能为 1 2 UFu=()() 1 2 xx dydzdx= 1 2 xxdV = 在应变能公式中，假设外力，即体力和面力是由零缓慢地增加到最后的数值的，因此应变能关系式 11 中有 1/2。则在整个物体 V 上， x 与 x 所产生的应变能为 V UU= 1 2 xx V dV = 另外两个方向上的主应力和主应变( y 与 y ， z 与 z )所产生的应变能与上面的计算公式类 似。 对应于剪应力与剪应变的应变能 图 0.1.7 剪应力与剪应变产生的应变能 先考察一对剪应力与剪应变，如上图所示

18、，假设在微小体元 dzdydz 上只作用有 xy 与 xy ，这时 微元体的厚度为 dz，由于 xy 是剪应力对，即为 xy 和 yx ，将其分解为两组情况分别计算变形能， 如上图所示。 由于 xy 与 xy 的作用，在微体上产生的应变能为 U=()()()() 11 22 xyyx dxdzdydydzdx+ () 1 2 xy dxdydz=+ 1 2 xyxydV = 在整个物体 V 上， xy 与 xy 所产生的应变能为 1 2 xyxy UdV = 另外的剪应力和剪应变对( yz 与 yz ， zx 与 zx )所产生的应变能与上面的计算公式类似。 整体应变能 由叠加原理，将各个方向

19、的正应力与正应变、剪应力与剪应变所产生的应变能相加，可得到整体 应变能 () 1 2 xxyyzzxyxyyzyzzxzx V UdV =+ 12 单位体积的应变能(应变能密度) () () 0 111 222 T TT UDD= (0.1.25) 应变能是个正定函数，只有当弹性体内所有的点都没有应变时(0)，应变能才为零。 7系统的势能和余能 对于受外力作用的变形体，基于它的外力功和应变能的表达，定义系统的势能(potential energy)为 UW = 1 2 TTT VVS DdVuF dVup dS= 单位体积的余能(余能密度) () CV T 2 1 = (0.1.26) 余能也

20、是个正定函数。在线性弹性力学中弹性体的应变能等于余能。 8刚体位移 从几何方程不难看出，当物体的位移分量完全确定时，应变分量就被完全确定。但反之，当应 变分量完全确定时，位移分量却不完全被确定。这是因为，应变的产生是由于物体内点与点之间存 在相对位移，而具有一定形变的物体还可能产生不同的刚体位移。例如，当各应变分量为零时，物 体可以有各种不同的微小刚体运动，对正应变的三个式子进行积分，可以得到其位移分量函数 ()()z , yfz , y, xu 1 = ()()z , xfz , y, xv 2 = ()()y, xfz , y, xw 3 = 若考虑二维的情况，则与 z 方向无关，有 ()

21、( )yfy, xu 1 = ()( ) 2 ,v x yfx= 将上式代入剪应变 x v y u xy + =，有 ( )( ) 12 0 dfydfx dydx += 重写为 ( )( ) 21 dfxdfy dxdy = 13 该方程的左端为关于 x 的函数，而右端为关于 y 的函数，要使其关于 x 和 y 处处成立，则只有使其 等于一个常数，即 ( )( ) 21 dfxdfy dxdy = 0 = 求解上式，有 ( ) ( ) 200 100 fxxv fyyu =+ = + 其中 0 u和 0 v为常数，将上式代入()( )yfy, xu 1 =，()( ) 2 ,v x yfx=

22、式，则有刚体位移的表达式 () () 00 00 , , u x yyu v x yxv = + =+ 关于系数 000 ,v ,u的物理含义，进行如下讨论。 令 0 0=, 0 0v =，则 () () 0 , ,0 u x yu v x y = = ，可以看出： 0 u表示物体在 x 方向的刚体平移。 令 0 0=, 0 0u =，则 () () 0 ,0 , u x y v x yv = = ，可以看出： 0 v表示物体在 y 方向的刚体平移。 令 0 0u =, 0 0v =，则 () () 0 0 , , u x yy v x yx = = ，如下图示所示，其合成的位移 d 为该点 P 绕 O 点的刚 体转动(小位移情况下)，转动的角度为 0 。 图 0.1.7 小位移情形下 P 点绕 O 点的刚体转动 对于位移中的刚体平移，可由位移场中的常数项 0 u和 0 v确定。而对于刚体转动，由于 0 u y = 14 0 v x = 由以上两式，得 0 1 2 vu xy = 这就是刚体转动的角度。 刚性转动位移的物理意义为， 如果弹性体中某点 A 及邻近区域没有变形，则与 A 点无限邻近这 一点的位移，根据刚体动力学可知，是由两