2020年高考数学 排列组合（通用）

1、高考考场编排与组合分析大纲要求：(1)掌握分类计数和分步计数的原理及其简单应用；2理解排列组合的含义，掌握排列数和组合数的计算公式，组合数的性质及其简单应用；掌握二项式定理和二项式系数的性质，并用它们来计算和演示一些简单的问题。以下是测试站点及其解决方案。测试站点1检验了这两个原则的直接应用例1(天津，2003)一个花坛建在一个城市的中央广场，分为六个部分(如图所示)。现在有必要种植4种不同颜色的花，每部分一种，相同颜色的花不能种植在相邻的部分。不同的种植方法如下分析：解决排列组合问题时，一是观察取出的元素是否有顺序，从表面上判断是排列问题还是组合问题材料；第二，仔细检查问题，找出如何做到这一

2、点，从而确定它是分类计数还是分步计数原则。解决方案：按区域种植，选择邻近区域较多的第一个物种，可以分六个步骤完成：第一步是在第一区种植四种花中的任何一种，有四种方法；第二步，将剩下的三朵花中的任何一朵送给第二个地方品种，有三种方法；在第三步中，有两种方法从剩下的两朵花中的任何一朵中选出第三个区域种；第四步是在第四区种花。因为区域4不与区域2相邻，所以这两个区域可以分为两类：相同的颜色和不同的颜色：如果在区域4和区域2种植相同颜色的花，在第五步中，在区域4有一种方法，在区域5有两种方法；第六步是给六号区多种方法；如果4号和2号有不同颜色的花，4号区有一种方法，5号区的方法可分为两类：如果5号和2

3、号有相同颜色的花，5号区有一种方法，6号区有两种方法；如果5区和2区有不同颜色的花，5区有一种方法，6区有一种方法。根据逐步计数的原则，有120种不同的种植方法。测试站点2检查特殊元素并优先考虑问题例2(天津，2004)从1，2，3，5，7中取2个数字，从0，2，4，6，8中取2个数字，组成四位数字，无负担，其中有四位数字据报道可被5整除。用数字回答)分析：对于特殊元素的排列组合，首先要排列特殊位置的特殊元素，然后再排列其他位置的其他元素。解决方法：合格的四位数必须是0和5，但0不能排在第一位，所以0是其中的一个特殊元素，应该排在第一位。按照0为第一名、0为第十名、100位不含0的标准，可分为

4、三类：(1)行0中有四个数字可以被0整除 0排在第10位和第100位，但5必须排在第1位，且=48(3)不包含0，但5必须排列在一个地方根据分类和计数的原则，有300个四位数。测试站点3检查相邻排列的计算问题例2(海春)，有不同的产品排成一排。如果有48种不同的产品A和B排列在一起，那么分析：对于某些元素的相邻排列问题，相邻元素可以“绑定”为一个大元素，与其他元素完全排列在一起，然后相邻元素的内部被完全排列。这是处理相邻排列问题的“绑定”方法。解决方案：两个产品，A和B，被认为是一个大元素，并且有一种方法可以将它们与其他产品排列在一起；对于上述每一种排列方法，在A和B产品之间都有另一种排列方法

5、。根据分步计数原理，有48种不同的排列方式满足条件，因此测试站点4检查非相邻排列的计算问题例4 (04廖)有两排座位，前排11个座位，后排12个座位。现在安排了两个座位。规定前排中间的三个座位不能坐，这两个人解决方案：首先，取出前排中间的5号、6号和7号座位以及两个待排列的座位，然后将剩余的18个座位排成一排，然后将两个待排列的座位插入18个座位之间以及两端的空隙中，使这两个人的座位不相邻。有一种方法；但是，要安排的两个座位可以同时插入前排的4号和8号座位、前排的11号座位和后排的1号座位之间，以满足要求。有办法。根据分类和计数的原则，不同排种方法如下(物种)，选择(b)。测试站点5检查排列和

6、组合的混合计算问题例5 (04陕西)四名教师被分配到三种类型的中学，每所中学少一名教师，因此有()种不同的分配方案(一)12(二)24(三)36(四)48分析：排列组合的混合问题可以通过先分组(堆叠)再排列的策略来解决。有三种类型的无序分组问题，如“均匀分组、部分均匀分组和非均匀分组”。计数经常得出以下结论：对于“均匀分组”和“部分均匀分组”的问题，我们只需要按“非均匀分组”的公式，然后除以均匀分组的总数。解决方案：可以分两步完成：第一步是将四名教师分成三组(1，1，2)；第二步是将这三组教师分配到三所中学。根据逐步计数的原则，有36种不同的分配方案。备选方案(b)。测试点6检查测序安排的计算

7、例6(国家96)由数字0、1、2、3、4和5组成，它们是没有重复数字的六位数字，其中一位数字总共少于十位数字()(一)210(二)300(三)464(四)600分析：对于某些元素的有序排列，可以先将有序元素和其他元素完全排列，然后根据有序排列出现在整体排列中的概率，将总排列数除以有序排列数。解决方案：如果不考虑附加条件，有六位数字。在这六位数字中，只有两种情况，一位数字小于十位数字，一位数字大于十位数字，这两种情况出现在总体排列中的概率为0，因此六位数字的数量为=300，因此应选择(b)。测试站点7检查等价转换计算问题例7 (04湖南)从一个立方体的八个顶点取任意三个点作为三角形，其中直角三角

8、形的个数为()(一)56(二)52(三)48(四)40分析：几何是高考的一个常见测试点。求解时，首先要熟悉几何图形的性质和点、线、面的位置关系；第二，应根据同一标准进行分类，以避免重复和遗漏；第三，如果直接解决是困难的或有许多线索，我们可以考虑它，而不是把它变成一个简单的问题来解决。解决方法：从一个立方体的八个顶点中可以选择三个顶点组成一个三角形，其中有两种非直角三角形：上底部每个顶点所在的边的对角线和下底部对应的对角线组成一个正三角形，上底部的四个顶点共有四个非直角三角形；下底面四个顶点所在一侧的对角线与上底面相应的角线形成四个非直角三角形。因此，总共有一个直角三角形，所以选择(c)。例8(

9、国家97)四面体的顶点和中点有10个点，其中有4个非共面点，有()种不同的取法。(一)150(二)147(三)144(四)141解决方案：从10个点中选择4个点有210种方法，以下三种共面点应该被消除：(1)在四面体的每个面上，有60种方法从6个点中选择4个点。(2)四面体每条边上的三个点与对边的中点共面，有六种方法。(3)有三对平行线连接六个中点，因此有三种方法从六个点中选择四个共面点。因此，有210-60-6-3=141个符合条件的方法。选择(d)。测试中心8检查二项式展开以找到指定的术语例9 (04湖北)如果已知展开中的系数之和是1测试点9检验二项式膨胀系数及其解例10 (04天津)如果

10、，那么。分析：用各种系数直接展开求解是错误的。二项式定理不仅是一个公式，也是一个方程或恒等式，因此可以用多项式恒等式理论和赋值方法来求解。解决方案：获得；因此，原始公式=测试站点10检查三个扩展指定项目的解决方案在例11 (92)的扩展中，x的系数是()(甲)160(乙)240(丙)360 D800分析：在寻找三顶展开的指定顶点时，常通过常数变形将其转化为常见的二项式，然后用二项式定理分两步求解。解决方案：=X项在展开式中的系数只能是in，而X项又可以通过展开式得到，所以X项的系数是240，所以应该选择B。这个问题也可以转化为，然后单独展开，用多顶乘性集合项法求解。测试点11检验二项式定理和近

11、似估值例12 (04)湖南农民的收入包括工资收入和其他收入。2003年，某地区农民人均收入3150元(其中工业资源共享收入1800元，其他收入1350元)。预计从2004年开始的5年内，农民工业资源共享收入将以每年160元的速度增长，其他收入将以每年160元的速度增长。根据上述数据，2008年人均收入介于()(一)4200 4400元；(二)4400 4460元(三)4460元4800元(四)4800元5000元分析：在处理与二项式的高次幂有关的近似估计问题时，可以用二项式定理来展开，估计问题可以通过简单的计算来解决。解决方案：2008年农民工人均二级收入为2008年，农民的其他人均收入为1350 160=2150因此，2008年农民人均总收入约为2405 2150=4555元。所以选择b。测试点12检验二项式定理的应用例13 (91三南)已知函数证明，对于不小于3的任何自然数，分析：如果很难用二项式定理或数学归纳法直接证明，我们应该找到另一种方法来解决这个问题，并把它变成一个熟悉的命题：很容易再次证明。