建筑力学11-梁应力一

1、第九章 梁的应力,本章主要掌握的内容: 梁弯曲时横截面上的应力 1,，梁的正应力和正应力强度条件、 2，梁的剪应力和剪应力强度条件、 3，梁的主应力、 4，提高梁抗弯能力的措施。,9.1 梁弯曲时横截面上的正应力,图9.1(a)所示的简支梁，荷载与支座反力都作用在梁的纵向对称平面内，其剪力图和弯矩图如图9.1(b)、(c)所示。 由图可知，在梁的AC、DB两段内，各横截面上既有剪力又有弯矩，这种弯曲称为剪切弯曲(或横力弯曲)。 在梁的CD段内，各横截面上只有弯矩而无剪力，这种弯曲称为纯弯曲。,图9.1,取一矩形截面等直梁，先在其表面画两条与轴线垂直的横线-和-，以及两条与轴线平行的纵线ab和c

2、d(图9.2(a)。然后在梁的两端各施加一个力偶矩为M的外力偶，使梁发生纯弯曲变形(图9.2(b)。可以观察到如下现象： （1） 梁变形后，横线-和-仍为直线，并与变形后梁的轴线垂直，但倾斜了一个角度。 （2） 纵向线变成了曲线，靠近顶面的ab缩短了，靠近底面的cd伸长了。,9.1.1 现象与假设,图9.2,根据上述的表面变形现象，由表及里地推断梁内部的变形，作出如下的两点假设： (1) 平面假设 假设梁的横截面变形后仍保持为平面，只是绕横截面内某轴转了一个角度，偏转后仍垂直于变形后的梁的轴线。 (2) 单向受力假设 将梁看成是由无数纵向纤维组成，假设所有纵向纤维只受到轴向拉伸或压缩，互相之间

3、无挤压。,(1) 变形的几何关系 将梁变形后截面-和-之间的一段截取出来进行研究(图9.3)。若把OO纵线看成材料的一层纤维，则这层纤维既不伸长也不缩短，称为中性层。中性层与横截面的交线称为中性轴，如图9.4所示。 纵线cd的线应变为,10.1.2 纯弯曲梁的正应力,图9.3,图9.4,(2) 物理关系 由于假设纵向纤维之间无挤压，只受到单向轴向拉伸或压缩，所以在正应力不超过比例极限时，由拉压虎克定律可得 =E=Ey/ 对于确定的截面，E与均为常数。式(b)说明，横截面上任一点的正应力与该点到中性轴的距离成正比，即应力沿截面高度方向成线性规律分布，如图9.5所示。,图9.5,(3) 静力关系

4、在横截面上取一微面积dA，其微内力为dA，梁发生纯弯曲时，横截面上内力简化的结果只有弯矩M，如图9.6所示。,图9.6,计算正应力时，M和y均可代入绝对值，正应力的正负号直接由梁的变形来判断。以中性层为界，梁变形后凸出边的正应力为拉应力，取正值；凹入边的正应力为压应力，取负值(图9.7)。,图9.7,【例9.1】一悬臂梁的截面为矩形，自由端受集中力P作用(图9.8(a)。已知P=4kN，h=60mm，b=40mm，l=250mm。求固定端截面上a点的正应力及固定端截面上的最大正应力。 【解】(1) 计算固定端截面上的弯矩M M=Pl=4250kNmm=1000kNmm (2) 计算固定端截面上

5、a点的正应力 Iz=bh3/12=40603/12mm4=72104mm4 a=M/Izya=13.9MPa,图9.8,(3) 计算固定端截面上的最大正应力 固定端截面的最大正应力发生在该截面的上、下边缘处。由梁的变形情况可以看出，上边缘产生最大拉应力，下边缘产生最大压应力，其应力分布如图9.8(b)所示。最大正应力值为 max=M/Izymax=41.7MPa,【例9.2】简支梁受均布荷载q作用，如图9.9(a)所示。已知q=3.5kN/m，梁的跨度l=1m，该梁由10号槽钢平置制成。试计算梁的最大拉应力lmax和最大压应力ymax以及它们发生的位置。 【解】(1) 求支座反力 由对称性有

6、RA=RB=ql/2=5.25kN (2) 作出弯矩图，如图9.9(b)所示。最大弯矩发生在跨中截面，其值为 Mmax=ql2/8=0.44kNm,(3) 由型钢表查得10号槽钢截面 Iz=25.6cm4=25.6104mm4 y1=1.52cm=15.2mm y2=3.28cm=32.8mm (4) 计算正应力 最大拉应力发生在跨中截面的下边缘处 lmax=Mmax/Izyz=56.05MPa 最大压应力发生在跨中截面的上边缘处 ymax=Mmax/Izy1=25.98MPa,图9.9,9.2 梁的正应力强度计算,在进行梁的强度计算时，必须算出梁的最大正应力值。对于等直梁，弯曲时的最大正应力

7、一定在弯矩最大的截面的上、下边缘。该截面称为危险截面，其上、下边缘的点称为危险点。 (1) 对于中性轴是截面对称轴的梁 最大正应力的值为 max=Mmax/Wz 式中Wz称为抗弯截面系数,9.2.1 最大正应力,(2) 对于中性轴不是截面对称轴的梁 例如图9.10所示的T形截面梁，在正弯矩M作用下，梁下边缘处产生最大拉应力，上边缘处产生最大压应力，其值分别为 lmax=M/Izy1 ymax=M/Izy2 令 Wl=Iz/y1，Wy=Iz/y2 则 lmax=M/Wl，ymax=M/Wy,图9.10,(1) 当材料的抗拉和抗压能力相同时，即 l=y=， 则梁的正应力强度条件为 max=Mmax

8、/Wz 强度校核 在已知梁的材料和横截面的形状、尺寸，以及所受荷载的情况下，可以检查梁是否满足正应力强度条件。 截面设计 当已知荷载和梁的材料时，可根据强度条件，计算所需的抗弯截面系数 WzMmax/ 再根据梁的截面形状进一步确定截面的具体尺寸。,10.2.2 正应力强度条件, 确定许可荷载 如已知梁的材料和截面尺寸，先根据强度条件，计算出梁所能承受的最大弯矩 MmaxWz 再由Mmax与荷载间的关系计算出许可荷载。 (2) 当材料的抗拉和抗压能力不相同时，即 ly， 则梁的正应力强度条件为 lmax=Mmax/Wll ymax=Mmax/Wyy,【例9.3】重物安装在如图9.11(a)所示的

9、结构上，重物P=40kN，对称地固定在两根同型号的工字钢外伸梁上，已知工字钢的许用应力=60MPa。试选择工字钢的型号。 【解】(1) 外伸梁的计算简图和弯矩图分别如图9.11(b)、(c)所示。危险截面为A截面，最大弯矩值为 Mmax=40kNm (2) 求抗弯截面模量 WzMmax/=40106/60mm3=667cm3 Wz是两根工字钢的抗弯截面系数，对于单根的工字钢，抗弯截面系数,图9.11,Wz=Wz/2667/2cm3=333cm3 查型钢表有22b号工字钢，其抗弯截面系数Wz=325cm3，比所求略小，但误差仅为2.4%，没有超过5%，是允许的。故选22b号工字钢。,【例9.4】

10、矩形截面的木搁栅两端搁在墙上，承受由地板传来的荷载(图10.12(a)。若地板的均布面荷载p=3kN/m2，木搁栅的间距a=1.2m，跨度l=5m，木材的许用应力=12MPa。试求： (1) 当截面的高宽比h/b=1.5，试设计木梁的截面尺寸b、h； (2) 当此木搁栅采用b=140mm、h=210mm的矩形截面时，试计算地板的许可面荷载p。 【解】(1) 设计木搁栅的截面尺寸 木搁栅支承在墙上，可简化为简支梁计算(如图9.12(b)。每根木搁栅的受荷宽度a=1.2m，所以其承受的均布线荷载为,图9.12,q=pa=31.2kN/m=3.6kN/m 最大弯矩发生在跨中截面 Mmax=ql2/8

11、=3.652/8kNm=11.25kNm 由强度条件可得所需的抗弯截面系数为 WzMmax/=937.5103mm3 由于h=1.56，有 Wz=bh2/6=b(1.5b) 2/6=2.25b3/6 所以2.25b3/6937.5103 得b136mm 为施工方便，取b=140mm，则 h=1.5b=210mm,(2) 求地板的许可面荷载p 当木搁栅的截面尺寸为b=140mm、h=210mm时，抗弯截面系数为 Wz=bh2/6=1402102/6mm3=1.029106mm3 木搁栅能承受的最大弯矩为 MmaxWz=1.02910612Nmm =12.3106Nmm=12.3kNm 而Mmax

12、=ql2/8=pal2/8 即pal2/812.3kNm p12.38/1.252kN/m2=3.25kN/m2 所以，地板的许可面荷载p=3.25kN/m2。,【例9.5】T形截面外伸梁的受力如图9.13(a)所示。已知材料的许用拉应力l=32MPa，许用压应力y=70MPa。试按正应力强度条件校核梁的强度。 【解】(1) 画出M图如图9.13(b)，由图中可知，B截面有最大的负值弯矩，C截面有最大的正值弯矩。 (2) 计算截面形心的位置及截面对中性轴的惯性矩。 取下边界为参考轴z0，确定截面形心C的位置(图9.13(c) yC=yiAi/Ai=139mm 计算截面对中性轴z的惯性矩 Iz=

13、40.3106mm4,图9.13,(3) 校核强度 由于梁的抗拉强度与抗压强度不同，且截面中性轴z不是对称轴，所以梁的最大负弯矩和最大正弯矩截面都需校核。 校核B截面的强度： B截面为最大负弯矩截面，其上边缘产生最大拉应力，下边缘产生最大压应力。 lmax=MB/Izy上=30.3MPal ymax=MB/Izy下=69MPay 校核C截面强度：,C截面为最大正弯矩截面，其上边缘产生最大压应力，下边缘产生最大拉应力。 ymax=MC/Izy上=5.1MPa 因max远大于，应重新选择更大的截面。现以25b号工字钢进行试算，由型钢表查得： Iz/Szmax=21.27cm，d=1cm,再次进行剪

14、应力强度校核 max=Qmax/(Iz/Szmaxd) =210103/21.271010MPa =98.6MPa=1.8MPa,原设计的截面尺寸不能满足剪应力强度条件，必须根据剪应力强度条件重新设计截面尺寸。 (4) 根据剪应力强度条件设计截面尺寸 max=3Qmax/2A=1.8 得h23551034/231.8mm2=61111mm2 h247mm 取h=248mm，则 b=3/4h=186mm 最后确定的枕木矩形截面尺寸为h=248mm，b=186mm。,【例 9.9 】一民用房屋的三角形屋架，桁条采用圆木，桁条间距为90cm，屋面上总荷载(包括瓦、屋面板、桁条等重量)为1.1kN/m2，木材的许用应力=12MPa，=1.3MPa。试选择桁条的梢径d0。 【解】(1) 桁条的计算简图如图9.20(c)，荷载q为 q=1.10.9kN/m=0.99kN/m (2) 画出桁条的Q图和M图，如图9.20(d)、(e)所示。 (3) 根据正应力强度条件设计桁条直径d 由M图可知， Mmax=1/8ql2=1/80.9942kNm=1.98kNm,图9.20,由正应力强度条件 WzMmax/ =1.98106/12mm3=165103mm3 Wz