高考数学艺体生百日突围：专题(02)概率统计综合(理)(综合篇,含答案)

1、【20162016 年高考备考艺体生文化课精选好题突围系列】年高考备考艺体生文化课精选好题突围系列】 专题二专题二概率统计综合（理科）概率统计综合（理科） 统计 【背一背基础知识】 一抽样方法 抽样方法包含简单随机抽样、 系统抽样、 分层抽样三种方法， 三种抽样方法都是等概率抽样， 体现了抽样的公平性，但又各有其特点和适用范围 二用样本估计总体 1.频率分布直方图：画一个只有横、纵轴正方向的直角坐标系，把横轴分成若干段，每一段 对应一个组的组距，然后以此段为底作一矩形，它的高等于该组的频率，这样得出一系列 组距 的矩形，每个矩形的面积恰好是该组上的频率，这些矩形就构成了频率分布直方图.在频率

2、分布直方图中，每个小矩形的面积等于相应数据的频率，各小矩形的面积之和等于1； 2.茎叶图： 茎叶图是一种将样本数据有条理地列出来， 从中观察样本分布情况的图.在茎叶图 中， “茎”表示数的高位部分， “叶”表示数的低位部分. 3.样本的数字特征： （1）众数：一组数据中，出现次数最多的数据就是这组数据的众数（一组数据中的众数可 能只有一个，也可能有多个）.在频率分布直方图中，最高的矩形的中点的横坐标即为该组 数据的众数； （2）中位数：将一组数据由小到大（或由大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数， 则处于中间位置的数就是这组数据的中位数； 如果数据的个数是偶数， 则中间两个数据的平 均数就

3、是这组数据的中位数.在频率分布直方图中， 中位数a对应的直线x a的左右两边的 矩形面积之和均为0.5，可以根据这个特点求频率分布直方图中的中位数； （3）平均数：设n个数分别为x1、x2、L、xn，则x 1 x 1 x 2 L x n 叫做这n 个 n 数的算数平均数.在频率分布直方图中，它等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小 矩形底边中点的横坐标之和； （4）方差：设 n 个数分别为 x 1 、 x 2 、 L 、 x n ，则 s2 222 1 x 1 x x 2 xL x n x 叫做这n个数的方差，方差衡量样本的稳定 n 性的强弱.一般来讲，方差越大，样本的稳定性越差；方差越小

4、越接近于零，样本的稳定性 越强； （ 5 ） 标 准 差 ： 设 n 个 数 分 别 为 x 1 、 x 2 、 L 、 x n ， 则 222 1 s x 1 x x 2 xL x n x 叫做这n个数的标准差，标准差也可以衡量 n 样本稳定性的强弱. 4.独立性检验 （1）分类变量：对于变量的“值”表示个体所属的不同类别，像这样的变量称为分类变量； （2）列联表：列出的两个分类变量的频数表，称为列联表. （3）与表格相比，三维柱形图与二维条形图更能直观地反映出相关数据的总体状况. （4） 利用随机变量K来确定是否能以给定把握认为“两个分类变量有关系”的方法， 称为两 个分类变量的 独立性检

5、验 （5)两个分类变量的独立性检验的一般步骤： 列出两个分类变量的列联表： 假设两个分类变量x、y无关系； 2 nad bc 计算K （其中 nabcd 为样本容量)； abcdacbd 2 2 把K的值与临界值比较，确定x、y有关的程度或无关系. 临界值附表： 2 pK2 k0.50.40.250.150.10.050.0250.010.0050.001 k0.4550.7081.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828 5. 两个变量的相关关系 （1）作出两个变量的散点图，如果这些点从整体上看大致分布在通过散点图中心的一 条直线附近，称两个变量之间具有

6、线性相关关系，这条直线叫回归直线 $ $ a $ (2)回归方程为 $ ， 其中by bx （x x)(y y) x y nx y iiii i1 n nn x i 2nx i1 2 =i1 (x x) i i1 n $ ybx $ . ，a 2 【讲一讲基本技能】 1.必备技能：在求解样本的众数、中位数、平均数以及方差时，首先一般要将样本的数据 按照一定的顺序进行列举，并根据这些数的定义进行计算；在综合题中求解相应事件的 概率时，可以利用树状图作为巩固辅助基本事件的列举，最后在作答时一般利用点列法 进行列举. 2.典型例题 例 1经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1 t 该产品获

7、利润 500 元，未 售出的产品，每1 t 亏损 300 元根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直 方图，如图所示经销商为下一个销售季度购进了 130 t 该农产品以X(单位：t,100X 150)表示下一个销售季度内的市场需求量，T(单位：元)表示下一个销售季度内经销该农 产品的利润 (1)将T表示为X的函数； (2)根据直方图估计利润T不少于 57 000 元的概率； (3)在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，并以需求量落入该 区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率(例如： 若需求量X100,110)， 则取X105， 且X105 的概率等于需求量落入

8、100,110)的频率)，求T的数学期望 800X39 000，100X6.635的概率约为0.010，而8.802 6.635，我们有 99.5% 的把握认为：人的脚的大小与身高之间有关系 【解析】 （1）列联表补充如下： 大脚 非大脚 合计 高个 5 1 6 2 非高个 2 14 合计 7 13 20(51212)2 （2）根据上述列联表可以求得K 8.802，8.802 6.635， 614713 所以我们有99的把握认为：人的脚的大小与身高之间有关系 例 3 （本小题满分 12 分）PM2.5是指空气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物（也称 可入肺颗粒物） .为了探究车流量与PM2.5

9、的浓度是否相关， 现采集到某城市周一至周五某 一时间段车流量与PM2.5的数据如下表： 时间周一周二周三周四周五 车流量x（万辆）5051545758 69PM2.5的浓度y（微克/立方米）70747879 （1）根据上表数据，请在下列坐标系中画出散点图； y 80 78 76 74 72 70 x O 5052545658 （2）根据上表数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程$y $ bx$a； （3） 若周六同一时间段车流量是25万辆， 试根据 （2） 求出的线性回归方程预测， 此时PM2.5 的浓度为多少（保留整数）？ 1.28x 4.88（3）37【答案】 （1）散点图见解析；

10、（2）y 【分析】 第一问根据题中所给的点的坐标标出相应的点从而得出对应的散点图， 第二问根据 对应的公式将回归直线方程中的系数求出来， 从而求得回归直线的方程， 第三问将相应的值 带入求出结果即可. 【解析】 （1）散点图如下图所示. 2分 y 80 78 76 74 72 70 50 x 52545658O 【练一练趁热打铁】 1.生产A、B两种元件，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于82 为正品，小于 82 为 次品，现随机抽取这两种元件各100 件进行检测，检测结果统计如下： 测试指标 元件A 元件B 70,76)76,82)82,88)88,94) 8 7 12 18 40 40

11、 32 29 94,100 8 6 (1)试分别估计元件A，元件B为正品的概率； (2)生产一件元件A，若是正品可盈利 80 元，若是次品则亏损10 元；生产一件元件B，若是 正品可盈利 100 元，若是次品则亏损 20 元，在(1)的前提下 求生产 5 件元件B所获得的利润不少于 280 元的概率； X为生产 1 件元件A和 1 件元件B所得的总利润， 求随机变量X的分布列和数学期望 4381 ， （2） 128；分布列见解析，132 【答案】 （1）5 4； 【解析】 P(X180) ；P(X90) ；P(X60) ；P(X30) ， (10 分) X的分布列为： 4 5 33 45 1

12、5 33 420 4 5 11 45 11 54 1 20 X P 180 3 5 90 3 20 60 1 5 30 1 20 3311 E(X)180 9060 (30)132.(12 分) 520520 2. 心理学家分析发现视觉和空间能力与性别有关，某数学兴趣小组为了验证这个结论，从 兴趣小组中按分层抽样的方法抽取50 名同学 （男 30 女 20） ， 给所有同学几何题和代数题 各一题，让各位同学自由选择一道题进行解答选题情况如下表： （单位：人） （1）能否据此判断有 975%的把握认为视觉和空间能力与性别有关？ （2）经过多次测试后，甲每次解答一道几何题所用的时间在57 分钟，乙

13、每次解答一道几 何题所用的时间在 68 分钟，现甲、乙各解同一道几何题，求乙比甲先解答完的概率 （3） 现从选择做几何题的8 名女生中任意抽取两人对她们的答题情况进行全程研究， 记甲、 乙两女生被抽到的人数为X， 求 X 的分布列及数学期望 E（X） 附表及公式 【解析】 X 的分布列为： X0 P 2 15121 282828 1 E(X) 0 151211 +1+2 2828282 3. 某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此作了四次试验，得到 的数据如下： （1）在给定的坐标系中画出表中数据的散点图； （2）求出 y 关于 x 的回归直线方程ybxa，并在坐标系中画出

14、回归直线； （3）试预测加工 10 个零件需要多少时间？ 附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： b x ynx y ii i1 n x i 2nx i1 n ,a ybx 2 【答案】 （1）详见解析； （2） $ （3）805 小时 y07x105； 【解析】 回归直线如图中所示 （3）将 x10 代入回归直线方程， 得 $ y0710105805（小时） 预测加工 10 个零件需要 805 小时 概率、随机变量分布列及其期望与方差 【背一背基础知识】 1随机事件的概率 A包含的基本事件的个数 (1)古典概型：计算公式P(A)； 基本事件的总数 解题关键是弄清基本事件的总数 n

15、 以及某个事件 A 所包含的基本事件的个数 m，常用 排列组合知识及 m 公式 P(A) 解决 n (2)几何概型：计算公式P(A) 构成事件A的区域长度面积或体积 ； 试验的全部结果构成的长度面积或体积 解题关键在于把基本事件空间转化为与之对应的区域来解决 (3)互斥事件有一个发生的概率： 计算公式 P(AB)P(A)P(B)(A、B 互斥)； 对于较复杂的互斥事件的概率求法可考虑利用对立事件去求 2相互独立事件与 n 次独立重复试验 (1)若 A1，A2， An是相互独立事件，则P(A1A2An)P(A1)P(A2)P(An) (2)如果在一次试验中事件 A 发生的概率为 p，事件 A 不

16、发生的概率为 1p，那么在 n 次独立重复试验 中事件 A 发生 k 次的概率为：Pn(k)Cnp (1p) 3离散型随机变量的分布列、期望与方差 (1)离散型随机变量的分布列 若离散型随机变量 X 可能取的不同值为 x1， x2， ， xi， ， xn， X 取每一个值 xi(i1,2， ， n)的概率 P(Xxi)pi，则表 X P x1 p1 x2 p2 xi pi xn pn kknk. 离散型随机变量 X 的分布列，注意:P i 0，p i1 n i =1. （2）二项分布：在n次独立重复试验中，用表示事件 A 发生的次数，设每次试验 kknk 中事件 A 发生的概率为p，则p( k

17、)=Cnp (1 p)（k=0,1,2，n） ，称随 机变量服从二项分布，记作B(n, p)，并称p为成功的概率. (3)超几何分布： 一般地，在含有 M 件次品的 N 件产品中，任取 n 件，其中恰有件次品，则 knkC M C NM （k=0,1,2，m）p( k)= nC N 其中m=minM,n，且nN，MN，M,NN，则称随机变量服从超几何分布. （4）离散随机变量的数学期望、方差、标准差 期望：E x 1P1 x 2 P 2 L x n P n , 222（x 1-E）P 方差：D= 1 (x 2 E) P 2 L (x n E) P n ， * 标准差：= D . E(ab) a

18、E()b，Dab a D 2 若B(n, p),则E np，D np(1 p) 4.正态分布特征： （1）曲线在x轴上方，与x轴不相交. （2）曲线是单峰的，它关于直线x=对称. （3）曲线在x=处达到峰值. （4）曲线与x轴之间的面积为 1. （5）一定时，曲线的形状由确定. 越大，曲线越“矮胖” ，总体分布越分 散；越小，曲线越“瘦高” ，总体分布越集中. 【讲一讲基本技能】 1.必备技能： 求解独立性检验的基本问题时， 一般只需按照独立性检验的基本步骤进行即可， 即第一步提出假设，第二步计算K 2的值，第三步计算犯错误的概率，第四步 下结论. 2.典型例题 例 1.现有 10 道题，其中

19、 6 道甲类题，4 道乙类题，张同学从中任取3 道题解答 (1)求张同学至少取到 1 道乙类题的概率； 3 (2)已知所取的 3 道题中有 2 道甲类题， 1 道乙类题 设张同学答对每道甲类题的概率都是 ， 5 4 答对每道乙类题的概率都是 ，且各题答对与否相互独立用 X 表示张同学答对题的个数， 5 求 X 的分布列和数学期望 5 【答案】 （1）6；（2）分布列见解析，2 【解析】 (2)X 所有的可能取值为 0,1,2,3. 3 0 2 2 143 1 2 1 1 030 2 2 428 01 P(X0)C2 ；P(X1)C2 C2 ； 555125555555125 2 0 1 1 3

20、24573 2 2 0 436 2322 P(X2)C2 C2 ；P(X3)C2 . 555125555555125 所以 X 的分布列为： 所以 E(X)0 4285736 1232. 125125125125 P X0 4 125 1 28 125 2 57 125 3 36 125 例 2甲、乙、丙三班进行知识竞赛，每两班比赛一场，共赛三场每场比赛胜者得3分， 负者得0分， 没有平局， 在每一场比赛中， 甲班胜乙班的概率为 乙班胜丙班的概率为 21 ， 甲班胜丙班的概率为， 34 1 5 （）求甲班获第一名且丙班获第二名的概率； （）设在该次比赛中，甲班得分为，求的分布列和数学期望 【答

21、案】 （） 211 ； （）分布列见解析，E 154 【分析】 （）先分别求出甲获第一、丙获第二的概率，然后根据相互独立事件同时必要的 概率公式得到结果； （）由题意知可能取的值为 O、3、6，分别求出其概率，从而写出 分布列和期望 【解析】 （）甲获第一，则甲胜乙且甲胜丙， 甲获第一的概率为 211 346 14 55 142 甲获第一名且丙获第二名的概率为 6515 丙获第二，则丙胜乙，其概率为1 （）可能取的值为 O、3、6 1 4 21127 甲两场只胜一场的概率为P( 3) (1)(1) 344312 211 甲两场皆胜的概率为P( 6) 346 甲两场比赛皆输的概率为P( 0) (

22、1)(1) 的分布列为 2 3 1 4 P 036 17 412 17111 E 036 41264 1 6 例 3威力实施 “爱的教育” 实践活动， 宇华教育集团决定举行 “爱在宇华” 教师演讲比赛 焦 作校区决定从高中部、初中部、小学部和幼教部这四个部门选出12 人组成代表队代表焦作 校区参赛，选手来源如下表： 部门 人数 高中部 4 初中部 4 小学部 2 幼教部 2 焦作校区选手经过出色表现获得冠军，现要从中选出两名选手代表冠军队发言 （1）求这两名队员来自同一部门的概率； （2）设选出的两名选手中来自高中部的人数为，求随机变量的分布列及数学期望 E 72 ； （2） 333 【分析】

23、 （1） “从12名队员中随机选出两名，两人来自同一学校”记作事件A，根据题设， 【答案】 （1） 利用排列组合知识求得这两名队员来自同一部门的概率；（2）的所有可能取值为0，1，2， 分别求得其对应的概率，从而求得随机变量的分布列及数学期望 E 【解析】 的分布列为 P 012 14 33 141612 E 012 3333113 16 33 1 11 【练一练趁热打铁】 1. 我市在夜明珠与黄柏河交汇形成的平湖水面上修建”三峡游轮中心” 其中有小型游艇出 租给游客游玩，收费标准如下：租用时间不超过2 小时收费 100，超过2 小时的部分按每小 时 100 收取（不足一小时按一小时计算） 现

24、甲、乙两人独立来该景点租用小型游艇，各租 11 一次设甲、乙租用不超过两小时的概率分别为 ，；租用2 小时以上且不超过 3 小时的 32 概率分别为 11 ，且两人租用的时间都不超过4 小时 23 （）求甲、乙两人所付费用相同的概率； （）设甲、乙两人所付的费用之和为随机变量，求的分布列与数学期望 【答案】 （） 【解析】 13 ； （）详见解析 36 故的分布列为： P 200 1 6 300 13 36 400 11 36 500600 51 3636 1131151 的数学期望是E 200300400500600 350 636363636 2. 为了增强环保意识，我校从男生中随机抽取了

25、 60 人，从女生中随机抽取了 50 人参加环 保知识测试，统计数据如下表所示： 男生 女生 优秀 40 20 非优秀 20 30 总计 60 50 总计6050110 （）试判断是否有 99%的把握认为环保知识是否优秀与性别有关； （）为参加市里举办的环保知识竞赛， 学校举办预选赛，已知在环保测试中优秀的同学通 2 ，现在环保测试中优秀的同学中选 3 人参加预选赛，若随机变量X表 3 示这 3 人中通过预选赛的人数，求X的分布列与数学期望 过预选赛的概率为 P(K2 k) 05000400010000100001 k 2 045507082706663510828 2n(ad bc) 附:K

26、 (ab)(cd)(ac)(bd) 【答案】 （）有关； （）详见解析 【解析】 11212428 1 2 1 2P(X 0) ( )3P(X 1) C 3 ( )( ) P(X 2) C 3 2( )( )2P(X 3) ( )3 327339339327 X P 0123 1 27 2 9 4 9 8 27 解答题（解答题（25*4=10025*4=100 分）分） 1.为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对1 000 位顾客进行奖励，规定：每位顾客从 一个装有 4 个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2 个球， 球上所标的面值之和为该顾客所 获的奖励额 (1)若袋中所装的 4 个球中有

27、1 个所标的面值为 50 元，其余 3 个均为 10 元，求： 顾客所获的奖励额为 60 元的概率； 顾客所获的奖励额的分布列及数学期望； (2)商场对奖励总额的预算是60 000 元，并规定袋中的 4 个球只能由标有面值 10 元和 50 元的两种球组成，或标有面值 20 元和 40 元的两种球组成为了使顾客得到的奖励总额 尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡， 请对袋中的 4 个球的面值给出一 个合适的设计，并说明理由 【解析】 (2)根据商场的预算，每个顾客的平均奖励额为60 元所以，先寻找期望为 60 元的可 能方案 对于面值由 10 元和 50 元组成的情况， 如果选择

28、(10,10,10,50)的方案， 因为 60 元是面 值之和的最大值，所以期望不可能为60 元；如果选择(50,50,50,10)的方案，因为 60 元是 面值之和的最小值，所以期望也不可能为 60 元，因此可能的方案是(10,10,50,50)，记为方 案 1. 对于面值由 20 元和 40 元组成的情况， 同理可排除(20,20,20,40)和(40,40,40,20)的方 案，所以可能的方案是(20,20,40,40)，记为方案 2. 以下是对两个方案的分析： 对于方案 1，即方案(10,10,50,50)，设顾客所获的奖励额为X1，则X1的分布列为 X 1 P X 1 的期望为E(X

29、1)2060 2060100 1 6 2 3 1 6 1 6 12 10060， 63 116002 2 (10060) . 633 80 X 1 的方差为D(X1)(2060)2(6060)2 1 6 对于方案 2，即方案(20,20,40,40)，设顾客所获的奖励额为X2，则X2的分布列为 X 2 P X 2 的期望为E(X2)4060 4060 1 6 2 3 1 6 1 6 12 8060， 63 X 2 的方差为D(X2)(4060)2(6060)2 1 6 14002 2 (8060) . 633 由于两种方案的奖励额的期望都符合要求， 但方案 2 奖励额的方差比方案 1 的小，

30、所以 应该选择方案 2. 为了增强环保意识，我校从男生中随机抽取了60 人，从女生中随机抽取了 50 人参加环 保知识测试，统计数据如下表所示： 优秀非优秀总计 男生 女生 总计 40 20 60 20 30 50 60 50 110 （）试判断是否有 99%的把握认为环保知识是否优秀与性别有关； （）为参加市里举办的环保知识竞赛， 学校举办预选赛，已知在环保测试中优秀的同学通 2 ，现在环保测试中优秀的同学中选 3 人参加预选赛，若随机变量X表 3 示这 3 人中通过预选赛的人数，求X的分布列与数学期望 过预选赛的概率为 P(K2 k) 0500 0455 0400 0708 0100 27

31、06 0010 6635 0001 10828 k 2 2n(ad bc) 附:K (ab)(cd)(ac)(bd) 【答案】 （）有关； （）详见解析 【解析】 11212428 1 2 1 2P(X 0) ( )3P(X 1) C 3 ( )( ) P(X 2) C 3 2( )( )2P(X 3) ( )3 327339339327 X P 0123 1 27 2 9 4 9 8 27 E(X) 2 3.空气质量指数 PM2.5(单位：g/m )表示每立方米空气中可入肺颗粒物的含量，这个值越 高，代表空气污染越严重PM2.5 的浓度与空气质量类别的关系如下表所示： PM2.5 日均浓度 空气质量类别 035 优 3575 良 75115 轻度污染 115150 中度污染 150250 重度污染 250 严重污染 3 从甲城市 2014 年 9 月份的 30 天中随机抽取 15 天的PM2.5 日均浓度指数数据茎叶图如 图所示 (1)试估计甲城市在 2014 年 9 月份 30 天的空气质量类别为优或良的天数； (2)在甲城市这 15 个监测数据中任取 2