2013-2014学年高中数学人教A版选修1-1同步辅导与检测：3.3.2函数的极值与导数

1、33 导数在研究函数中的应用 3.3.2 函数的极值与导数,导数及其应用,1极值的概念 如果函数yf(x)在点xa的函数值f(a)比它在点xa附近其他点的函数值都小，f(a)0，而且在点xa附近的左侧f(x)0，右侧f(x)0，则把点a叫做yf(x)的极小值点，f(a)叫做函数yf(x)的极小值；如果函数yf(x)在点xb的函数值f(b)比它在点xb附近其他点的函数值都大，f(b)0，而且在点xb附近的左侧f(x)0，右侧f(x)0，则把点b叫做yf(x)的极大值点，f(b)叫做函数yf(x)的极大值,2求函数yf(x)的极值的一般方法 解方程f(x)0.当f(x)0时： (1)如果在x0附近

2、的左侧f(x)0，右侧f(x)0，那么f(x0)是极大值； (2)如果在x0附近的左侧f(x)0，右侧f(x)0，那么f(x0)是极小值,函数极值求解的一般步骤 依据极值的概念，可以归纳得出求函数yf(x)的极值的一般步骤： (1)确定函数的定义域； (2)求导数f(x)； (3)解方程f(x)0； (4)判断f(x)在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值 注意：函数yf(x)在一点的导数值为0是函数yf(x)在这点取极值的必要条件，而非充分条件,求函数f(x)x312x的极值,解析：易知函数的定义域为R，且 f(

3、x)3x2123(x2)(x2) 令f(x)0，得x2或x2. 当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：,因此，当x2时，f(x)有极大值，且极大值为 f(2)16； 当x2时，f(x)有极小值，且极小值为f(2)16. 点评：这是基本题，主要目的是为了巩固函数极值的求法，要求思路清晰，表述合理,变式迁移,设函数f(x)2x33(a1)x21，其中a1. (1)求f(x)的单调区间； (2)讨论f(x)的极值,解析：由已知得，f(x)6xx(a1)， 令f(x)0，解得 x10，x2a1. (1)当a1时，f(x)6x2， f(x)在(，)上单调递增 当a1时，f(x)6xx(a1)，

4、f(x)，f(x)随x的变化情况如下表：,从上表可知，函数f(x)在(，0)上单调递增；在(0， a1)上单调递减；在(a1，)上单调递增 (2)由(1)知， 当a1时，函数f(x)没有极值 当a1时，函数f(x)在x0处取得极大值1，在xa1处取得极小值1(a1)3. 点评：该题综合考查了函数的单调性和极值的定义与求法，其中渗透了字母运算和分类讨论的数学思想，体现了高考命题的方向，具有很强的实战价值,变式迁移,已知f(x)ax3bx2cx(a0)在x1处取得极值，且f(1)1. (1)试求常数a、b、c的值； (2)试判断x1是函数的极大值还是极小值，并说明理由,解析：(1)易得f(x)3ax22bxc， x1是函数的极值点， x1是方程3ax22bxc0的两根 由根与系数的关系知：，,点评：根据题目的结构特征进行逆向思维，合理地实现问题的转化，挖掘出问题的隐含条件f (1)0，从而运用待定系数法求得常数a、b、c的值,变式迁移,3已知函数f(x)x3ax2bxc，且知当x1时取得极大值7，当x3时取得极小值，试求函数f(x)的极小值，并求a，b，c的值,基础训练,1f(x0)0是函数yf(x)在xx0处有极值点的( ) A充分不必要条件 B充要条件 C必要不