北邮-工程数学(线性代数)综合练习题整理

1、线性代数部分一、判断题：1.四阶行列式D= abcd.()2.n阶行列式D=()3.设A为n阶矩阵,k为不等于零的常数,则()4.设A,B均为n阶矩阵,则()5.若n阶矩阵A,B满足AB=0,则有A=0或者B=0.()6.对n阶矩阵A,若存在n阶矩阵B,使AB=E(E为n阶单位矩阵),则A可逆且有()7.设A,B均为n阶矩阵且A,则A,B均可逆.()8.若n阶矩阵A,B均为可逆矩阵,则A+B仍为可逆矩阵.()9.设A,B均为n阶可逆矩阵,则.()10.若n阶矩阵A为对称矩阵,则A为可逆矩阵.()11.若n阶矩阵A为正交矩阵,则A为可逆矩阵.()12.若n阶可逆矩阵A=,则()13.若存在使式子

2、成立,则向量组线性无关.()14.若向量组线性相关,则可用线性表示.()15.设为基本单位向量组,则线性无关.()16.若是向量组的一个极大无关组,则均可用线性表示.()17.等价向量组所含向量个数相同.()18.若是向量组的一个极大无关组,则此极大无关组与原向量组等价.()19.若矩阵A有一个r(rmn)阶子式不等于零,一个r+1阶子式等于零,则Rank(A)=r.()20.任意矩阵A的秩等于它的等价标准形中1的个数.()21.任何一个齐次线性方程组都有基础解系.()22.任何一个齐次线性方程组都有解.()23.若线性方程组AX=B(A为矩阵,X=)满足Rank则此方程组有解.()24若线性

3、方程组AX=0(A为n阶矩阵,X同上)满足,则此方程组无解.()25.若线性方程组AX=B(A,X同24题,B=满足此方程组有无穷多解.()26.若都是AX=B(A,X,B同23题)的解,则仍是此方程组的解.()二、填空题：1. 四阶行列式_.2. 五阶矩阵 其中则_,_,_.3. 设A,B均为n阶矩阵,且则=_.4. 设矩阵,则的余子式为_,的代数余子式为_,A的顺序主子式为_.5. 设三阶矩阵则kA-E =_(k为不等于零的常数,E为三阶单位矩阵),若则=_.此时A在等价关系下的标准形为_.6. 已知当为任意常数时,向量组线性_关(相关还是无关)._(能还是不能)用线性表示.7.设则向量用

4、向量线性表示的表达式为_.向量组_(是或不是)线性相关.8.n阶矩阵A可逆的充分必要条件是1)_, 2)_. 9.设A为五阶矩阵,且则其中 为A的伴随矩阵.10.设矩阵其中则= ，= ，= 。11.设A为n阶正交矩阵,则Rank(A) =_, _.12.设E为四阶单位矩阵,则初等矩阵E(1,3)=_, E(2(3)=_. 13.设A为四阶矩阵且B是由A交换2,3行得到的等价矩阵,则Rank(A)_Rank(B)(等于,大于或小于).14.齐次线性方程组的一个基础解系为_,其全部解为_.15.设线性方程组为,它的导出组的一个基础解系为_,此方程组的全部解为_.16.设矩阵A的秩为都是线性方程组A

5、X=B(X=的解,则它的一个基础解系为_,全部解为_.17.设向量组则实数t =_时, 线性相关.三、单项选择题：1下列5级排列是偶排列的是（ A ）。 A32415 B41523 C51324 D231542n 阶行列式=（ C ）。A B C D3设3阶行列式，则 （ D ）。A2k B6k C18k D4 已知4阶行列式D中的第2行的元素依次为1，0，-1，2，它们的余子式依次为3，8，5，4，则D =（ B ）。 A6 B10 C-10 D-65如果线性方程组有非零解，则k =（ C ）。 A0或1 B1或-1 C-1或-3 D-1或36n阶矩阵A可逆的充分必要条件是（ D ）。AA

6、= 0 BA 0 C| A| = 0 D|A| 07如果n阶矩阵A，B均可逆，则必有（ D ）。A B C D8如果n阶矩阵A可逆，则=（ A ）。A B C D9设A，B都为n阶矩阵，如果|AB|= 0，则必有（ C ）。AAB = 0 BA = 0或 B = 0 C| A| = 0或| B | = 0 D10当ad - cb =1时，=（ B ）。A B C D11设A为mn矩阵，如果r(A) = r （ min( m, n )），则（ B ）。AA有一个r阶子式不等于零，一个r + 1阶子式等于零。BA有一个r阶子式不等于零，所有r + 1阶子式都等于零。CA的所有r阶子式都不等于零，一

7、个r + 1阶子式等于零。DA的r阶子式不全为零，一个r + 1阶子式等于零。12向量组(m 2)线性相关的充分必要条件是（ A ）。A中至少有一个向量可以用其余向量线性表示。B中有一个零向量。C中的所有向量都可以用其余向量线性表示。D中每一个向量都不能用其余向量线性表示。13向量组的部分组 是向量组的一个极大无关组，则其必须满足（ C ）。A线性无关，中至少有一个向量可以用线性表示。B线性相关，中所有向量都可以用线性表示。C线性无关，中所有向量都可以用 线性表示。D线性无关，中所有向量都不可以用线性表示。14设A为n阶矩阵，如果| A | = 0，则齐线性方程组AX = 0（ B ）。A无解

8、 B有非零解 C仅有零解 D不能确定是否有非零解15三元线性方程组的全部解为（ A ）。A （为任意常数）B （为任意常数）C （为任意常数）D （为任意常数）四、计算题：1.解方程.2.设, 求 3.计算n阶行列式D =.4.设矩阵A，B分别为A=.求.5.设其中试求6.求x，y，t，u，使得7.求矩阵X使XA=B，其中8.设X为n阶矩阵且满足AX - B = 0,试求X,其中9.设向量组,试求此向量组的秩和它的一个极大无关组.10设A=求Rank（A）.五、求解下列各题：1.讨论齐次线性方程组AX=0，其中A=1）当n为何值时，此方程组有唯一零解，或有非零解？2）求出当n = 4时方程组的

9、全部解.2.当取何值时，下面线性方程组有非零解，并求出此时的全部解.3.试讨论下面方程组中取何值时,它有唯一解,无穷多解或无解,并求出有解时的全部解:4.设向量 1)当取何值时,可用线性表示; 2)当取何值时,不能用线性表示.5.当a,b为何值时,方程组 有无穷多解?并求此时的全部解.6.求线性方程组的全部解.7.求下面线性方程组的全部解: 8.当a,b取何值时,下面三元线性方程组有唯一解,无穷多解或无解? 六、证明题：1.若n阶矩阵A满足A+ A- E = 0,其中E为n阶单位矩阵,试证矩阵A+E为可逆矩阵.2.设A为n阶矩阵且A= 0 (n为自然数)，则E- A是可逆矩阵且=(其中E为n阶

10、单位矩阵).3.设线性无关,则亦线性无关. 4.设向量组与向量组有相同的秩,则可用线性表示.5.证明线性方程组满足时有解.6.设A为正交矩阵,试证其伴随矩阵亦为正交矩阵.北京邮电大学高等函授教育、远程教育工程数学综合练习解答通信工程、计算机科学与技术专业（本科）线性代数部分一、判断题：1.,2.,3. ,4. ,5. ,6. ,7. ,8. ,9. ,10. ,11. ,12. ,13. ,14. ,15. 16. 17. ,18. ,19. , 20. ,21. ,22. ,23. ,24. ,25. ,26. .二、填空题：1.0;2.7,-3,-21;3.-12;4.3,-3,1,2,-

11、2; 5.,6.无关,不能;7.,是;8.Rank(A)=n;9.;81 ;10.,;11.n,1;12.13. 14., 15.,16. ,17.三、单项选择：题号12345678910选项ACDBCDDACB题号1112131415选项BACBA四、计算题：1. 原式=求得2. D=,故有D=16.3. D=1+(-1)=.4. 原式=其中A+B= 所以 =5.由于则所以均可逆,且有 , 6.由题意可得则有,求得x=2, y=4, t=1, u=3.7.由XA=B可得,其中则X =8.由AX=B及可知,其中=9.记以上矩阵中有一个三阶子式 ,且所有的四阶子式都等于零,故Rank(A)=3,

12、即秩,且它的一个极大无关组为.10.故Rank(A) = 4.五、求解下列各题：1. 1)=1+(-1)=所以,当n为奇数时,方程组有唯一零解;当n为偶数时,方程组有非零解.2) 当n = 4时,原方程组的同解方程组为令= 1得原方程组的基础解系为,则原方程组的全部解为k(-1,1,-1,1)(k为任意常数).2. 当,即或时,方程组有非零解.其中当时,原方程组的同解方程组为求得它的一个基础解系为,此时原方程组的全部解为为任意常数); 当时,原方程组的同解方程组为求得它的一个基础解系为,此时原方程组的全部解为为任意常数).3.1)当且时,方程组有唯一解,其同解方程组为求得2)当时,此时Rank

13、=Rank(A)=13,方程组有无穷多解,其同解方程组为,求得它的全部解为为任意常数,)3)当时,此时Rank,原方程组无解.4.设,即(1)方程组(1)的系数行列式当且时,方程组(1)有唯一解,此时可用线性表示;当时,Rank=Rank(A)=13,方程组(1)有无穷多解,此时亦可用线性表示;当时,RankRank(A)=2,此时方程组(1)无解,即不能用线性表示.5.显然,Rank(A)=2,当时,此方程组有解且有无穷多解,即当a=0且b=2时,方程组有无穷多解.它的同解方程组为令时,可得原方程组的一个特解为,原方程组的导出组的同解方程组为可求得它的一个基础解系为,.则原方程组的全部解为为任意常数).6.原方程组的同解方程组为,求得它的一个特解为,其导出组的一个基础解系为则原方程组的全部解为为任意常数)7.原方程组的同解方程组为令,可求得方程组的一个特解为其导出组的同解方程组为令,可求得它的一个基础解系为则原方程组的全部解为为任意常数).8.当且时,方程组有唯一解;当b = 0时, ,显然,此时方程组无解;当时, ,其中当a = 1且b=时,方程组有无穷多解,当a = 1且时,此时方程组无解.综上所述: 当且时,方程组有唯一解;当且时,方程组有无穷多解;当或当且时,方程组无解.六、证明题：1. 因为,即也就是故有所以,即A+E为