高考数学文二轮专题训练专题四第3讲推理与证明

1、第第 3 3 讲讲推理与证明推理与证明 考情解读 1.以数表、数阵、图形为背景与数列、周 期性等知识相结合考查归纳推理和类比推理， 多以小题形式出现.2.直接证明和间接证明的考 查主要作为证明和推理数学命题的方法，常与函数、数列及不等式等综合命题 1合情推理 (1)归纳推理 归纳推理是由某类事物的部分对象具有某些特征， 推出该类事物的全部对象都具有这些特 征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理 归纳推理的思维过程如下： 实验、观察 概括、推广 猜测一般性结论 (2)类比推理 类比推理是由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征， 推出另一类对 象也具有这些特征的推理 类比推理

2、的思维过程如下： 观察、比较 联想、类推 猜测新的结论 2演绎推理 (1)“三段论”是演绎推理的一般模式，包括： 大前提已知的一般原理； 小前提所研究的特殊情况； 结论根据一般原理，对特殊情况做出的判断 (2)合情推理与演绎推理的区别 归纳和类比是常用的合情推理， 从推理形式上看， 归纳是由部分到整体、 个别到一般的推理； 类比是由特殊到特殊的推理；而演绎推理是由一般到特殊的推理从推理所得的结论来看， 合情推理的结论不一定正确， 有待进一步证明；演绎推理在大前提、小前提和推理形式都正 确的前提下，得到的结论一定正确 3直接证明 (1)综合法 用 P 表示已知条件、已有的定义、定理、公理等，Q

3、表示所要证明的结论，则综合法可用 框图表示为： PQ1 Q1Q2 Q2Q3 QnQ (2)分析法 用 Q 表示要证明的结论，则分析法可用框图表示为： QP1 P1P2 P2P3 得到一个明显成立的条件 4间接证明 反证法的证明过程可以概括为“否定推理否定”， 即从否定结论开始， 经过正确的 推理，导致逻辑矛 盾，从而达到新的否定(即肯定原命题)的过程用反证法证明命题“若 p，则 q”的过程可 以用如图所示的框图表示 肯定条件p否定结论q 导致逻辑矛盾 “既p，又綈q” 为假 “若p，则q” 为真 热点一归纳推理 例 1(1)有菱形纹的正六边形地面砖，按下图 的规律拼成若干个图案，则第六个图案中

4、有菱形纹的正六边形的个数是() A26 C32 B31 D36 (2)两旅客坐火车外出旅游，希望座位连在一起，且有一个靠窗，已知火车上的座位的排法 如图所示，则下列座位号码符合要求的应当是() A48,49 C75,76 B62,63 D84,85 思维启迪(1)根据三个图案中的正六边形个数寻求规律；(2)靠窗口的座位号码能被 5 整除 或者被 5 除余 1. 答案(1)B(2)D 解析(1)有菱形纹的正六边形个数如下表： 图案 个数 1 6 2 11 3 16 由表可以看出有菱形纹的正六边形的个数依次组成一个以6为首项， 以5为公差的等差数列， 所以第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数是65

5、(61)31. 故选 B. (2)由已知图形中座位的排列顺序，可得：被 5 除余 1 的数和能被 5 整除的座位号临窗，由 于两旅客希望座位连在一起，且有一个靠窗，分析答案中的4 组座位号，只有D 符合条件 思维升华归纳递推思想在解决问题时，从特殊情况入手，通过观察、分析、概括，猜想出 一般性结论，然后予以证明，这一数学思想方法在解决探索性问题、 存在性问题或与正整数 有关的命题时有着广泛的应用 其思维模式是“观察归纳猜想证明”， 解题的 关键在于正确的归纳猜想 (1)四个小动物换座位， 开始是鼠、 猴、 兔、 猫分别坐 1、2、3、4 号位上(如图)，第一次前后排动物互换座位，第二次左右列动

6、物互换 座位，这样交替进行下去，那么第202 次互换座位后，小兔坐在第_号座位上 1 鼠 3 兔 2 猴 4 猫 开始 1 兔 3 鼠 2 猫 4 猴 第一次 1 猫 3 猴 2 兔 4 鼠 第二次 1 猴 3 猫 2 鼠 4 兔 第三次 A1 C3 B2 D4 11157 (2)已知 f(n)1 (nN*)，经计算得 f(4)2，f(8) ，f(16)3，f(32) ，则有 23n22 _ n2 答案(1)B(2)f(2n)(n2，nN N*) 2 解析(1)考虑小兔所坐的座位号，第一次坐在 1 号位上，第二次坐在 2 号位上，第三次坐 在 4 号位上，第四次坐在3 号位上，第五次坐在1 号

7、位上，因此小兔的座位数更换次数以4 为周期，因为2025042，因此第202 次互换后，小兔所在的座位号与小兔第二次互换 座位号所在的座位号相同，因此小兔坐在2 号位上，故选 B. (2)由题意得 f(22)4 2，f(23) 56 2，f(24)2， f(25)7 2，所以当 n2 时，有 f(2 n)n2 2 . 故填 f(2n)n2 2 (n2，nN N*) 热点二类比推理 例 2(1)在平面几何中有如下结论：若正三角 S11 形 ABC 的内切圆面积为 S1，外接圆面积为S2，则 .推广到空间几何可以得到类似结论： S24 V1 若正四面体 ABCD 的内切球体积为 V1，外接球体积为

8、 V2，则_. V2 exe xexex (2)已知双曲正弦函数 shx和双曲余弦函数 chx与我们学过的正弦函数和余 22 弦函数有许多类似的性质， 请类比正弦函数和余弦函数的和角或差角公式， 写出双曲正弦或 双曲余弦函数的一个类似的正确结论_ 思维启迪(1)平面几何中的面积可类比到空间几何中的体积；(2)可利用和角或差角公式猜 想，然后验证 1 答案(1)(2)ch(xy)chx chyshx shy 27 解析(1)平面几何中，圆的面积与圆的半径的平方成正比，而在空间几何中，球的体积与 V11 半径的立方成正比，所以 . V227 exe x eye y exe x eye y (2)c

9、hx chyshx shy 2222 1 (exyexyexyexyexyexyexyexy) 4 e 1 xy x y) ( (2e 2e ) 4 xy e x y ch(xy)，故知 ch(xy)chx chyshx shy， 2 或 sh(xy)shx chychx shy， 或 sh(xy)shx chychx shy. 思维升华类比推理是合情推理中的一类重要推理， 强调的是两类事物之间的相似性， 有共 同要素是产生类比迁移的客观因素， 类比可以由概念性质上的相似性引起， 如等差数列与等 比数列的类比，也可以由解题方法上的类似引起 当然首先是在某些方面有一定的共性， 才 能有方法上的类

10、比，例 2 即属于此类题型一般来说，高考中的类比问题多发生在横向与纵 向类比上， 如圆锥曲线中椭圆与双曲线等的横向类比以及平面与空间中三角形与三棱锥的纵 向类比等 (1) 若 数 列 an 是 等 差 数 列 ， bn a1a2an， 则数列b n也为等差数列 类比这一性质可知， 若正项数列cn是等比数列， n 且dn也是等比数列，则 dn的表达式应为() c1c2cn Adn n c1c2cn Bdn n Cdnn nnc 1 nc 2 c n n Ddnc1c2cn x2y2 (2)椭圆与双曲线有许多优美的对偶性质，如对于椭圆有如下命题：AB 是椭圆 22ab b2 1(ab0)的不平行于

11、对称轴且不过原点的弦， M 为 AB 的中点， 则 kOMkAB 2.那么对于双a x2y2 曲线则有如下命题：AB 是双曲线 221(a0，b0)的不平行于对称轴且不过原点的弦，ab M 为 AB 的中点，则 kOMkAB_. b2 答案(1)D(2) 2a 解析(1)由an为等差数列，设公差为 d， a1a2ann1 则 bna1 d， n2 又正项数列cn为等比数列，设公比为 q， 则 dn c1c2cnc q n n n 1 n2n 2 c1q n1 2 ，故选 D. (2)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)， x x x 2 ， 则有 y y y . 2 12

12、0 12 0 x2y2 将 A，B 代入双曲线 221 中得ab 2x2y2x2y2 1121， 221，a2b2ab 22x2y2 1x21y2 两式相减，得 2 2 ， ab x1x2x1x2y1y2y1y2 即， a2b2 y1y2y1y2 b2 即 2， x1x2x1x2 a b2 即 kOMkAB 2.a 热点三直接证明和间接证明 例 3 131an1 已知数列an满足：a1 ， 21an 21an 2，anan 10 (n1)；数列bn满足：bna2n1an (n1) 1an1 (1)求数列an，bn的通项公式； (2)证明：数列bn中的任意三项不可能成等差数列 思维启迪(1)利用

13、已知递推式中的特点构造数列 1a2 n；(2)否定性结论的证明可用反证 法 231an121an1an1 2 (1)解已知 化为 ， 2 3 1an1an11an 3 2 ，而 1a1 4 32 所以数列1a2 n是首项为 ，公比为 的等比数列， 43 32 n1 3 2 n1 22 则 1an ，则 a， n1 4 3 4 3 由 anan10，知数列an的项正负相间出现， 因此 an(1) n1 32 n1 1 ， 4 3 3 2n 3 2 n1 2bna2 n1an 4 3 4 3 12 n1 . 4 3 (2)证明假设存在某三项成等差数列，不妨设为 bm、bn、bp，其中 m、n、p

14、是互不相等的 正整数，可设 m0，观察不等式x 2 x 3 x x 414xx4 x 2，x 2 23 3，由此可 xx22x2 2 x2 B76 D199 a 得一般结论：x nn1(nN N*)，则 a 的值为( ) x Ann C3n 答案A 解析根据已知，续写一个不等式： 4 x x x 3333xxx33 x 3 34 4，由此可得 ann.故选 A. x333x3 3 3 x3 4 已知函数 f(x)是 R R 上的单调增函数且为奇函数， 数列an是等差数列， a30， 则 f(a1)f(a3) f(a5)的值() A恒为正数 C恒为 0 答案A 解析由已知得 f(0)0，a1a5

15、2a30， 所以 a1a5. 由于 f(x)单调递增且为奇函数， 所以 f(a1)f(a5)f(a5)f(a5)0， 又 f(a3)0，所以 f(a1)f(a3)f(a5)0. B恒为负数 D可正可负 Bn2 D2n 故选 A. 5在平面内点 O 是直线 AB 外一点，点 C 在直线 AB 上，若OCOAOB，则 1； 类似地，如果点 O 是空间内任一点，点 A，B，C，D 中任意三点均不共线，并且这四点在 同一平面内，若DOxOAyOBzOC，则 xyz 等于() A0 C1 答案B 解析在平面内，由三角形法则， 得ABOBOA，BCOCOB. 因为 A，B，C 三点共线， 所以存在实数 t，使ABtBC，即OBOAt(OCOB)， 11 所以OC OA( 1)OB. tt 11 因为OCOAOB，所以 ， 1， tt 所以 1. 类似地，在空间内可得ODOAOBOC，1. 因为DOOD，所以 xyz1.故选 B. 6已知“整数对”按如下规律排成一列： (1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)， (1,4)，(2,3)， (3,2)，(4,1)，则第 60 个数对是() A(7,5)B(5,7)C(2,10)D(10,1) 答案B 解析依题意，就每组整数对的和相同的分为一组，不难得知每组整数对的和