河北省保定市重点高中2023-2024学年高三上学期开学考试 数学试题（解析版）

第1页/共1页数学注意事项：1.本卷满分150分，考试时间120分钟.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数满足，则虚部为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由已知，利用复数的除法，求出，得到，可知的虚部.【详解】复数满足，则，所以，的虚部为.故选：A2.已知集合，，则的真子集的个数为（）A.16 B.15 C.14 D.8【答案】B【解析】【分析】利用一元二次不等式的解法和对数不等式的解法确定集合，即可求解.【详解】由，解得，所以，又由可得，解得，所以，所以，有个真子集，故选：B.3.已知单位向量，满足，则与的夹角为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由向量垂直可得，结合已知条件和向量的数量积的定义可求出夹角的余弦值，从而可求出向量的夹角.【详解】解：因为，是单位向量，所以，因为，所以，即，则，因为与夹角范围为，所以与的夹角为.故选:C.4.已知直线：，：，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】根据直线平行、充分、必要条件的知识求得正确答案.【详解】依题意，：，：，若两直线平行，则，解得或.当时，：，：，此时两直线重合，不符合.当时，：，：，符合题意.所以“”是“”的充要条件.故选：C5.在百端待举、日理万机中，毛泽东主席仍不忘我国的教育事业.1951年9月底，毛主席在接见安徽参加国庆的代表团时，送给代表团成员——渡江小英雄马毛姐一本精美的笔记本，并在扉页上题词：好好学习，天天向上.这8个字的题词迅速在全国传播开来，影响并指导着一代代青少年青春向上，不负韶华.他告诉我们：每天进步一点点，持之以恒，收获不止一点点.把学生现在的学习情况看作1.每天的“进步率”为3%，那么经过一个学期（看作120天）后的学习情况为，如果每天的“迟步率”为3%，同样经过一个学期后的学习情况为，经过一个学期，进步者的学习情况是迟步者学习情况的1335倍还多，按上述情况，若“进步"的值是“迟步”的值的10倍，要经过的天数大约为（保留整数）（参考数据：，）（）A.28 B.38 C.60 D.100【答案】B【解析】【分析】根据题意建立指数方程，指数式化对数式求解方程，再利用换底公式，转化为常用对数运算即可.【详解】设要经过天，“进步"的值是“迟步”的值的10倍，则，即，则.故选：B.6.如图，在三棱锥中，异面直线与所成的角为60°，，分别为棱，的中点，若，，则（）A. B.2 C.或 D.2或【答案】C【解析】【分析】利用线线角以及余弦定理求得.【详解】设是的中点，连接，由于，分别为棱，的中点，所以,所以是异面直线与所成的角或其补角，当时，在三角形中，由余弦定理得.当时，在三角形中，由余弦定理得.所以为或.故选：C7.已知抛物线：的焦点为，准线与坐标轴交于点，过点的直线与及准线依次相交于，，三点（点在点，之间），若，，则的面积等于（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据已知条件，结合抛物线的定义，以及三角形的性质，即可求解．【详解】如图，过作于，过作于，连接抛物线：的焦点为，准线方程为，则由抛物线定义可得，所以，则，故，又有，由抛物线定义得，所以为正三角形，则，所以，则，所以，故故，所以，则，所以，则，不妨由图取，又，所以，则，不妨由图取，所以.故选：D.8.已知，，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】构造函数，利用导函数讨论其单调性和最值，可得，从而可得，，即可比较的大小关系，再利用作差法比较大小关系.【详解】令，则，所以函数在单调递减，且，所以，即，令，则有，所以，即，又由，可得，所以，即，又因为，所以，综上可得，故选：D.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.在某区高三年级第一学期初举行的一次质量检测中，某学科共有2000人参加考试.为了解本次考试学生的该学科成绩情况，从中抽取了名学生的成绩（成绩均为正整数，满分为100分）进行统计，成绩均在内，按照，，，，的分组作出频率分布直方图（如图所示）.已知成绩落在内的人数为16，则下列结论正确的是（）A.B.估计全体学生该学科成绩的平均分为70.6分C.若成绩低于60分定为不及格，估计全体学生中不及格的人数约为300人D.若将该学科成绩由高到低排序，前的学生该学科成绩为等，则成绩为分的学生该学科成绩有可能是等【答案】BD【解析】【分析】由频率分布直方图区间的概率确定样本总容量，由频率和为1求x，根据频率分布直方图估计均值，确定分前所占比例从而判断各选项．【详解】由频率分布直方图可得：，，，，的频率依次为.对于A：因为，所以，因为成绩落在内的人数为16，所以，故A错误；对B：估计全体学生该学科成绩的平均分分，故B正确；对C：由选项A可得：成绩落在的频率为，所以估计全体学生中不及格的人数约为，故C错误；对D：设该学科成绩为A等的最低分数为，因为，，的频率依次为，则，可知，则，解得，虽然，但是估计值，同时学生成绩均为正整数，所以成绩为分的学生该学科成绩有可能是A等，D正确.故选：BD.10.将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，则（）A.的图象关于点对称B.，C.在区间上恰好有三个零点D.若锐角满足，则【答案】ACD【解析】【分析】利用三角函数的图象变换求得的解析式，再根据余弦函数的图象性质求解.【详解】将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数，对A，，所以的图象关于点对称，A正确；对B，，B错误；对C，，所以当时，，所以在区间上恰好有三个零点，C正确；对D，，所以，因为，所以，解得，所以，D正确；故选:ACD.11.已知椭圆：的左、右焦点分别为，，过的直线与交于，两点，若，则（）A. B.的面积等于C.直线斜率为 D.的离心率等于【答案】ABD【解析】【分析】由线段比例关系以及椭圆定义可知，且满足，即可得A正确；易知可得B正确；在等腰直角三角形中，可知直线的斜率为，计算可得的离心率等于.【详解】由可知，不妨设，又，可得；利用椭圆定义可知，所以可得；即，所以点即为椭圆的上顶点或下顶点，如下图所示：由，可知满足，所以；即A正确；所以为等腰直角三角形，且，因此的面积为，即B正确；此时可得直线的斜率，所以C错误；在等腰直角三角形中，易知，即可得离心率，即D正确；故选：ABD12.已知函数，的定义域均为，且满足对任意实数，，，若是偶函数，，则（）A.是周期为2的周期函数 B.为奇函数C.是周期为4的周期函数 D.【答案】BCD【解析】【分析】根据函数的奇偶性、周期性进行分析，从而确定正确答案.【详解】依题意，①，②，以替换②中的得③，由①③得④，令得，A选项错误.由④得⑤，以替换⑤中的得，所以为奇函数，B选项正确，且，以替换②中的得⑥，由①⑥得⑦，以替换⑦中的得，所以，所以是周期为4的周期函数，所以C选项正确.由，令，得，令，得，由，令，得，令，得，所以，所以，所以D选项正确.故选：BCD【点睛】求解抽象函数奇偶性、周期性等题目，关键点就是牢牢把握函数的性质进行分析，记住一些常见的结论是最好的办法，如这是对称性，并且是轴对称；这也是对称性，且是中心对称.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知函数（，且），曲线在点处的切线与直线平行，则__________.【答案】【解析】【分析】由题意有，可解出的值.【详解】函数，，曲线在点处的切线与直线平行，则有，得.故答案为：.14.在的展开式中含项的系数是__________.【答案】【解析】【分析】根据二项式展开式的通项公式求得正确答案.【详解】二项式展开式的通项公式为，令，解得；令，解得.所以的展开式中含的项为，所以展开式中含项的系数是.故答案为：15.已知动点与两个定点，满足，设点的轨迹为曲线，则的方程为__________；过的直线与相切，切点为，，为上两点，且，为的中点，则面积的最大值为____________.【答案】①.②.【解析】【分析】设，由得到方程，变形后得到答案，先得到点的轨迹为以为圆心，半径为1的圆，并得到的最大值为，且此时⊥，故此时的面积最大，求出各边长度，求出面积的最大值.【详解】设，则，变形得到，故的方程为；设的圆心为，半径为2，又，因为为的中点，所以⊥，，由勾股定理得，故GN=1，故点的轨迹为以为圆心，半径为1的圆，由于为圆的切线，故的最大值为，且此时⊥，故此时的面积最大，由于，最大值为.故答案为：，16.鳖臑（biēnào）出自《九章算术·商功》，指的是四个面均为直角三角形的三棱锥，如图所示的鳖臑中，，，，且，，则其外接球体积的最小值为___________.【答案】【解析】【分析】证明出平面，由得到外接球球心在平面的投影在的中点上，且点为的中点，由基本不等式求出，从而得到外接球半径，从而得到外接球体积的最小值.【详解】因为，，，平面，所以平面，因为，故外接球球心在平面的投影在的中点上，因为平面，所以点为的中点，且，由勾股定理得，当且仅当时，等号成立，故，则，，故，故其外接球体积的最小值为故答案为：四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.在中，角，，的对边分别为，，，若.（1）求角的大小；（2）若为上一点，，，求的最小值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理化简已知条件，结合余弦定理求得正确答案.（2）利用三角形的面积公式列方程，结合基本不等式求得的最小值.【小问1详解】依题意，，由正弦定理得，，所以，所以是钝角，所以.【小问2详解】，，所以，即，所以，当且仅当时等号成立.18.2015年5月，国务院印发《中国制造2025》，是我国由制造业大国转向制造业强国战略的行动纲领.经过多年的发展，我国制造业的水平有了很大的提高，出现了一批在国际上有影响的制造企业.我国的造船业、光伏产业、5G等已经在国际上处于领先地位，我国的精密制造也有了长足发展.已知某精密设备制造企业生产某种零件，根据长期检测结果，得知生产该零件的生产线的产品质量指标值服从正态分布，且质量指标值在内的零件称为优等品.（1）求该企业生产的零件为优等品的概率（结果精确到0.01）；（2）从该生产线生产的零件中随机抽取5件，随机变量表示抽取的5件中优等品的个数，求的分布列、数学期望和方差.附：，，.【答案】（1）（2）分布列见解析，，.【解析】【分析】（1）产品质量指标值服从正态分布，结合原则，求优等品的概率；（2）随机变量的取值，计算相应的概率，列出分布列，利用二项分布求数学期望和方差.【小问1详解】，则，，，，由，，得.故该企业生产的零件为优等品的概率为.【小问2详解】可能的取值为0，1，2，3，4，5，，，，，，，则的分布列为：X012345P由，则有，.19.已知数列的前项和为，且.（1）求的通项公式；（2）已知，求数列的前项和.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用求得正确答案.（2）利用错位相减求和法求得.【小问1详解】依题意，①，当时，，当时，②，①-②得，所以数列是首项为，公比为的等比数列，所以（也符合）.【小问2详解】，，，两式相减得，.20.如图，在多面体中，四边形是矩形，四边形是直角梯形，，，，与交于点，连接.（1）证明：平面；（2）若，求平面与平面夹角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）作辅助线：取的中点为，连接，根据中位线定理可证明四边形是平行四边形，再由线面平行的判定定理即可得出证明；（2）根据几何体性质可知平面，过点作，连接，易知角即为平面与平面的夹角的平面角，即可求出其余弦值.【小问1详解】取的中点为，连接，如下图所示：因为四边形是矩形，所以是的中点，所以，，又，，所以，；即四边形是平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面；【小问2详解】因为四边形是直角梯形，，，所以；又因为四边形是矩形，所以，又，平面，所以平面；又平面，所以，过点作，连接，如下图所示：又，平面，所以平面；又平面，所以；平面与平面的夹角即为平面与平面的夹角，其平面角为；在中，，又，所以，为的中点，，所以，又因，所以；所以；即平面与平面的夹角的余弦值为.21.已知双曲线：的离心率为2，其左、右焦点分别为，，点为的渐近线上一点，的最小值为.（1）求的方程；（2）过的左顶点且斜率为的