高中数学 第1章 空间几何体 1.1 空间几何体的结构教材梳理素材 新人教A版必修2（通用）

1、1.1空间几何结构水疱丁巧解牛知识渊博。一、多面体和旋转体1 .多面体的整体特征：多面体是由几个平面多边形包围的几何。 包围多面体的各多边形被称为多面体的面。 各面的边称为棱，棱的交点称为顶点，一般来说，底面边以外的棱称为棱。 棱柱、棱锥、棱锥台是多面体。 这些面分为底面和侧面两种。2 .旋转体的整体特征：通过围绕平面图形所在平面内的一定直线旋转而形成的闭合几何称为旋转体。 这个一定的直线叫做旋转体的轴二、棱柱的结构特征1 .定义：两个面相互平行，剩馀的各面为四边形，相邻的两个四边形的共同边相互平行，由这些面包围的多面体被称为棱柱的侧面，相邻侧面的共同边被称为棱柱的侧棱，侧面和底面的共同顶点被

2、称为棱柱的顶点2 .分类： (1)按底面的边数分开，底面为三角形、四角形、五角形的角柱分别称为三角柱、四角柱、五角柱(2)根据侧棱和底面是否垂直，侧棱和底面垂直的棱柱称为直角柱，不垂直的棱柱称为斜角柱，特别是底面为正多边形的直角柱称为正棱柱.3 .一般用棱柱顶点的字母表示棱柱，有时像六棱柱abcdef-abcdef那样用对角线端点的字母表示成长方体AC.4 .特征：(1)两个相互平行的面是底面(2)侧棱相互平行且相等(3)侧面是平行四边形(4)平行于底面的截面是与底面全等的多边形(5)平行于侧棱的截面是平行四边形(6)在我们学习的棱柱中，底面是凸多边形三、棱锥的结构特征1 .定义：某一面为多边

3、形，其馀的面都是具有共同顶点的三角形，这些面包围的多面体称为棱锥。 这个多边形的面被称为棱锥的底面或具有共同顶点的三角形的面称为金字塔的侧面，各侧面的共同顶点称为金字塔的顶点，相邻侧面的共同边被称为棱锥的侧棱2 .分类：底面为三角形、四角形、五角形的金字塔分别称为三角锥、四角锥、五角锥特别是底面为正多边形，侧棱相等的角锥称为正角锥，其侧面都是全等的。 具有相等长度的四面体称为正四面体，其四面为全等的正三角形。 这些是比较常见的特殊棱锥3 .金字塔一般用表示顶点和底面的文字表示，例如四角锥SABCD、三角锥ABCD、三角锥BCDA4 .特征：(1)底面是多边形(2)侧面是具有共同顶点的三角形(3

4、)侧棱与顶点相交错误区域的警告判断几何是否金字塔，重要的是是否具有金字塔这两个本质特征：(1)是面是多边形(2)其他各面是具有共同顶点的三角形.两者不可缺少.例如，某一面是多边形， 其他各面都是三角形的几何不一定是金字塔.如图1-1所示的几何不是金字塔.因为不能保证各三角形有共同点.图1-1-1四、奥萨马的结构特征1 .定义：在与底面平行的平面上切棱锥，截面和底面之间的部分称为棱锥台。 元角锥的底面称为下底面，截面称为上底面。角锥台侧棱是角锥台侧棱被切断的部分，角锥台侧面是角锥台侧棱被切断的部分，如图1-1-2所示，角锥台侧棱被切断的部分图1-1-23 .分类：三角锥、四角锥、五角锥被切断的角

5、锥台分别称为三角锥台、四角锥台、五角锥台4 .性质： (1)prism台侧棱在一点相交。 否则，不一定是prism台(2)奥萨马的上下底面为相似多边形，并且相互平行(3)prism台的侧面为梯形，(4)超过prism台侧棱的截面为梯形方法：根据棱锥台的定义，必须在与棱锥台底面平行的平面上切断棱锥台。 否则不是棱锥台，棱锥台也可以用对角线上的文字表示。 图中，角锥台可以用角锥台ab 表示五、圆柱的结构特征1 .将图1-1-3、O1O2所在的直线定义为旋转轴、圆柱的轴、AB运动的各位置定义为圆柱侧面母线，O1A旋转而定义为上底面，O2B旋转而定义为下底面，O1O2定义为圆柱的高度，o1o、O2分别

6、定义为上底面，下底面的圆心.图1-1-32 .圆柱体由表示其轴的字符表示，表示为圆柱体O1O23 .性质：与圆柱底面平行的截面为圆，与轴平行的截面为矩形，是与轴斜交的截面，与侧面相交的交线为椭圆六、圆锥的结构特征1 .定义：以直角三角形的一条有直角边的直线为旋转轴，剩馀的两边旋转的曲面包围的几何称为圆锥，有SO的直线是旋转轴，SA旋转的曲面是棱锥的侧面，SA通过的位置是母线，SO高，OA旋转的曲面是圆锥的底面，圆锥轴截面是正三角形的等边圆锥2 .显示：圆锥的显示也是表示轴的文字，例如圆锥SO3 .性质：平行于圆锥底面的截面为圆，通过圆锥顶点的截面为等腰三角形，双腰为母线4 .一般圆锥底面半径为

7、r，母线长度为l，高度为h，l2=h2 r2 .误区警告顶角最大的截面不一定是轴截面，顶角为090时，轴截面最大的顶角为90180时，轴截面的面积不最大，顶点角度为90的等腰三角形的面积最大.七、圆锥台的结构特征1 .在与圆锥底面平行的平面切圆锥，将底面和截面之间的部分称为圆锥台，将截面称为上底面，将圆锥的底面称为下底面，将圆锥台的上下底面相互平行，将圆锥的侧面称为圆锥台的侧面，切圆锥母线的部分称为圆锥台的母线，将圆锥台用上下底面的圆心表示，将圆锥SO用与底面平行的平面切，将圆锥SO图1-1-4如图1-1-4所示，直角梯形ABHO以OH所处的直线为轴，AB旋转而形成侧面，BH、OA旋转而形成上

8、下的底面.3 .圆锥台和棱锥台统称为台体。 和棱锥台一样，圆锥台也需要在与底面平行的平面上切圆锥台，否则就不是圆锥台八、球的结构特征1 .定义：一个半圆绕其直径的直线绕一周而形成的曲面称为球面，被球面包围的几何称为球体，简称为球。 半圆的中心叫球的中心，半圆的半径叫球的半径，半圆的直径叫球的直径。 图1-1-5，o称为球的中心，AB称为直径。图1-1-52 .球面也可以看作是到空间上的一定点的距离相等的点的集合(到平面上的一定点的距离相等的点的集合是圆)，因此，球面上的所有点到球心的距离相等，通过球心的弦是直径.3 .性质：平面与球面相交，交线称为圆，通过球心的截面圆称为大圆，球心的截面圆称为

9、小圆，如图1-1-5所示，圆o为大圆，圆O1为小圆，OC为球的半径，O1C为小圆的半径，OO1为两个截面间的距离，OC2=。例如，如果将：地球看作球体，则轴为直径，赤道，经度线为大圆，除赤道以外的纬度圈为小圆，球面上的两点间距离为弧长，不是线段.九、简单的组合体在定义：现实生活中，除了柱、锥、台、球等基本几何学以外，还组合了柱、锥、台、球等基本几何学，这些几何学被称为组合体问题的探索问题1我们在这节课中学习了棱柱的定义和性质，两个面相互平行，剩下的各面平行四边形的几何是棱柱吗？探索：不一定是棱柱，必须是两个面平行，剩馀的面都是平行四边形，但相反地不成立.图1-1-6所示的几何不是棱柱，是棱柱的

10、组合体.图1-1-6问题2棱柱、棱锥、棱锥台有什么关系？从研究：的运动观点来看，棱锥是棱柱的底面收缩到一个点时形成的空间图形，棱锥台可以看作是在与棱锥底面平行的平面上切断棱锥而成的图形。 值得注意的是，棱锥台的各侧棱延长后，与一个点相交，即棱锥台可以回到棱锥上。 我们在学习中必须注意棱柱、棱锥和棱锥三种多面体之间的联系。典型话题在下面的命题中，正确的是()a .直角三角形旋转一边得到的旋转体是圆锥b .夹在圆柱两个平行截面之间的几何是旋转体c .圆锥切成小圆锥的剩馀部分是圆锥台d .有无数条母线通过圆锥台侧面上的一点想法分析： a的错误是，直角三角形围绕其直角边旋转的旋转体应该是圆锥。 围绕斜

11、边旋转的是由两个圆锥构成的一个组合体。 b的错误没有说明这两个平行截面的位置关系，结论是这两个平行截面与底面平行时是正确的，除此之外的情况下是错误的。 d的错误是通过圆锥台侧面上的一点，只有一个母线，所以选择了c。回答： c误区警告说，这样的问题在做时仅容易注意到旋转的问题，但无视以什么为旋转轴，如果旋转轴不同，则得到的旋转体也不同.例2关于三角锥的4个命题如下所示底面为等腰三角形，侧面和底面形成的二面角相等的三角锥为正三角锥底面为等腰三角形，侧面为等腰三角形的三角锥为正三角锥底面为等腰三角形，侧面面积相等的三角锥为正三角锥侧棱与底面所成角相等，侧面与底面所成的二面角相等的三角锥为正三角锥.其

12、中，真正命题的号码是吗？构想分析：顶点投影在底面是心，底面是等边三角形，所以以该投影为中心举例来说，将具有两个共同边的等边三角形沿着共同边折叠时，在该过程中各顶点形成的四面体满足问题，但不一定是正三角锥如果以正六边形ABDEFG的一边AB为边，在平面ABDEFG内设正ABC，设三角锥，设ABC为底，在顶点s的底面的射影为正六边形中心o，则满足问题的一侧的面积全部相等，但明显不是正三角锥侧棱和底面所成的角相等，顶点投影在底面上的三角形的外心，侧面和底面所成的二面角相等，这表示顶点投影在底面上的三角形的心，因此一定是正三角形的中心.回答：深化升华柱、锥、台等简单多面体的构造特征是常见的试验点。 正角锥的定义中，必须保证两点：一个是底面一定是正多边形，二个是顶点投影到底面上底面多边形的中心，两个是不可缺少的例3已知圆锥的底面半径为r，高度为h，立方体ABCDA1B1C1D1与圆锥内接，求出该立方体的钐长思维方式的解析：立方体中唯一的基本量，也就是说只有奥桑长度，所以只要能建立相关的方程式就能解，要建立方程式就要