根轨迹_有关于分离角(汇合角)的证明

1、在第四章根轨迹法中，闭环系统的稳定性和性能指标主要由闭环系统极点在复杂平面上的位置决定，因此在分析或设计系统时确定闭环系统极点的位置是非常有意义的。1948年，埃文斯提出了根轨迹法，它是基于系统的开环传递函数和闭环传递函数之间的关系，并根据一定的准则，从开环传递函数的零点和极点直接得到闭环极点(闭环特征根)。4.1根轨迹的基本概念，根轨迹：是指当系统开环传递函数中的一个参数(如开环增益k)从零变为无穷大时，闭环特征根在S平面上的运动所画出的轨迹。常规根轨迹：对应于开环增益可变参数的根轨迹。广义根轨迹：当改变的参数是开环传递函数中的其他参数时，对应的根轨迹。1.定义根轨迹、系统的传递函数及其闭环

2、传递函数，进而得到闭环特征方程，并得到闭环特征根表达式。取k作为不同的值，代入s1，2表达式，得到2。根轨迹与系统的性能和稳定性：只要K0，根轨迹就在s平面的左半平面，所以系统是稳定的。稳态性能：在坐标原点有一个开环极点，所以系统是第一类，k是静态速度误差系数。动态性能：当0m时，沿渐近线将有(n-m)个根轨迹趋于无穷大，渐近线与实轴正方向的夹角为0，与实轴相交的坐标为0。本文中，当n-m=1、2、3和4时，幅渐近线图像是常见的。观察到存在(n-m)条渐近线，这些渐近线以中心平分s平面，并且几条渐近线之间的夹角为0。因此，只要找到一条渐近线与实轴之间的夹角，就很容易找到其他渐近线的位置。规则6

3、根轨迹的分离点(或交汇点)坐标sd:两条或多条根轨迹在S平面相遇后立即分离的点称为分离点。分离点满足方程：根轨迹从开环极点开始，到开环零点结束。一般来说，如果实轴上两个相邻极点之间的线段属于根轨迹，则两个极点之间至少有一个分离点；如果根轨迹位于实轴上两个相邻的开环零点之间(或者其中一个零点是无穷大零点)，则在两个零点之间至少有一个分离点。首先判断是否有分离点，然后确定分离点的近似位置：实轴在复平面上以共轭形式出现，一般指位于实轴上的两个根轨迹的分离点。注意：开环零点和极点位置的变化会影响根轨迹的形状，所以要小心掌握。属于根轨迹部分的点是分离点，否则将被丢弃。证明了系统闭环特征方程的根轨迹有分离

4、点，表明闭环特征方程有多个根。因此，通过将上述两个公式分开，我们可以得到根轨迹的分离角(和相遇角):分离角是指离开分离点的根轨迹的切线与实轴的正方向之间的角度。相遇角指的是进入相遇点的根轨迹的切线和实轴的正方向之间的角度。实轴上分离点的分离角为；交点在实轴上的交角为。分离角计算公式：其中，标清-分离点坐标ZJ-开环零点si-k=原系统的KD，除了l个重极点外，原系统的其他(n-1)个闭环极点，即新系统的开环极点l-分离点根轨迹的分枝数，满足角计算公式：其中，标清-分离点坐标pi-原系统的开环极点si其他(n-1)个开环极点(原系统的闭环极点)为分支数一般来说，当两个根位点相遇并分离时因此，只要

5、确定sd点附近的一个根轨迹的方向，就可以通过上述规则方便地确定sd点附近的所有根轨迹的方向。第八条根轨迹的起始角和终止角：起始角是指根轨迹在起始点的切线与实轴正方向的夹角。终止角是指进入开环零点的根轨迹的切线和实轴的正方向之间的角度。计算起始角的公式：计算终止角的公式：规则9根轨迹与虚轴的交点和临界根轨迹增益，根轨迹与虚轴的交点意味着在闭环极点有一对共轭虚根。因此，通过将s=j代入特征方程，可以获得总和K*，即根轨迹和虚轴之间的交点的坐标和对应于该交点的临界根轨迹增益Kcr。将s=j代入特征方程，得到1 g (j) h (j)=0，从而可由上述方程得到总和K*。规则10，闭环极点(根)的和与积

6、，把系统的闭环特征方程写成，并把它的N个根写成，然后根据根和代数方程的系数之间的关系，可以知道，如果写系统的传递函数，如果开环零点和极点的个数满足N-M 2，那么闭环特征方程就是，当m=0时，也就是说，当没有开环零点时， 上式左端的最后一项应该是，这样得到系统闭环极点的乘积是，或，解是，实轴上的(2) (-1.5，0)和(-，-2.5)是根轨迹段。 (3)渐近线：从n-m=1，可以知道有一个根轨迹趋向于无穷大。同样，开环零点z2处的结束角为：开环零点z3处的结束角为：例如，负反馈系统的开环传递函数被尝试作为系统的闭环根轨迹，k为(从0变化)。解决方案：开环极点：p1=0，p2=-1，p3=-2

7、无开环零点。(2) n=3，根轨迹有三个分枝；(3)当K=0时，根轨迹从p1、p2和P3 K开始，并趋于无穷大。(4)实轴上的根轨迹部分：(-1，0)，(-，-2)，(5)渐近线：(6)分离点sd:可用公式求解，得到sd=-0.42，sd=-1.58(略)，(7)分离角将实部和虚部写成方程，并求解。因此，与虚轴相交的坐标是关键增益。解决方案：开环极点：p1=0，p2=-3，P3，4=-1 J没有开环零点；(3)当k=0时，根轨迹从p1、p2、P3和4k开始，并趋于无穷大。(2) n=4，根轨迹有四个分枝；(4)实轴上的根轨迹截面：(-3，0)，(5)渐近线：(6)分离点坐标sd:求它，并得到S

8、D=-2.2886SD=-0.7307j0.3486(截止)，它由公式给出，(7)分离角：用特征方程代替，把实部和虚部写成方程，然后求解。因此，交点与虚轴的坐标是临界增益。(10)找到对应于K=8.16的另外两个闭环根：利用根的和与根的乘积之间的关系，我们可以得到s1，2=j1.095是已知的，然后是S3，4=-2.5j0.75开环极点：p1=0，p2=-a开环零点：z1=-b，解：(2) n=2，根轨迹有两个分支；(3)当k=0时，当根轨迹开始于p1和p2k时，一个根轨迹结束于z1，而另一个趋向于无穷大。(4)根轨迹在实轴上的截面：(-a，0)，(-，-b)，(5)渐近线：因为nm=1，(6

9、)分离点坐标sd:根据公式，得到两个分离点的坐标，这证明了两个分离点之间的根轨迹是圆，因为根轨迹代入特征方程，展开，排序，排序和排序得到，显然，这是一个圆的方程，作为变量，它的中心坐标是(-b，0)，它的半径是。将k代入排序，从例子中，我们可以发现由两个极点(实极点或复极点)和一个有限零点组成的开环系统，只要有限零点不位于两个实极点之间。这可以在数学中得到严格证明。根轨迹的形状与开环极点和零点的分布密切相关。首先，增加开环极点的影响会改变根轨迹在实轴上的分布；改变渐近线的数量、方向角和与实轴的交点；通常，根轨迹向右移动，这不利于系统的稳定性和动态特性。2.增加开环零点的影响，例如，增加开环零点

10、可以使根轨迹向左移动，这有利于提高系统的稳定性和动态特性。4.3用根轨迹分析系统的动态性能，把N阶系统的闭环传递函数写成如下：1 .闭环零极点分布和阶跃响应之间的定性关系。如果输入是单位阶跃信号，r(t)=1(t)，则R(s)=1/s被代入上述公式。如果没有多个极点，上述公式可以分解为部分分数，其中控制系统总是希望其输出尽可能地再现给定的输入，并要求动态过程的快速性和稳定性更好。1.如果要求系统稳定，所有闭环极点si必须位于s平面的左半平面。2.要求系统具有良好的快速性，阶跃响应公式中的每个分量eskt都应迅速衰减，因此闭环极点应远离虚轴。如果需要良好的平稳性，复极点应位于与负实轴成45角的直

11、线附近。2.主导极点和偶极子；3.动态过程应尽快消失，系数Ak应较小，因为Ak较小，相应的瞬态分量也较小。所以我们应该让分母大，分子小。可以看出，闭环极点之间的距离(sk-si)较大；零点zi应该靠近极点sk。一阶系统，闭环特征方程是Ts 1=0，闭环特征根是实根，s1=-1/T，它位于S平面的左半平面。系统的阶跃响应公式是快速性指数。可以看出，为了提高系统的快速性和减少调节时间，时间常数T应该更小，特征根的绝对值应该更大，即s1远离虚轴。二阶系统，欠阻尼情况下，闭环特征根为负根，位于S平面左侧。可以看出，为了提高快速性，n应该增加，即特征根的实部的绝对值应该更大，即s1、2和2远离虚轴。闭环

12、特征方程是，快度指数，偶极：如果闭环的极点和零点在复平面上彼此接近，它们通常变成偶极。在工程中，如果某个极点和零点之间的距离比它们自身的模数小一个数量级，它们就会形成偶极子。主导极点：在S平面上，一些最靠近虚轴且附近没有闭环零点的闭环极点称为主导极点。主导极点对系统的性能影响最大，而远离虚轴的极点对系统的影响很小。任何其他闭环零点或极点大于主导极点实部的6倍(比主导极点离虚轴远4 6倍)可以忽略其影响。因此，在很多情况下，在同时考虑偶极子处理原理后，高阶系统只剩下两三个主导极点和一两个零点，因此可以估计阶跃响应的性能指标，从而简化高阶系统的分析和研究工作。3.例如，使用主导极点来估计系统的性能

13、指标，三阶系统的闭环传递函数试图估计系统的性能指标%和ts。闭环传递函数有三个极点，即s1=-1，s2，3=-4j9.2和闭环零z1=1.1.从零点和极点的分布图可以看出，极点s1和零点Z1形成偶极子，所以主导极点是s2，3而不是s1。因此，该系统可以近似为二阶系统，即系统的s=0.4，n=10 s-1，相应的性能指标。第四，系统阶跃响应的根轨迹分析。例如，负反馈系统的开环传递函数试图成为系统K*(从0变化)的闭环根轨迹，并进行动态分析。解决方案：开环极点：p1=0，p2=1，开环零点： z1=-1，(3)实轴上的根轨迹部分(0，1)，(-，-1)，(4)渐近线3360，解决方案是：SD1=0.46，sd2=，(5)分离点坐标SD，(6)实轴上的分离角和会聚角：90和0，180，(7)起始角，(8)与虚轴和临界增益的交点坐标还有，从图中可以看出，当K*取在其他范围时，系统是不稳定的。 4.4广