2020年普通高考数学一轮复习 第41讲 逻辑、推理与证明、复数、框图精品学案（通用）

1、2020年一般高考数学课复习了精品学方案第41届逻辑、推论和证明、多个、框图1 .教材要求：1 .常用逻辑术语(1)命题及其关系了解命题的逆命题、否命题、逆否命题了解必要条件、充分条件和满足条件的意义，分析4种命题的相互关系(2)简单的逻辑连接词通过数学的例子，知道“or”、“and”、“not”的逻辑连接词的意思。(3)全称量词和存在量词通过生活和数学丰富的实例，理解全称量词和存在量词的意义可以正确否定包含一个量词的命题。2 .推论和证明(1)情理推理和演绎推理结合所学的数学实例和生活中的实例，理解合理推论的意义，利用归纳和类比等进行简单的推论，理解和认识合理推论在数学发现中的作用结合所学数

2、学实例和生活中的实例，掌握演绎推论的重要性，掌握演绎推论的基本模型，用它们进行简单的推论通过具体例子，知道合理的推论和演绎推理的联系和差异。(2)直接证明和间接证明结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法、综合合法分析法和综合合法思考过程、特征结合已经学到的数学实例，了解间接证明的基本方法理解反证法的反证法的思考过程、特征(3)数学归纳法理解数学归纳法的原理，可以用数学归纳法证明简单的数学命题(4)数学文化通过实例介绍(欧几里得几何原本、马克思资本论、杰斐逊独立宣言、牛顿三定律等)，体会公理化思想介绍计算机在自动推理领域和数学证明中的作用3 .数系的扩充和多个引进(1)在问题

3、情况下，解开系数扩张过程，体会实际需求和数学内部矛盾(数的运算规则、方程式理论)在系数扩张过程中的作用，感受人类理性思考的作用和数与现实世界的联系(2)理解多个基本概念和多个相等的满足条件(3)理解多个代数表示法及其几何意义(4)可以进行多代数形式的四则运算，知道多代数形式加减运算的几何意义。4 .框图(1)流程图通过具体例子，进一步认识程序的框图通过具体例子，了解工序流程图(即统一图)制作简单的现实问题流程图，可以体会流程图在解决实际问题上的作用(2)构成图通过例子，利用知道结构图的结构图来整理学习的知识，整理收集到的资料信息结合制作的结构图与他人交流，体会结构图在明确事物联系上的作用。2

4、.命题的方向性常用逻辑术语这一部分的内容主要是常用的逻辑术语，包括命题和量词、基本逻辑连接词和充分条件、必要条件和命题四种形式。对2020年高考这一部分内容的调查形式，调查形式以选择、填补问题为主，调查重点是对条件和复合命题的真值的判断。推理证明书这一部分的内容主要包括信息推理和演绎推理、直接证明和间接证明、数学归纳法(理科)等内容，其中推理中的信息推理、演绎推理涉及到数学的各个方面的知识，表示研究命题的发展趋势，可能涉及到选题、填空问题、解答问题。 这个部分命题的方向主要在函数、三角、数列、立体几何、解析几何等方面已渗透到新的高考中，单独出题的可能性很小预计2020年高考中将有很多主题用于推

5、理证明的方法。复数多部分考察的重点是多概念、多代数形式、运算和运算的几何意义，一般来说，通过选择问题或填空，难度低，预计今后的高考也能保持这种倾向。在2020年的高考中，预计对本论文的问题难度不高，重视对基本问题，如多个四则运算的考察，主题多以选择、填补为主。方框图这部分是新课标的新内容，在往年的高考中内容很少，2020年的高考中，可以用选择题、填补题以考察流程图和结构图的定义和特征的形式描绘预测有可能出现的知识的结构图，也可以用形式解答解决某种问题的流程图3 .详细说明要点1 .常用逻辑术语(1)命题命题：把能判断真伪的词称为命题逻辑连接词：“or”“and”“not”这个词称为逻辑连接词。

6、简单命题：不包含逻辑连接词的命题。 复合命题：由简单命题和逻辑连接词组成的命题。因为常用的小写字母p、q、r、s、表示命题，所以复合命题有p或q三种形式p且q； 非p。(2)复合命题的真值“非p”形式的复合命题的真伪可以用下表表示p非p是真的假的假的是真的“p且q”形式的复合命题的真伪可以用下表表示pq.qp且q是真的是真的是真的是真的假的假的假的是真的假的假的假的假的“p且q”形式的复合命题的真伪可以用下表表示pq.qp或q是真的是真的是真的是真的假的是真的假的是真的是真的假的假的假的注：根据如1上所示表示命题真伪的表称为真理表的2真值表，“非p”形式的复合命题的真伪与p的真伪相反的“p且q

7、”形式的复合命题，p和q都为真时为真，除此之外的情况下假“p或q”形式的复合命题，p和q都为假时为假， 此外的情况下，真的3真值表是根据简单命题的真伪，判断由这些简单命题构成的复合命题的真伪，不涉及简单命题的具体内容。(3)四种命题如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，第一个命题的结论是第二个命题的条件，这两个命题被称为互逆命题如果一个命题的条件和结论分别是原题的条件和结论的否定，这两个命题称为相互否定命题，这两个命题称为原题的否定命题如果一个命题的条件和结论分别是原命题的结论和条件的否定，那么这两个命题被称为相互否定命题，这一命题被称为原命题的否定命题。两个相反的命题的真伪相同，即两个相反

8、的命题是等效命题。 如果很难判断一个命题的真伪，可以转换为判断该相反命题的真伪。(4)条件一般来说，pq已知的话，p是q的充分条件，q是p的必要条件。可以分类为4个类别： (1) pq，qp (2)不必要且不充分的条件，即pq，qp (3)充分且不必要的条件，即有pq和qp；以及pq。一般在有pq和qp的情况下，将pq .“”称为等效符号。 pq是pq，是qp。此时，p是q的充分条件，如果是q的必要条件，则p是q的充分的必要条件，简称为充分条件。(5)全称命题和特称命题其中，短语“全部”在陈述中表示其事物的整体，在逻辑中通常被称为全称测量词，用符号表示。 包含所有测量词的命题称为全称命题。短语

9、“有”、“有”、“有”、“有”或“有”，在陈述中表示事物的个体或部分，在逻辑上通常被称为存在测定词，用符号表示，包含存在测定词的命题称为存在性命题。2 .推论和证明(1)合理的推论由于某种事物的一部分对象具有某种性质，所以发出该种事物的所有对象都把具有该性质的推论称为归纳推论(简称归纳推论)。 摘要是从特殊到一般的过程，那是合理的推论基于两种不同事物之间的相似性(或一致性)，推测一种事物与另一种事物具有相似性(或同一性)的推论称为类比推论(简称类比)。类比推理的一般步骤：(1)找出两种事物之间的相似性和一致性；(2)用一种事物的性质推测另一种事物的性质，得到明确的命题(预想)。 (3)一般来说

10、，事物间的各个性质之间不是孤立存在的，而是相互制约的。 (4)一般来说，类比的类似性越多，类比的性质和推定的性质之间越有相关性，那么类比的命题就越可靠。(2)演绎推理分析上述推论过程，推论消失的各步骤是根据一般命题(例如“全等三角形”)导出特殊命题的过程，根据这种一般的真命题(或逻辑规则)将特殊命题作为真推论导出称为演绎推论。 演绎推理的特征是，前提为真时，结论一定为真。(三)证明反证法：必须证明某结论a是正确的，但不是直接证明，而是证明a的反面(不是a )是错误的，判断a是正确的，即反证法是通过否定命题的结论来导出矛盾，肯定命题的结论，完成命题论证的数学证明方法。反证法的步骤：1)假设命题的

11、结论不成立，即假设结论的背面成立2 )根据该假设，通过推理得到矛盾3 )从矛盾中判定假设不正确，肯定命题的结论正确。注意：可能发生矛盾的四种情况：与问题矛盾与反设置矛盾与公理、定理矛盾在证明过程中，得出矛盾的结论。分析法：在证明不等式时，可以从求证明的不等式中分析使这个不等式成立的条件，把证明不等式转换成判断这些条件是否具备的问题，如果能确信这些条件全部具备，就判断原不等式成立的方法一般称为分析法。用分析法证明不等式的逻辑关系分析法想法的特征是执行效果的原因分析法的书写形式：要证明命题b是真的，只需证明命题b是真的所以这需要证明命题是真的，从而这需要证明命题a是真的，但因为知道a是真的，所以命

12、题b是真的。综合法：利用已证明的不等式(如算术平均和几何平均定理)和不等式的性质，导出应证明的不等式成立，这种证明方法通常被称为综合法如何综合合法地证明不等式的逻辑关系综合合法思维的特征是从因果，即已知条件出发，利用已知的数学定理、性质和公式，得出结论的证明方法。3 .数系的扩充和多个引进形状是a bi(a，b的数量，我们把它们称为多个，把多个整体形成的集合称为多个集合，一般用文字c表示。 其中，a称为多个实部，b称为多个虚部。多个加法规则： (a bi) (c di)=(a c) (b d)i； 多个加法规则： (a bi)-(c di)=(a-c) (b-d)i； 多个乘法规则： (a b

13、i)(c di)=(ac-bd) (ad bc)i； 多除法则： (Abi)(cdi)=4 .框图(1)构成图首先，对绘画的结构图的各部分有深刻的理解和完全的把握，从头到尾抓住主要脉络进行分解，将各阶段的分解汇总精制，形成知识点，并将其一个一个地写在矩形框中。 最后，把它们按内在的逻辑顺序排列，用线段连接起来，制成知识结构图。认识结构图：由构成系统的几个要素和表现各要素之间关系的链接构成。制作结构图的步骤：1)首先，决定构成系统的基本要素和这些要素之间的关系2 )处理“上位”和“下位”的关系的“下位”要素比“上位”要素具体，“上位”要素比“下位”要素抽象。 3 )将各层的要素进一步细分化4 )

14、描绘表示系统整体的结构图。(2)流程图创建流程图的一般步骤：首先，用自然语言描述流程图的步骤，然后分析各步骤能否直接表示，或者是否需要用逻辑结构来表示，再次分析各步骤间的关系，最后画出流程图来表示整体流程。考虑到用自然语言描述算法的各种弊端，人们开始用流程图来表现该算法。 该描述方法以自然语言避免了算法的松散冗馀，消除了起义性，能清晰准确地表达算法的各步骤，因此很受欢迎。设计算法解决问题的主要步骤：第一步是用自然语言描述算法算法可以用自然语言记述，但是为了更直观地表现算法的程序和步骤，我们经常用图形来表现。第二步，描述程序框图表示算法第三步骤是导出与计算机相应的程序，在线实现。4 .典型的分析

15、问题型1 :判断命题的真值例1 .写出由以下各命题构成的“p或q”、“p且q”、“非p”形式的复合命题，指出构成的这些复合命题的真伪。(1)p:9是144的约数，q:9是225的约数。(2)p :方程式x2-1=0的解为x=1，q :方程式x2-1=0的解为x=-1(3)p :实数的平方为正，q :实数的平方为0。解析：从单纯命题构成复合命题，必须验证是否符合“真值表”。(1)p或q:9是144或225的约数p和q:9是144和225的公约数(或9是144的约数，9是225的约数)。非p:9不是144的约数2222222222222222200006(2)p或q :方程式x2-1=0的解是x=

16、1，或者方程式x2-1=0的解是x=-1 (但是，不能写成“方程式x2-1=0的解是x=1”，所以与真值表不一致)。p，q :方程式x2-1=0的解是x=1，方程式x2-1=0的解是x=-1非p :方程式x2-1=0的解不是全部x=1(注意命题p中的“是”应该理解为“全部”的意思)9222222222222222222222222222222222226(3)p或q :实数的平方都是正或实数的平方为0p且q :实数的平方都是正，实数的平方都是0非p :实数的平方都不是正的(或者存在实数，其平方不是正的)9222222222222222222222222222222222226点评：命题p和命题q的句子中，中文表达的习惯经常被省略，这种情况下必须调整词语。标题2 :条件例2.(1”是“直线相互垂直()a .充分必要的条件b .充分不必要的条件c .必要且不充分的