高考数学复习全套课件(理) 第二章 第十一节 变化率与导数、导数的计算

1、1.了解导数概念的实际背景. 2.理解导数的几何意义. 3.(文)能根据导数定义，求函数yc(c为常数)，y x，yx2，y 的导数. (理)能根据导数定义，求函数yc(c为常数)，y x，yx2，yx3，y ，y 的导数.,4.(文)能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数 的四则运算法则求简单函数的导数. (理)能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数 的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单 的复合函数(仅限于形如f(axb)的复合函数)的 导数.,1导数的定义 设函数yf(x)，当自变量x从x0变到x1时，函数值从 f(x0)变到f(x1)，函数值y关于x的平均变化率为,当x1趋于x0

2、时，即x趋于0，如果平均变化率趋于一个固定的值，那么这个值就是函数yf(x)在x0点的瞬时变化率，也称为函数yf(x)在x0点的导数，通常用符号f(x0)表示，记作f(x0) .,2导数的几何意义 函数yf(x)在x0处的导数，是曲线yf(x)在点 处的切线的 ,(x0，f(x0),斜率,思考探究 若函数yf(x)可导，则曲线yf(x)在点(x0，f(x0)处的切线方程是什么？,提示：方程的斜率为kf(x0)； 方程为yf(x0)f(x0)(xx0),3.导数公式（其中三角函数的自变量单位是弧度）,0,x1,cosx,sinx,axlna,ex,4导数运算法则 (1)f(x)g(x) ； (2

3、)f(x)g(x) ； (3) (g(x)0),f(x)g(x),f(x)g(x)f(x)g(x),5(理)复合函数的导数 函数yf(axb)是函数yf(u)与u(x)axb的 复合函数，它的导数为： f(u)f(u)(x) ,af(axb),1.若f(x)2x2图象上一点(1,2)及附近一点(1x,2 y)， 则 等于 ( ) A.32x B.4x C.42x D.3x,解析：yf(1x)f(1)4x2(x)2， 42x.,答案：C,2.函数yxcosxsinx的导数为 ( ) A. xsinx B.xsinx C.xcosx D.xcosx,解析：y(xcosxsinx)(xcosx)(s

4、inx) cosxxsinxcosxxsinx.,答案：B,3.曲线yx32x4在点(1,3)处的切线的倾斜角为 ( ) A.30 B.45 C.60 D.120,解析：设倾斜角为.y3x22， g(1)31221，45.,答案：B,4.设f(x) ，则f(x) .,解析：f(x)( )( )( ) ( ) ,答案：,5.已知点P在曲线f(x)x4x上，曲线在点P处的切线平行 于直线3xy0，则点P的坐标为 .,解析：由题意知，函数f(x)x4x在点P处的切线的斜率等于3， 即f(x0) 13，x01，将其代入f(x)中可得P(1，0).,答案：(1,0),根据导数的定义求函数yf(x)在点x

5、0处导数的方法： 1.求函数的增量yf(x0x)f(x0)； 2.求平均变化率 ； 3.得导数f(x0) . 上述过程可简化为：一差、二比、三极限.,利用导数的定义求函数y 的导数.,思路点拨,课堂笔记 y ， ， ， 即y .,若将“y ”改为“y ”呢？,解：y ，,1.运用可导函数求导法则和导数公式，求函数yf(x)在开区 间(a，b)内的导数的基本步骤： (1)分析函数yf(x)的结构和特征； (2)选择恰当的求导法则和导数公式求导； (3)整理得结果. 2.对较复杂的函数求导时，应先化简再求导，特别是对数函 数真数是根式或分式时，可用对数的性质转化真数为有理 式或整式求解更为方便.,

6、求下列函数的导数： (1)y(3x34x)(2x1)； (2)y3xex2xe； (3)Y ； (4)(理)yln(3x2)e2x1.,思路点拨,课堂笔记 (1)y(3x34x)(2x1) 6x43x38x24x， y24x39x216x4或 y(3x34x)(2x1)(3x34x)(2x1) (9x24)(2x1)(3x34x)224x39x216x4； (2)y(3xex)(2x)e(3x)ex3x(ex)(2x) 3x(ln3)ex3xex2xln2(ln31)(3e)x2xln2；,(3)y ； (4)(理)yln(3x2)e2x1 ln(3x2)(e2x1) (3x2)e2x1(2x

7、1) 2e2x1.,1.函数yf(x)在点P(x0，y0)处的导数f(x0)表示函数y f(x) 在xx0处的瞬时变化率，导数f(x0)的几何意义就是函数 yf(x)在P(x0，y0)处的切线的斜率，其切线方程为yy0 f(x0)(xx0). 2.利用导数的几何意义求曲线的切线方程的步骤： (1)求出函数yf(x)在点x0处的导数f(x0)； (2)根据直线的点斜式方程，得切线方程 yy0f(x0)(xx0).,特别警示 求曲线的切线要注意“过点P的切线”与“在点P处的切线”的差异，过点P的切线中，点P不一定是切点，点P也不一定在已知曲线上，而在点P处的切线，必以点P为切点.,已知曲线y .

8、(1)求曲线在点P(2,4)处的切线方程； (2)求曲线过点P(2,4)的切线方程； (3)求满足斜率为1的曲线的切线方程.,思路点拨,课堂笔记 (1)yx2， 在点P(2,4)处的切线的斜率ky|x24. 曲线在点P(2,4)处的切线方程为y44(x2)， 即4xy40. (2)设曲线y 与过点P(2,4)的切线相切于点A( )，则切线的斜率ky| . 切线方程为y( ) (xx0)， 即y .,点P(2,4)在切线上，4 ， 即 40， 40， (x01)4(x01)(x01)0， (x01)(x02)20，解得x01或x02， 故所求的切线方程为4xy40或xy20.,(3)设切点为(x

9、0，y0)，故切线的斜率为k 1， 解得x01，故切点为(1， )，(1,1). 故所求切线方程为y x1和y1x1， 即3x3y20和xy20.,高考对本节内容的传统考法是以选择题、填空题或在解答题的某一问中考查导数几何意义的应用，很少直接考查函数求导运算.但09年天津高考则直接考查了导数的概念及运算，是一个新的考查方向.,考题印证 (2009天津高考)设函数f(x)在R上的导函数为f(x)，且2f(x)xf(x)x2.下面的不等式在R上恒成立的是 ( ) A.f(x)0 B.f(x)0 C.f(x)x D.f(x)x,【解析】 用排除法，设x0，则f(0)0，排除B、D； 设f(x)x2

10、，符合题目条件，但C不恒成立.,【答案】 A,自主体验 已知f(x) 4x，则f(1) .,解析：因为f(x) 4x，所以f(x) 4， 因此f(1) 4，解得f(1)2.,答案：2,1.一质点沿直线运动，如果由始点起经过t秒后的位移为s t3 t22t，那么速率为零的时刻是 ( ) A.0秒 B.1秒末 C.2秒末 D.1秒末和2秒末,解析：st23t2 令s0，则t1或t2.,答案：D,2.(文)yx2cosx的导数是 ( ) A.2xcosxx2sinx B.2xcosxx2sinx C.2xcosx D.x2sinx,解析：y2xcosxx2sinx.,答案：B,(理)已知y sin2

11、xsinx，则y是 ( ) A.仅有最小值的奇函数 B.既有最大值又有最小值的偶函数 C.仅有最大值的偶函数 D.非奇非偶函数,解析：y cos2x2cosxcos2xcosx 2cos2x1cosx 2(cosx )2,答案：B,3(2010合肥模拟)已知直线axby20与曲线y x3在点P(1,1)处的切线互相垂直，则 为( ),解析：y3x2，k313，即为切线斜率 直线axby20与切线垂直，,答案： D,4.(2009江苏高考)在平面直角坐标系xOy中，点P在曲 线C：yx310 x3上，且在第二象限内，已知曲线 C在点P处的切线的斜率为2，则点P的坐标为 .,解析：yx310 x3，y3x210. 由题意，设切点P的横坐标为x0，且x00， 即 102， 4，x02， y0 10 x0315. 故点P的坐标为(2,15).,答案：(2,15),5.如图所示，函数yf(x)的图象在点P处的切 线方程是yx8，则f(5) ， f(5) .,解析：切线方程与yf(x)交于点P(5，y0)， y0583. 由切线的意义知f(5)1.,答案：3 1,6.已知函数f(x)x33x及yf(x)上一点P(1，2)，过点P 作直线l. (1)求使直线l和yf(x)相切且以P为切点的直线方程； (2)求使直线l和yf(x)相切且切点异于P的直线方程.,解：(1)由f(x)x