2020陕西省高考数学试题的特点分析及2020年高考试题的命制趋势（通用）

1、2020年12月7日 西安 陕西高考数学复课会议 2020陕西省高考数学试题的特点分析及2020年高考试题的命制趋势 （联系方式：E: Q: 363215694 ） 咸阳师范学院 安振平2020年高考数学试题的特点分析 今年的陕西高考数学试题，从整体上看，充分贯彻了全国高考数学考试大纲的基本精神，紧扣了现行高中数学教材的内容，既注重了基础知识的考查,又突出了能力立意的命题理念.虽然相比陕西自主命题的2020年、2020年试题，创意上略有提升，难度上略有所提高，但试题的难度仍然比较适中. 符合陕西省内陕南、陕北、关中不同地区的高中数学教学的实际，利于于高校选拔人才的基本要求.笔者以为，试题应当说

2、是一份比较成功的、质量比较高的试题.l 试题求“稳”，稳在哪里？从试题的布局看，依然是22道试题，分别为12道选择题，4道填空题，6道解答题，和全国的模板相同，但分值用的是全国的旧形式，那就是，选择题60分，填空题16分，解答题74分.从试题内容的布局上来看，重点没有变化，思想没有变化，原则没有变化，导向没有变化，特色没有变化.具体表现在：主观题目考查的知识点相对稳定，例如：复数（理科），抽样（文科）线性规划，集合，等差数列，充要条件，反函数，涉及球的组合几何体，二项式定理，排列组合，解三角形，极限（理科），向量，直线与圆的位置关系，等等.客观题目考查的题型也没有多大的变化，依然是，三角函数，

3、概率与统计，立体几何里元素的位置关系判定与计算，解析几何里的直线与圆锥曲线的关系，函数、导数与不等关系，递推数列与不等式证明.这些“稳定”点的重现与“不动点”的设计，充分体现了高考命题的基本要求：一是真正为中学生减负，二是把中学生的能力考出来.文理科试题里均没有偏题、怪题与过难的题目，相同的题目有11道，类似的姊妹题有5道，不同的题目有6道.这样的处理，有效的显示了文理科学生数学能力的区别，设计的比较科学，符合高中生的实际，为今后的命题和高考文理科复习的不同要求，提供了比较好的方向.l 试题求“变”，变在何处？仔细比照陕西自主命题以来的2020、2020年的试题，不难发现，2020年试题是有一

4、定变化的，变在知识载体的适度迁移，解题能力要求的恰当提升.例如：第7题的反函数，2020年是抽象函数图像的选择题目，而2020年却变化为具体的指数函数与对数函数的运算问题.文理科均有的第12题，与2020年的第12题比照，均为信息安全情景，但新考题的加密办法要较原来考题新颖一点、抽象一点的.很好的处理了继承与发展变化的关系. 又如：数列题目2020年，2020年都设计了与的关系的题目，而在2020年的题目里，有意做了回避.对解析几何解答题目，2020年设计了求参数的取值范围，2020年出现了求面积的最大值，都和不等式相联系，而2020年却有意避免了不等关系的出现，转变为等量关系了.立体几何解答

5、题，其图形载体是比较新颖的.2020年是直二面角的图形，2020年是四棱锥的图形，而2020年却变化为“台体”了，当然，不变化的因素是，都有一线与一面垂直啊！再如：理科的函数题目，2020年是三次函数、导数与数列不等式证明，2020年是指数函数与二次函数复合的分式型的函数，求参数的取值范围，求函数的单调区间.而2020年却变化为一次函数与二次函数复合的分式函数，载体做了一定的调整与变化，问题似乎也新鲜了一点的.数列题目，陕西命题的前两年，没有出项递推模型：，而这点在2020年的理科第22题、文科第20题里得到了比较好的体现，此题目的背景，可以在课本上找到证实：过渡的人教版教材第一册（上）110

6、页，或新课标人教A版数学必修5的第38页均有如下问题：已知数列，写出数列的前5项这是根基在课本上的例子. 更多的往年高考真题的例子，可以列出如下的清单：1. (2020，重庆)在数列an中，若a1=1an+1=2an+3 (n1)则该数列的通项an=_ 2.（2020，福建）已知数列满足求数列的通项公式3. （2020，全国2）设数列的首项，求的通项公式.4. (2020，全国1) 已知数列中， 求的通项公式. 当然，还有许多的高考数列题目，通过变换以后，可以转化为模型：，请看：1.（2020，全国）已知数列满足，证明：提示：对的两边同时除以，就得2.（2020，天津）设是常数，且，证明：对任

7、意，提示：对的两边同时除以，就得 .3.（2020，江苏）已知，（为正常数），用表示提示：对的两边取对数，就得 4. （2020，四川）设数列的前项为，已知（）证明：当时，是等比数列；（）求的通项公式提示：条件式可以转化为 .再用同除技巧，就可以转化为如上的模板了.l 试题求“新”，新在哪里？一些新颖的题目的设计，显示了命题者的数学智慧，展示了数学试卷的种种“亮点”，为了实现命题的“能力立意”，创设了很好的问题情景.例如：理科第9题文科第10题将直二面角里的线段长、角度大小，巧妙的设计为新颖的不等式比较大小题目，具有一定的创新性. 第11题，一抽象函数为载体，考查相关的计算，试题设计简洁明快，

8、作为陕西的题目，是有一定特色的. 第12题以信息传递为背景，涉及了集合、新定义的运算，属于一道新颖的智能型的试题，第16题以国家大事奥运火炬传递为题材，设计的背景是新颖的，也是紧跟时代要求.又如：第19题是一道立体几何题目，此类问题要有新的创意，是不那么容易的. 但陕西的命题高手却可以做到，高三的师生意想不到, 2020年一直二面角的图形展示，而2020年却以“三棱台”的图形闪亮登场. 要知道，立体几何题目的设计，不是椎体，就是柱体啊，那来的这等“怪物”，教材上没有涉及的. 再看理科第22题，第I问设计平常，而第II问却设计独特、新颖，半路杀出了程咬金，怎么多出了个未知数，有意思！第III问更

9、上一层楼，感觉中，一定有什么玄妙，可能有高等数学的背景？和面积、积分有联系，读者不妨思考之. l 理科压卷试题的研讨2020年陕西高考理科数学压轴题为：问题：已知数列的首项，（I） 求的通项公式；（II） 证明：对任意的（III） 证明：笔者以为，该考题的设计是比较新颖、独特的，从参考答案提供的解答方法来看，第（I）题是用“倒数变换”，构造等比数列求解的；第（II）题是用“配凑”数学通项，利用（I）的结论做答的；而第（III）题是借助（II）的结论，对x取特殊值，这个值的选择，没有一定的数学悟性，是比较难想到的. l 关于第（I）小题的求解一个提及的问题是，如果没有想到“取倒数”法，没有转化到

10、如上的模型上去，还能够求数列的通项吗？其实，由首项出发，借助递推关系，求它的第2项，第3项，第4项，就得；.据此，容易猜出 . 接下来，可以用数学归纳法证明之. 这种从特殊到一般，“归纳、猜想、证明”的思想方法，是求解数列问题的基本方法，理应成为考生思考此类问题的通性通法，也应当是首选的方法.l 探究第（II）小题的证明我们知道，证明不等式最有效的通性通法，那就是作差比较法. 请看：为了书写的简单，换元是一个好主意，令，则，于是请读者思考，为什么我们没有早早地把通项代入呢？这样做的话，运算会简单吗？通过观察，我们看出所要证明的不等式里有，而由（I）的结论知道之间有关系，我们就可以消去一种字母呀

11、. 这种“消元”，我们是经常利用的，属于通性同法. 你看到了吗？上面的证明就是消去了呀！基于这样的认识，我们利用数列的通项式，反解得 ，再结合2元均值不等式，就有如下的证明方法： 我们知道，灵活的配凑，巧凑乘积的因子、妙分和式的项，这是应用2元均值不等式的前提. 关注如何消失字母x，仅留下，你可能就有了点感觉了.l 研究第（III）小题的证法数列不等式的证明是历年高考的热门话题，这类问题往往有着数学竞赛题目的味道，其难度是比较大的，适度的放大或缩小，其技巧性是很高的，能够有效地检查考生的分析问题与解决问题的技能. 不用参考答案里的证明方法，你能证明吗？这是数列不等式的证明问题，通性通法是数学归

12、纳法，可以证明吗？完全可以，但运算量大，技巧性比较高，留给读者去完成.猜透了命题人的原始意图，看穿了题目的本质属性，你就会发现，利用n元均值不等式去证明，就太简单了！证明1：所要证明的不等式等价于 . 由n元均值不等式，得 ， ，两式相乘，便得 . （*）注意到 于是，由（*），立即得出 . 证明2：用柯西不等式，便得 即有 . （*）据此，并注意到，便有 即有 . 得证 .在如上的证明里，我们用到的n元平均值不等式和柯西不等式，对于原人教版高中教材而言，不属于课本内容，属于高中数学竞赛的要求. 对于新课标的高中教材，则属于选学的内容，一些省份属于高考的必考知识.需要说明的是，柯西不等式的变形

13、（*），许多参考资料上称为“权方和不等式”，由此不等式，可以证明许许多多的数学竞赛里的不等式，这可以在有关的文献里找到.我们也可以这样去思考：原参考答案是利用第（2）题的结论来证明第（3）题里的不等式的. 笔者的想法是能不能给出直接的证明方法呢？这是可以做到的.证明：用数学归纳法进行证之.(1) 当时，有, 此时不等式成立.(2) 假设时，成立. 那么，当时,.因为函数在上为增函数, 所以 ,所以 ,即 ，所以时也成立，故.其实，将第（1）题求得通项公式代入第（3）题里的不等式，变形，就得如下不等关系：问题2-2：已知函数，对于任意的正整数n，求证： 证明：所证明的不等式等价于 . （1）先证

14、，当时，有 ， （2）这等价于 . （3）用数学归纳法可以证明，事实上， 当时，, 不等式（3）显然成立；假设时，有. 那么，当时， 即时，不等式（3）也成立.综上可知，不等式（3）, 也即不等式（2）成立. 在不等式（2）中，取，得 ，.,叠加，得 故有 成立. 这个证明思维于裂项，但需要对项的起步多点调整的.感觉中，这也是一种比较有趣的证明方法. 2020年高考数学试题的命制趋势应当说，2020年是陕西高考特殊的一年，它是过渡教材的最后一个年份，所以，我依然人为，“稳定”的格局是大前提，要继承我省前3年命题中的一些成功经验，坚持“基本知识、基本技能、基本活动经验和基本思想方法”不动摇。我的

15、一些思考，也许不是那么成熟，仅供大家参考。全国高考大纲是命题的文件，是命题的内容和能力要求，是定义域；课本素材命题的基本依据，是考题编拟的蓝本，是“题根”，是“母题”。其关键是要看如何变化、怎样去编拟、去形成新的考试题；往年的真题是命题的参照系，是“求稳”的标准。当然，其前提，求变，求新是命题人的追求！中央卷（也就是全国卷）是起到领导作用的，其它的地方卷是起参考作用的，而我们省（2020，2020，2020）三年的真题是起到比较大的参考作用的。我们一直思考这样的一个问题，2020年没有考的知识点有哪些？2020年会考吗？怎样去考查？这是也许是比较灵验的！比如：08年解析几何解答题是抛物线的问题

16、，09年还是抛物线吗？不会吧？可能是椭圆？也许，怎样具体的考查，我们还可以继续去深入思考的。又如：课本上数列求和的错位相减法，这是其它省考题的一个“亮点”，陕西09会考吗?也许值得我们思考。命题的一些生长点：课本题目：问题：（教材不等式一章上有这样一道习题） 设，求函数的最大值，并求相应的值.变化1：设，求函数的最大值，并求相应的值.变化2：设，求函数的最大值，并求相应的值.当然，我这是浅层次的变化，可以当作选择填空题的基本原型。看来，你在高考复习的时候，适当地回归课本，把教材的问题做一点点、一点点的变化，如“换元”、改编“数值”、做点变形，让数学课本“活”起来，“新”起来，这样的教学也许就有

17、了味道了，教学的效果也许就会好多了。（2020，15）如图，平面内有三个向量，其中与的夹角为，与的夹角为，且，若，则的值为 资料题目：问题：求证： .思考1：构造函数求导，得所以，函数在区间上是单调递增函数.当时，从而 .思考2：采用换元技巧，令则所要证明的不等式等价于 .这个不等式又等价于 .接下来，构造函数，求导，得 ，所以，函数在区间上是单调递增函数.当时，从而 .这种证明方法的好处是：通过换元，将无理转化为有理，将分式转化为整式，这样，再构造函数，对其求导数，运算的过程就简单多了.思考3：一个思考的问题是，如没有想到构造函数，那怎么去解答呢？其实，接着思考2中的不等式，只要 . 证明不

18、等式的基本方法，那就是做差比较法，具体的操作程序是：做差、变形、判正负. 事实上，.得证. 思考4：不用换元，不用构造函数，也可以直接给出简单的证法. 只要想到三元均值不等式，就可以了. 事实上因为所以 即有 .我们教师的心里，一定要清楚，我们是在追求一题多解吗？我们的复习教学想做什么？为学生提供学习的有效素材，提供解题的“念头”、“想法”，做适度的“点拨”，让学生“开窍”，让学生自动自发地去学习！高考真题：让我们一起来看看函数解答题近三年陕西理科如何考？（2020，22）已知函数f(x)=x3x2+ + , 且存在x0(0, ) ,使f(x0)=x0. （I）证明：f(x)是R上的单调增函数；设x1=0, xn+1=f(xn); y1=, yn+1=f(yn), 其中n=1,2,（II）证明：xnxn+1x0yn+1yn; （III）证明： .（2020，20）设函数，其中为实数（I）若的定义域为，求的取值范围；（II）