工程数学11Lagrange插值与Newton插值

1、第五章 函数插值,第一节 函数插值的基本问题,第二节 Lagrange插值,第三节 Newton插值,第四节 带导数条件的Hermite插值,第五节 分段低次插值,第六节 分段三次样条插值,机翼断面的下轮廓线如图所示，下表给出了下轮廓线上的部分数据。用程控铣床加工时，每一刀只能沿x方向和y方向走非常小的一步。例如，如果工艺要求铣床沿x方向每次只能移动0.1单位，这时就需要求出当x坐标每改变0.1单位时的y坐标。试完成加工所需的数据，画出曲线。,问题1：机床加工,在水文数据的测量中，不同水深的流速是不同的。水文数据的测量是天天进行的，为了减少测量的工作量，希望确定水深和流速之间的关系。为此测量了

2、一系列不同水深和流速值，下表给出了对某河流的测量数据,问题2：水深和流速的关系,插值的任务就是由已知的观测点(xi,yi)为物理量(未知量),建立一个简单的、连续的解析模型g(x) ，以便能根据该模型推测该物理量在非观测点处的特性。,o,x,y,y0,x1,x2,xn,y1,y2,yn,x0,y=f(x),g(x),插值法:由实验或测量的方法得到所求函数 y=f(x) 在互异点x0 , x1, . , xn 处的值 y0 , y1 , , yn , 构造一个简单函数 F(x) 作为函数 y=f(x) 的近似表达式 y= f(x) F(x) 使 F(x0)=y0 , F(x1)=y1 , , F

3、(xn)=yn , (a) 这类问题称为插值问题。 f(x) 称为被插值函数，F(x) 称为插值函数， x0 , x1, . , xn 称为插值节点。 (a)式称为插值条件。,第一节 函数插值的基本问题,插值函数的类型,当插值函数是代数多项式时，插值问题称为代数插值。,定理1 设x0 ,x1,xn 是n+1个互异节点,函数f(x)在这组节点的值yk=f(xk)(k=0,1,n)是给定的，那么存在唯一的次数n的多项式Pn (x)满足 Pn (xk)= yk, k=0,1,n。,设 Pn(x)=a0+a1x+anxn, (1) n次代数插值问题为:求次数n的多项式Pn(x),使满足插值条件 Pn(

4、xi)=yi, i= 0,1,2,，n, (2),代数插值,由插值条件(2)知Pn(x)的系数满足下列n+1个代数方程构成的线性方程组 a0+a1x0+ a2x02 + +anx0n=y0 a0+a1x1+ a2x12 + +anx1n=y1 (3) . a0+a1xn+ a2xn2 + +anxnn=yn,证明,ai(i=0,1,2,n)的系数行列式是Vandermonde行列式,待定系数法,由于xi互异，所以(4)右端不为零，从而方程组(3)的解 a0 ,a1 ,an 存在且唯一。,但遗憾的是方程组(3)是病态方程组,阶数n越高，病态越严重。为此我们从另一途径寻求获得Pn(x) 的方法-L

5、agrange插值和Newton插值。（这两种方法称为基函数法）,证毕,插值误差估计,令 Ln(x)=l0(x)y0 + l1(x)y1 + +ln(x)yn 求n 次多项式 lj(x) ,(j=0,1,n)使其满足条件,n 次插值多项式 :求次数n的多项式Ln(x), 使其满足 Ln(x0)=y0 , Ln(x1)=y1 , . , Ln(xn)=yn .(5),容易求得,lj(x)(j=0,1,n)称为以x0 , x1,. , xn为节点的Lagrange插值基函数。,第二节 Lagrange插值,.(6) 公式（9）就是n次Lagrange插值多项式.,特点：构造容易，L-型插值基函数理

6、论上有意义， 但增加节点要重新计算，不适合编程计算。 实际应用中只用低次插值。,线性插值(n=1) 求次数1 的多项式L1(x). 满足条件L1(x0)=y0 , L1(x1)=y1 ,类似的可以得到 l1(x), l2(x),定理2: 设Ln(x)是过点x0 ，x1 ，x2 ，xn的f(x)的n 次插值多项式，f(x) Cn+1a,b ，其中a，b是包含点x0 ，x1 ，x2 ，,xn的区间，则对任意给定的xa，b，总存在一点（a，b）（依赖于x）使,Lagrange插值的截断误差,(7),其中,罗尔定理 设f(x)在a,b内连续，在(a,b)内可导，且有 f(a)=f(b)；则在(a,b)

7、内一定存在一点，使得f()=0。,证明: 显然 Rn(xi ) =f(xi)-Ln(xi)=0 , i=0,1,n, 现在任意固定一点 x a,b, xxi (i=0,1,n), 设Rn(x)=K(x) n+1(x),引进辅助函数 g(t)=f(t)- Ln(t)-K(x)n+1(t), (*),则g(t)在a,b上具有n+1阶连续导数，在 t= x0, x1, xn, x 诸点处函数值皆等于零。,即g(t)在a,b中有n+2个零点。,由罗尔定理知g(t)在a,b中有n+1个零点。,如此反复，最后可推知g(n+1)(t)在a,b中有1个零点 ，即有 g(n+1)( )=0, a b.,因为n+

8、1(t)是n+1次多项式， n+1(n+1)(t)=(n+1)!,又因为Ln(t)是次数为n的多项式,因此Ln (n+1)(t) = 0 。这样，由(*)式便有,代入Rn(x)=K(x) n+1(x),即得结论,由此得,证毕,应当指出，余项表达式只有在 f(x) 的高阶导数存在时才能应用。 在 （a，b）内的具体位置通常不可能给出，如果我们可以求出 那么插值多项式Ln(x)逼近f(x)的截断误差是,例: 已给sin0.32=0.314567, sin0.34=0.333487, sin0.36=0.352274, 用线性插值及二次（抛物）插值计算 sin0.3367 的值并估计截断误差。,解：

9、 由题意取x0=0.32, y0=0.314567 , x1=0.34 , y1=0.333487 , x2=0.36 , y2=0.352274 , x=0.3367 。 用线性插值计算，取 x0=0.32 及 x1=0.34 , 又由公式得,其截断误差为 其中 ，因 f(x)=sinx，f”(x)= -sinx， 可取 ，于是 R1(0.3367)=sin 0.3367 L1(0.3367) 1/2(0.3335)(0.0167)(0.0033)0.92105，,若取x1=0.34，x2=0.36为节点，则线性插值为,其截断误差为 其中 于是,用二次插值计算 sin0.3367时，可得,这

10、个结果与六位有效数字的正弦函数表完全一样， 这说明查表时用二次插值精度已相当高了。,其截断误差为 其中 于是,第三节 Newton插值,本节介绍Newton插值多项式，该公式是另一种具有承袭性的插值多项式，且在后续章节有重要应用。为了使Newton插值多项式具有承袭性，令,式中c0,c1,cn 为插值多项式系数。 为便于表示Nn(x), 引出差商概念.,差商及其性质 定义1 给定一个函数表,一般的, f(x)关于xi,xi+1,xi+k的k 阶差商记做 fxi,xi+1,xi+k ,例：,定理1: 差商具有如下性质 (1)差商与函数值的关系为,(2)差商与结点排列顺序无关,由插值条件 Nn(xi)=f(xi) i=0,1,n 导出 Nn(x0) =c0=f(x0),Newton 插值公式,依次类推，得： cn=fx0,x1,xn,因此，每增加一个结点，Newton插值多项式只增加一项，克服了 Lagrange插值的缺点。,差商表,例:给定f(x)=lnx的数据表 xi 2.20 2.40 2.60 2.80 3.00 f(xi) 0.78846 0.87547 0.95551 1.02962 1.09861 1.构造差商