高中数学 第3章 直线与方程 3.3 直线的交点坐标与距离公式 3.3.2 两点间的距离教材梳理素材 新人教A版必修2（通用）

1、3.3.2两点之间的距离牛起水泡知识聪明一、两点之间的距离1.如果平面中的两点P1(x1，y1)、P2(x2，y2)已知，则这两点之间的距离为| p1p2 |=。公式中这两点之间的距离与两点的前后无关，也可以创建为| p1p2 |=2.特别是原点o (0，0)和任意点P(x，y)的距离| op |=。P1P2平行于x轴时| p1p 2 |=| x2-x1 |；P1P2平行于y轴时| p1p2 |=| y2-y1 |。方法点(1)平面上两点之间的距离公式基于收缩中两点之间的距离公式，该公式将与轴平行或非垂直的线段分解为与轴垂直的线段，并通过端点坐标使用直角三角形的毕达哥拉斯定理推导出来。(2)在

2、诱导过程中，体现了“拉直”和“一般来说是特殊化”的数学思想。(3)两点之间的距离公式是分析几何图形最重要的基本公式，以后很多知识都要以此为基础掌握。二、坐标法1.在坐标系基础上，利用代数方法解决平面几何问题的方法称为坐标法，也称为解析法。直角坐标系是沟通“数”和“型”的桥梁，是分析器下学理论确立的基础，坐标法的解题初步表现了直角坐标系的巨大作用。2.要使用坐标方法解决平面几何问题，请执行以下步骤：第一步：设定适当的直角座标系统，以座标表示相关量。步骤2:根据问题的给定条件设定已知点的坐标，根据问题的条件和几何特性公布未知点的坐标，进行相关的代数运算。第三步：将代数运算结果“翻译”成几何关系。升

3、华深化(1)不能将一般情况设定为特殊情况。(2)使与坐标系选择问题相关的坐标显示尽可能多的0。在这种情况下，通常适用以下规则：图表一侧的直线或直线到x轴；使用对称图、对称轴作为x轴或y轴。如果存在直角，则使用带有直角边的直线作为坐标轴；图中的一点或两点连接的中点可以用作原点。探索问题问题1两点之间的距离公式如何在轴上简化？:探索两点位于轴上时，点的坐标由P1(x1，0)，P2(x2，0)，两点之间的距离公式| p1p2 |=表示，近似为| p1p2 |=| x1-x2 |两点P1，p2连接平行于x轴时，两点之间的距离为| p1p2 2 |=| x1-x2 |。问题2如果已知3点A(5，-2)、

4、B(1，5)、C(-1，2)构成一个三角形，那么可以判断三角形ABC的形状吗？如何判断？探索：三角形ABC是以c为顶点的直角三角形。判定方法有多种：方法1:使用|AB|=、|AC|=、|BC|=作为两点之间的距离方程式时，|AB|2=|AC|2 |BC|2是以c为顶点的直角三角形。方法2: kca=，kcb=3，CACB=-1，因此直线CACB。两点之间的距离公式为|AC|=，|BC|=，因此三角形ABC是以c为顶点的直角三角形。经典标题列问题范例1在已知的ABC中，A(4，5)，b点在x轴上，c点在线l: 2x-y 2=0上，ABC周长的最小值在b上，c取得两点的座标。思路分析：显然，将直接

5、点b，c的坐标设置为距离公式是很麻烦的，很难找到求最小值的方法(三种根际相加的方法)，并且会让人想起对称的知识解决方案。其中a是x轴，关于直线l的镜像点A1、A2，对于x轴和直线l，分别是点b、c、| ab | | BC | | ca |=| A1b | | BC | | A2c |。点a1、b、c、a2共线时，由下而上的值最低，因此连接a12位于点b的x轴上，相交线l位于点c上。这表示所需的点及其周长的最小值为| A1A2 |。解决方案：图3-3-1，点A关于x轴的镜像点为A(4，-5)。点a的镜射点相对于线l为A2(m，n)图3-3-1A2(0，7)。线A1A2的方程式为y=，即y=-3x

6、 7。Y=0得到x=。也就是说，直线A1A2在点b(，0)处与x轴相交。中本悠太也就是说，直线A1A2与适用于点C(1，4)、点b(，0)、C(1，4)的点相交。此时，| ab | | BC | | ca |=| a1a 2 |=，ABC周长的最小值为。深化平面上两点之间距离升华的直接使用| pa |=| Pb |列方程求解x，y的方程。当存在有关两条直线段绝对值和最小值或差值的最大问题时，直接替换两点之间的距离公式会导致两条管线，因此求解非常麻烦，经常使用对称问题进行转换，然后求解为两点之间的距离。范例2已知的ABC为直角三角形，斜边BC的中点为m，设定适当的直角座标系统以使AM=.想法分析

7、：因为ABC是直角三角形，所以选择直角顶点作为坐标原点，带直角边的直线是坐标轴。此设置的正交坐标系易于解决点。证明：使用图3-3-2，RtABC的直角边AB，AC所在的直线作为坐标轴设定笛卡尔坐标系，将b，c两点的坐标分别设定为(b，0)，(0，c)。图3-3-2点m的坐标为()，因为点m是BC的中点。(.通过两点之间的距离公式|BC|=，|AM|=。所以AM=。深化升华坐标法，也称为解析法，是证明平面形状线段长度的一种全新方法，只能通过求三角形的整体或相似步长进行代数计算来实现。该方法的核心是创建坐标系。该方法的核心是，如果坐标系选择不恰当，那么繁荣的计算，通常问题有相互垂直的直线，那么以x，y轴为构造轴，使尽可能多的点位于轴上，因此点的坐标通常对称分布在原点的两侧，例如，具有中点对称的关系。范例3寻找函数y=的最小值。想法分析：这个函数的范围是r，从代数和角度来看，它实际上更复杂，如果使用两点之间的距离公式转换成几何问题，解决问题的关键是用函数表达式的两个部分之间的距离公式来表示。解决方案：y=。A(0，1)、B(2，2)、P(x，0)、y=| pa | | Pb |。上述函数的最小值转换为寻找距离和最小值的问题。“关于x轴的对称点A”是使用光学知识和对称知识创建的，因此，| pa |=| Pb |的最小值将转换为获取| pa | Pb | Pb |最小值的问题。图形已知