2020届高三数学二轮复习 必考问题专项突破2 函数与方程及函数的实际应用 理（通用）

1、问题2函数、方程式和函数的实用化1.(2020天津)函数f(x)=2x 3x的零点所在的区间为。A.(-2，-1) b.(-1，0 )c.(0，1 ) d.(1，2 )回答：根据f(-1)=-30和零点定理，知道f(x )的零点在区间(-1，0 )内2.(2020湖北)函数f(x)=xcos x2的区间 0，4 中的零点的数量是().A.4 B.5C.6 D.7答案：如果xcos x2=0，则x=0、x2=k，且x- 0，4 中，xk=(k=0，1，2，3，4 )总共有六个零点3.(2020北京)函数f(x)=x-x的零点的个数是().A.0 B.1C.2 D.3答案： by=x以x- 0，单

2、调增加，y=x以x-r单调减少，因此f(x)=x-x以x-0，)单调增加，另外f(0)=-10，因此f(x)=x-x在定义域中是唯一的零4.(2020山东)已知某制造商的年产量y (单位：万元)和年产量x (单位：万件)的函数关系式为y=-x3 81x-234时，该制造商最大获利的年产量为_万件。分析- y=f (x )=-x3 81x-234，8756； y=x2 81设为y=0、x=9、x=-9 (舍去)。当0x 0，函数f(x )单调增加在x9的情况下，y0，函数f(x )单调减少.因此，在x=9时，y取最大值.答案9对高考这一部分的考察如下(1)确定函数零点确定函数零点的个数根据函数零

3、点的存在状况求出参数值或取值范围(2)函数的简单性质的综合考察.函数的实用问题(3)综合考察函数和导数、数列、不等式等知识利用函数的性质解决关系的最值。 问题型有选择问题、填补问题、解答问题，客观问题主要考察相关函数的图像和性质，主观问题的考察比较综合，在考察函数的零点、方程式的根的基础上，考察函数和方程式，重视转化和归化、分类讨论、数形结合的思想方法。1 .二次函数图像是连接三个“二次”的纽带，是理解和解决问题的关键，必须认真研究、熟练地把握2 .学习分析零点问题的变换，并且可以把与其相关联的不同形式的问题总结成合适的方程的零点问题3 .函数模型的实际应用问题主要是抓住常见函数模型的训练，着

4、重于信息组织和建模必要知识零点存在性定理假设函数y=f(x )的区间a，b上的图像是连续的曲线，f(a)f(b)0，则函数y=f(x )在区间(a，b )内具有零点，即，c-a，b )是f(c)=0，该c是式f(x)=0请注意以下两点满足条件的零点可能不是唯一的不满足条件时，也有可能存在零点处理二次函数问题时，要注意f(x )的常见表达(1)y=ax2 bx c；(2)y=a(x-x1)(x-x2)(3)y=a(x-h)2 k。根据主题的特征，必须灵活选择上述公式应用函数模型解决实际问题的一般程序有关函数的实用问题多涉及物价、路程、产值、环境保护等实际问题，也涉及角度、面积、体积、成本的优化问

5、题。 解决这种问题的关键是建立合适的相关函数解析公式，应用函数、方程式、不等式和导数知识进行综合解答。必要的方法1 .根据方程式解的个数或解的个数求方程式中的文字参数范围的问题时，数形结合是基本的解题方法，将方程式分为一个方程式，将两端转换为我们熟知的函数的解析式，将两个函数f(x )，g(x )，即方程式写为f(x)=g(x ) 此时，方程式的根的个数是两个函数图像的交点的个数，可以从图像的变化倾向找到方程式中的字符参数满足的各种关系2 .二次函数y=a(x-h)2 k(a0 )，xp，q的最大值问题是实际研究函数在p，q处的单调性(2)利用导数的知识，最有价值的可以在端点和驻地找到3.f(

6、x)0在p，q中永远成立的问题与f(x)min0，xp，q等价常考：根据函数解析式判断有零点区间的函数解析式，求出零点的个数问题。 可以用零点判定定理、数形结合法解，高考命题有强化的倾向，难易度下降到中等程度(2020陕西)函数f(x)=-cos x在0，)内().a .没有零点b .只有零点c .只有两个零点d .有无限的零点评论主题的视点听讲履历将审查问题视点问题转换为y=和y=cos x的交点的数量.B 如果在同一正交坐标系中制作函数y=和y=cos x的图像，如图所示，当x1时，y=1，y=cos x1，因此两个图像只有一个交点，即，式-cos x=0在0，内只有一个根，所以f (x

7、)=。确定函数零点的常用方法：解方程式的判定法。 方程式容易解的情况下，用这个方法零点存在的判定定理法常常必须结合函数的性质、导数等知识数学式组合法在研究函数零点、方程式的根和图像交点的问题时，如果从正面解决困难，则可以解决某些容易得到的等效问题，例如，如果解决包含绝对值、分式、指数、对数、三角式等的复杂函数零点问题，则可以解决两个熟悉的函数图像的交点问题【中断训练1】函数f(x)=的零点的数量是().A.0 B.1 C.2 D.3答案：在cx0时，如果x2 2x-3=0，在解x=-3的x0的情况下，如果-2 ln x=0，则x=e2 .因此已知函数中有两个零点，C.函数思想在高考中不单独，多

8、与导数结合形成重要主题，问题是围绕二次函数、二次方程式和二次不等式关系展开，解决问题的关键是从判别式、韦达定理、对称轴、开口方向等方面考虑结论成立的所有条件，难度很大。已知二次函数f(x)=ax2 bx c .如果(abc，且a b c=0，则试验证明f(x)=0必须有两个实根(2)在x1，x2R中，x1x2，f(x1)f(x2 )时，方程式f(x)=f(x1) f(x2)中有两个不均匀的实根，证明一定有一个实根属于(x1，x2 ) .评论主题的视点听讲履历审查问题视点 (1)将已知条件b=-(a c )代入f(x)=0后，对f(x)=0的分解因子求根，使用(2)函数和方程式的思想结构函数f(

9、x)-f(x1) f(x2)，根据函数零点判定定定理可知函数在(x1，x2)中有零点证明(如果abc，a b c=0的话a0，c0，且b=-(a c )方程式f(x)=0为ax2-(a c)x c=0即a(x-1)=0f(x)=0是两个x1=1，x2=(g(x)=f(x)-f(x1) f(x2)，g(x1)=f(x1)-f(x2)，g(x2)=f(x2)-f(x1)，x1x2，f(x1)f(x2 )g(x1)g(x2)=-f(x1)-f(x2)20即，当函数g(x )在区间(x1，x2 )内有零点时，方程式g(x)=0的一个实根属于(x1，x2 )，根据二次函数的性质一定有另一个实根.二次函数

10、问题通常利用二次方程式、二次不等式之间的关系进行处理，将方程式问题函数化，将函数问题方程化，体现了函数和方程式的思想已知a是实数，函数f(x)=2ax2 2x-3-a，如果函数y=f(x )在区间-1，1 中有零点，则求出实数a能取的范围.在解a=0时，f(x)=2x-3在该零点x=区间-1，1 中没有。当a0时，函数f(x )在区间-1，1 中被分为两种情况函数在区间-1，1 中只有一个零点在这种情况下或解15或a=-.函数在区间-1，1 中有两个零点时或者解a5或a-.如上所述，函数在区间-1，1 中存在零点时实数a取的值的范围为。函数综合问题的解决使用了很多知识和技能。 因此，要全面掌握

11、相关函数知识，严格审查问题，明确问题的已知条件，特别是挖掘问题中的隐含条件。 必须认真分析和处理各种关系，掌握问题的主线，运用相关知识和方法把问题逐步分类到基本问题上来解决。已知二次函数y=g(x )的导数的图像与直线y=2x平行，并且y=g(x )在x=-1处取极小值m-1(m0 )，并且函数f(x)=(1)假设从曲线y=f(x )上的点p到点q (0，2 )的距离的最小值，则求出m的值(k(kR )取哪个值，函数y=f(x)-kx中存在零点，求零点.评论主题的视点听讲履历(1)使用已知条件，用包含m的公式表示f(x )，结合从点p到点q的最大值，使用基本不等式求出m值.(2)把已知变换为f

12、(x)-kx=0，为了进一步求出其根，有必要根据解题对k，m进行分类研究。若设解(g(x)=ax2 bx c(a0 )，则g(x )=2ax b；另外，y=g(x )图像与直线y=2x平行2a=2，a=1，另外g(x )以x=-1取极小值g(-1 )=0，b=2。g(-1)=a-b c=1-2 c=m-1，c=m。假设f(x)=x2、P(x0，y0 )的话|PQ|2=x (y0-2)2=x 2=2x2m2 2m2 2m=2，m=-1或-1。(2)y=f(x)-kx=(1-k)x2=0得到(1-k)x2 2x m=0.在k=1的情况下，式(* )中包含解x=-，函数y=f(x)-kx有一个零点x

13、=-，(* )当k1时，方程(* )表示=4-4m(1-k)0在m0的情况下，k1-，函数y=f(x)-kx具有两个零点x=；如果m0，则k1-，因此函数y=f(x)-kx有两个零点x=；当k1时，方程式(* )表示=4-4m(1-k)=0在k=1-、函数y=f(x)-kx中有零点x=.总结以上内容，在k=1时，函数y=f(x)-kx为零点x=-；k1-(m0)或k1-(m0)时在函数y=f(x)-kx中有两个零点x=；在k=1-的情况下，函数y=f(x)-kx具有零点x=。该问题考察函数的零点、最高值、一维二次方程等基础知识，用导数研究函数性质的方法，体现了函数和方程、分类和整体数学思想方法【中断训练3】 (2020北京)已知函数f(x)=如果关于x的方程式f(x)=k中有两个不同的实根，则实数k的可能值的范围是_ .解析由图可知，生成了函数f(x )的图像在0k1时，函数f(x )和y=k的图像具有两个不同的交点，因此