陕西省西安市长安区高中数学 1.3 函数的基本性质 2 函数的奇偶性学案 新人教A版必修1（通用）

1、1.3.2函数的奇偶校验知识整理1 .奇函数：对于函数f(x )的定义域内的任何x，都有f(-x)=-f(x)或f(x) f(-x)=0，将f(x )称为奇函数.2 .偶函数：对于函数f(x )的定义域内的任何x，都有f(-x)=f(x)或f(x)-f(-x)=0，将f(x )称为偶函数.3 .奇、偶函数的性质(1)具有偶奇性的函数，其定义域关于原点对称(即，函数是奇函数或偶函数的必要条件，其定义域关于原点对称)。(2)奇函数的图像关于原点对称，并且偶函数的图像关于y轴对称(3)当奇函数的定义域中包含数学式0时，f(0)=0.(4)奇函数的逆函数也是奇函数在(5)中定义(-，)上的任意函数f(

2、x )，能够唯一地表现为一个奇函数和一个偶函数的和.双击1 .以下四个结论中，正确命题的数量是偶函数的图像必须与y轴相交奇函数的图像必须通过原点偶函数的图像相对于y轴是对称奇函数，偶函数的函数必须是f(x)=0(xR )A.1 B.2 C.3 D.4解析：错了不一样。 因为奇函数的定义域中可能不包含原点。不正确，既是奇函数也是偶函数的函数可以设为f(x)=0x(-a，a)。回答： a2 .假设已知函数f(x)=ax2 bx c(a0 )为偶函数，则g(x)=ax3 bx2 cx为a .奇函数b .偶函数c .奇偶函数d .非奇偶函数解析： f(x )为偶函数，b=0，g(x)=ax3 cx(a

3、0 )为奇函数。回答： a3 .若偶函数f(x )是区间-1，0 中减法函数，、是锐角三角形的两个内角，且，则利用以下不等式是正确的PS (PS) PS (PS) PSPS PS；PS PS解析：AMMMMMMMMMMMK函数f(x )在区间-1，0 中是减法函数，f(x )在区间 0，1 中是加法函数.，是锐角三角形的两个内角 90，90-.1sincos0f(sin)f(cos)回答： b如果知道f(x)=ax2 bx 3a b是偶函数，且其定义域是 a-1，2a ，则a=_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

4、 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ u解析：定义域必须关于原点对称a-1=-2a、a=并且，对于给定的解析式，为了使f(-x)=f(x )一定，设b=0.回答： 05 .给定函数：y=(x0) y=x2 1； y=2x； y=log2x； y=log2(x )在这五个函数中，奇函数是_ _ _ _ _，偶函数是_ _ _ _ _，非奇非偶函数是_ _ _ _ _ _ .回答： 典型的分析假定已知函数y=f(x )是偶函数，并且y=f(x-2 )是 0，2 的单调递减函数a.f (0) f (-1 ) f (2) b.f (-1 ) f (0) f (2)。c.f (-1 ) f (2)

5、f (0) d.f (2) f (-1 ) f (0)。解析：从f(x-2 )以 0，2 单调减少f(x )以-2，0 单调减少y=f(x )是偶函数f(x )以 0，2 单调增加另外，因为f(-1)=f(1)，所以应该选择a .回答： a【例2】确定下一个函数的奇偶校验(1)f(x)=|x 1|-|x-1|；(2)f(x)=(x-1 )3)f(x)=；(4)f(x)=分析：根据函数偶奇性的定义来判断解： (1)函数的定义域x(-，)关于原点对称。f (-x )=|- x1|-|- x-1|=|x-1|-|x1|=-(|x1|-|x-1|)=-f (x )f(x)=|x 1|-|x-1|是奇函

6、数。(2)首先确定函数的定义域。 0，得到的-1x1，其定义域与原点不对称，因此f(x )既不是奇函数也不是偶函数(3)删除绝对值符号，根据定义进行判断。由得因此，f(x )定义域是-1，0 (0，1 )，关于原点对称，且由于x 20.所以f(x)=，此时由于f(-x)=-=-f(x )，所以f(x )是奇函数.(4) IMH函数f(x )的定义域是(-，0 ) 2222222222222222222226f (-x )=(-x ) 1- (-x ) =-x (1x )=-f (x ) (x 0)在x 0，8756； f(-x)=-x(1-x)=-f(x)(x0)因此函数f(x )是奇函数。评

7、论： (1)分段函数的奇偶校验应该分段证明(2)判定函数的偶奇性首先需要求出定义域再化简化函数解析式(2020年北京东城区模型问题)函数f(x )的定义域为D=x|x0，对任意的x1、x2D满足f(x1x2)=f(x1) f(x2)。求出(1)f(1)的值(2)判断并证明2)f(x )的奇偶校验在f(4)=1，f(3x 1) f(2x-6)3，f(x )为增加函数为(0，)的情况下，求出x能取的范围.(1)解：设x1=x2=1、f(11)=f(1) f(1)、f(1)=0.假设x1=x2=-1，则存在f(-1)(-1)=f(-1) f(-1 ) .假设x1=-1，x2=x，则f(-x)=f(-

8、1) f(x )，f(-x)=f(x )。(3)解： f(44)=f(4) f(4)=2，f(164)=f(16) f(4)=3f (3x1) f (2x-6 )3f (3x1) (2x-6 ) f (64 )。f(x )增加为(0，)的函数喀嚓喀嚓喀嚓喀嚓喀嚓喀嚓6或者或者3x5或-x-或-x3。x的值的范围是 x|- TTTT -或-x3或3x5评论：解决本问题后，容易出现以下思考障碍(1)不插手，不知道怎么脱“f”。 解决方案：利用函数的单调性(2)得不到另一个不等式。 解决办法：在相对于原点对称的两个区间中，奇函数的单调性相同，偶函数的单调性相反加深扩张已知f(x )、g(x )是奇函

9、数，f(x)0的解集是(a2，b )，g(x)0的解集是(，)，而f(x)g(x)0的解集是a.(，) B.(-b，-a2 )C.(a2，-，-a2) D.(，b ) AAAAMMMMMMMK提示： f(x)g(x)0或x-(a 2，2222222222222回答： c(2020年天津模拟题)已知函数f(x)=x m(p0 )为奇函数(1)求m的值(2)在(理) x- 1，2 时，求出f(x )的最大值和最小值.在(句) p1的情况下，在x- 1，2 的情况下，求出f(x )的最大值和最小值.解： (1)？f (x )是奇函数f(-x)=-f(x )-x- m=-x-m。G2m=0. GMMM

10、MM=0。(2) (理) (I )在I)p0的情况下，通过定义可以证明f(x )为 1，2 的增加函数f(2)=2，f(x)min=f(1)=1 p。(ii)p0时，f(x )用(0，)可以根据定义证明是减法函数.在0p1的1的情况下，f(x )在 1，2 中成为增加函数f(x)max=f(2)=2，f(x)min=f(1)=1 p在1，2的情况下，f(x )在 1，p中是减法函数，在p，2 中是加法函数.f(x)min=f()=2。f (x ) max=max 1p，2 =max 2。在1p2的情况下，1 p2，f(x)max=f(2) 2p4的情况下，1 p2，f(x)max=f(1)。如

11、果 2，即p4，则f(x )是 1，2 中的减法函数，8756； f(x)max=f(1)=1p，f(x)min=f(2)=2。解答略评论： f(x)=x (p0)的单调性是一个重要的问题，利用单调性求最大值是一种重要的方法详细阐述函数的基本性质的要点1 .奇偶校验(1)定义：当f(-x)=-f(x )存在于函数f(x )的定义域中的任意x中时，f(x )称为奇函数，当f(x )存在于函数f(x )的定义域中的任意x中时，f(x )称为偶函数。如果函数f(x )不具有上述性质，则f(x )不具有偶奇性。 如果函数具有上述两个性质，则f(x )是偶奇函数。注意：函数是将奇函数或偶函数称为函数的偶

12、奇性，函数的偶奇性是函数的整体性质从函数的奇偶校验定义中可以看出，函数具有奇偶校验的一个必要条件是，对于定义域中的任何x，-x必须是定义域中的参数(即，定义域关于原点对称)。(2)使用定义判定函数奇偶校验的格式顺序首先，确定函数的定义域，判断该定义域关于原点是否对称确定f(-x )和f(x )之间的关系得出恰当的结论在f(-x)=f(x )或f(-x)-f(x)=0的情况下，f(x )是偶函数如果f(-x)=-f(x )或f(-x) f(x)=0，则f(x )是奇函数。(3)简单的性质：图像的对称性：一个函数是奇函数的满足条件是该图像关于原点对称；一个函数是偶函数的满足条件是该图像为y轴对称，的定义域分别是，在它们的共同定义域中奇奇=奇，奇=偶，偶=偶，偶=偶，奇=奇2 .单调性(1)定义：一般地，设函数y=f(x )的定义域为I，对于定义域I内的某区间d内的任意两个参数x1，x2，x1f(x2 ) )时，f(x )在区间d中是增加函数(减法函数) .注意：函数的单调