2020高三数学四年全国高考真题分类汇编：不等式（最新详解）（通用）

1、2020年普通高等学校招生全国统一考试数学分类汇编第六章不等式一、选择题（共15题）1（安徽卷）不等式的解集是（ ）A B C D解：由得：，即，故选D。2（江苏卷）设a、b、c是互不相等的正数，则下列等式中不恒成立的是（A）（B）（C）（D）【思路点拨】本题主要考查.不等式恒成立的条件，由于给出的是不完全提干，必须结合选择支，才能得出正确的结论。【正确解答】运用排除法，C选项，当a-b0，b0，则不等式ba等价于（ ）Ax0或0x B.x C.x D.x解：故选D4（山东卷）设f(x)= 则不等式f(x)2的解集为(A)（1，2）（3，+） (B)（，+）(C)（1，2） （ ，+） (D)

2、（1，2）解：令2（x2），解得1x2（x2）解得x（，+）选C5(陕西卷)已知不等式(x+y)( + )9对任意正实数x,y恒成立,则正实数a的最小值为( )A.2 B.4 C.6 D.8解析：不等式(x+y)()9对任意正实数x，y恒成立，则9， 2或4(舍去)，所以正实数a的最小值为4，选B6(陕西卷)已知函数f(x)=ax2+2ax+4(0a3),若x1x2,x1+x2=1a,则( )A.f(x1)f(x2) D.f(x1)与f(x2)的大小不能确定解析：函数f(x)=ax2+2ax+4(0a3)，二次函数的图象开口向上，对称轴为，0a3， x1+x2=1a(2，1)，x1与x2的中点

3、在(1，)之间，x1x2， x2到对称轴的距离大于x1到对称轴的距离， f(x1)0),若x1x2 , x1+x2=0 , 则( )A.f(x1)f(x2) D.f(x1)与f(x2)的大小不能确定解析：函数f(x)=ax2+2ax+4(a0)，二次函数的图象开口向上，对称轴为，a0， x1+x2=0，x1与x2的中点为0，x1x2， x2到对称轴的距离大于x1到对称轴的距离， f(x1)0”的(A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件(C)充分必要条件 (D)既不允分也不必要条件解：由“a0，b0”可推出“ab0”，反之不一定成立，选A13(重庆卷)若a,b,c0且a(a+b+c)+bc

4、=4-2,则2a+b+c的最小值为（A）-1 (B) +1 (C) 2+2 (D) 2-2解析：若且 所以， ，则()，选D. 14(重庆卷)若且，则的最小值是（A） （B）3 （C）2 （D）解：（abc）2a2b2c22ab2ac2bc12（bc）212，当且仅当bc时取等号，故选A15（上海春）若，则下列不等式成立的是( ) （A）. （B）. （C）.（D）.解：应用间接排除法取a=1,b=0，排除A. 取a=0,b=-1，排除B; 取c=0，排除D故应该选C显然 ，对不等式ab的两边同时乘以 ，立得 成立二、填空题（共6题）16（江苏卷）不等式的解集为【思路点拨】本题考查对数函数单调

5、性和不等式的解法【正确解答】，0，.解得【解后反思】在数的比较大小过程中,要遵循这样的规律,异中求同即先将这些数的部分因式化成相同的部分,再去比较它们剩余部分,就会很轻易啦.一般在数的比较大小中有如下几种方法：(1)作差比较法和作商比较法,前者和零比较,后者和1比较大小；(2)找中间量,往往是1,在这些数中,有的比1大,有的比1小；,(3)计算所有数的值；(4)选用数形结合的方法,画出相应的图形；(5)利用函数的单调性等等.17(上海卷)三个同学对问题“关于的不等式25|5|在1，12上恒成立，求实数的取值范围”提出各自的解题思路甲说：“只须不等式左边的最小值不小于右边的最大值”乙说：“把不等

6、式变形为左边含变量的函数，右边仅含常数，求函数的最值”丙说：“把不等式两边看成关于的函数，作出函数图像”参考上述解题思路，你认为他们所讨论的问题的正确结论，即的取值范围是 解：由25|5|，而，等号当且仅当时成立；且，等号当且仅当时成立；所以，等号当且仅当时成立；故；18（天津卷）某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则_ 吨解：某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买吨，则需要购买次，运费为4万元/次，一年的总存储费用为万元，一年的总运费与总存储费用之和为万元，160，当即20吨时，一年的总运费与总存储

7、费用之和最小。19.（浙江卷）不等式的解集是。.解：（x1）（x2）0x2.20.（上海春）不等式的解集是 .解：应用结论： 不等式 等价于(1-2x)(x+1)0，也就是 ，所以 ，从而应填 21.（上海春）已知直线过点，且与轴、轴的正半轴分别交于两点，为坐标原点，则三角形面积的最小值为 .解：设直线 l 为 ，则有关系 对 应用元均值不等式，得 ，即ab8 于是，OAB 面积为 从而应填4三、解答题（共1题）22.（湖南卷）对1个单位质量的含污物体进行清洗,清洗前其清洁度(含污物体的清洁度定义为:)为0.8,要求洗完后的清洁度是0.99.有两种方案可供选择,方案甲:一次清洗;方案乙:两次清

8、洗.该物体初次清洗后受残留水等因素影响,其质量变为(1a3).设用单位质量的水初次清洗后的清洁度是(),用质量的水第二次清洗后的清洁度是,其中是该物体初次清洗后的清洁度.()分别求出方案甲以及时方案乙的用水量,并比较哪一种方案用水量较少;()若采用方案乙,当为某定值时,如何安排初次与第二次清洗的用水量,使总用水量最少?并讨论取不同数值时对最少总用水量多少的影响. 解：()设方案甲与方案乙的用水量分别为x与z,由题设有=0.99,解得x=19. 由得方案乙初次用水量为3, 第二次用水量y满足方程: 解得y=4,故z=4+3.即两种方案的用水量分别为19与4+3. 因为当,故方案乙的用水量较少.（

9、II）设初次与第二次清洗的用水量分别为与，类似（I）得，（*）于是+ 当为定值时, 当且仅当时等号成立.此时 将代入（*）式得 故时总用水量最少, 此时第一次与第二次用水量分别为 , 最少总用水量是. 当,故T()是增函数(也可以用二次函数的单调性判断).这说明,随着的值的最少总用水量, 最少总用水量最少总用水量.2020年高考数学试题分类详解不等式一、选择题1、（山东文7）命题“对任意的”的否定是（ ）A不存在B存在C存在D对任意的【答案】C【分析】注意两点：（1）全称命题变为特称命题；（2）只对结论进行否定。2、（全国2理6）不等式:0的解集为(A)( -2, 1)(B) ( 2, +)(

10、C) ( -2, 1)( 2, +)(D) ( -, -2) ( 1, +)解不等式:0， ，原不等式的解集为(-2, 1)(2, +)，选C。3、（全国2文4）下列四个数中最大的是（ ）ABCD解 ， ln(ln2)0，(ln2)2 ln2，而ln=ln2ln2， 最大的数是ln2，选D。4、（全国2文5）不等式的解集是（ ）ABCD解不等式的解集是，选C。5、(安徽文8)设a1,且,则的大小关系为(A) nmp(B) mpn(C) mnp(D) pmn解析：设a1, ，, 的大小关系为mpn，选B。6、(安徽理3)若对任意R,不等式ax恒成立，则实数a的取值范围是(A)a1 (B)1 (C

11、) 1 （D）a1 解析：若对任意R,不等式ax恒成立，当x0时，xax，a1，当x0时，xax，a1，综上得，即实数a的取值范围是1，选B。7、（北京理7）如果正数满足，那么（），且等号成立时的取值唯一，且等号成立时的取值唯一，且等号成立时的取值不唯一，且等号成立时的取值不唯一解析：正数满足， 4=，即，当且仅当a=b=2时，“=”成立；又4=， c+d4，当且仅当c=d=2时，“=”成立；综上得，且等号成立时的取值都为2，选A。8、（上海理13）已知为非零实数，且，则下列命题成立的是A、 B、 C、 D、【答案】C 【解析】若abb2，A不成立；若B不成立；若a=1，b=2，则,所以D不成

12、立 ,故选C。9、（上海文理15）已知是定义域为正整数集的函数，对于定义域内任意的，若 成立，则成立，下列命题成立的是A、若成立，则对于任意，均有成立；B、若成立，则对于任意的，均有成立；C、若成立，则对于任意的，均有成立；D、若成立，则对于任意的，均有成立。【答案】D 【解析】 对A，当k=1或2时，不一定有成立；对B，应有成立；对C，只能得出：对于任意的，均有成立，不能得出：任意的，均有成立；对D，对于任意的，均有成立。故选D。10、（湖南理2）不等式的解集是（ ）ABCD【答案】D 【解析】由得，所以解集为.11、（湖南文1）不等式的解集是 A B. C. D. 【答案】D 【解析】由得

13、x（x-1）0，所以解集为12、（重庆理7）若a是1+2b与1-2b的等比中项，则的最大值为（ ）A. B. C. D.【答案】：B【分析】：a是1+2b与1-2b的等比中项，则 二、填空题1、（山东文14）函数的图象恒过定点，若点在直线上，则的最小值为 【答案】:4【分析】：函数的图象恒过定点，（方法一）：， .（方法二）：2、（山东文15）当时，不等式恒成立，则的取值范围是 【答案】【分析】：构造函数：。由于当时，不等式恒成立。则，即。解得：。3、（广东理14）（不等式选讲选做题）设函数则=_；若，则x的取值范围是_；答案：6；4、（山东理16）函数的图象恒过定点,若点在直线上,其中,则的

14、最小值为_.【答案】: 8。【分析】：函数的图象恒过定点，5、（上海理5）已知，且，则的最大值为【答案】 【解析】 ，当且仅当x=4y=时取等号.6、（浙江理13）不等式的解集是 【答案】：【分析】：7、（重庆理13）若函数f(x) = 的定义域为R，则的取值范围为_.【答案】：【分析】：恒成立，恒成立， 三、解答题1、（湖北理21）（本小题满分14分）已知m，n为正整数.（）用数学归纳法证明：当x-1时，(1+x)m1+mx；（）对于n6，已知，求证，m=1,1,2，n；（）求出满足等式3n+4m+(n+2)m=(n+3)n的所有正整数n.解：（）证：当x=0或m=1时，原不等式中等号显然成

15、立，下用数学归纳法证明：当x-1，且x0时，m2,(1+x)m1+mx. (i)当m=2时，左边1+2x+x2,右边1+2x，因为x0,所以x20，即左边右边，不等式成立；（ii）假设当m=k(k2)时，不等式成立，即（1+x）k1+kx,则当m=k+1时，因为x-1,所以1+x0.又因为x0,k2,所以kx20.于是在不等式（1+x）k1+kx两边同乘以1+x得（1+x）k(1+x)(1+kx)(1+x)=1+(k+1)x+kx21+(k+1)x,所以（1+x）k+11+(k+1)x,即当mk+1时，不等式也成立.综上所述，所证不等式成立.()证：当而由（）， （）解：假设存在正整数成立，即

16、有（）+1.又由（）可得（）+与式矛盾，故当n6时，不存在满足该等式的正整数n.故只需要讨论n=1,2,3,4,5的情形；当n=1时，34，等式不成立；当n=2时，32+4252，等式成立；当n=3时，33+43+5363，等式成立；当n=4时，34+44+54+64为偶数，而74为奇数，故34+44+54+6474,等式不成立；当n=5时，同n=4的情形可分析出，等式不成立.综上，所求的n只有n=2,3.2、(江西理17)（本小题满分12分） 已知函数在区间(0，1)内连续，且 （1）求实数k和c的值； （2）解不等式解：（1）因为，所以，由，即，又因为在处连续，所以，即（2）由（1）得：由

17、得，当时，解得当时，解得，所以的解集为3、（北京文15）（本小题共12分）记关于的不等式的解集为，不等式的解集为（I）若，求；（II）若，求正数的取值范围解：（I）由，得（II）由，得，又，所以，即的取值范围是2020年高考数学试题分类汇编不等式选择题：1.（天津卷8）已知函数，则不等式的解集是A（A） （B） （C） （D）2.（江西卷9）若，则下列代数式中值最大的是AA B C D 3.（陕西卷6）“”是“对任意的正数，”的（ A ）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件4.（浙江卷3）已知，b都是实数，那么“”是“b”的D（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充

18、分条件（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件5.（海南卷6）已知，则使得都成立的取值范围是（ B ）A.（0，） B. （0，）C. （0，） D. （0，）填空题：1.（上海卷）不等式的解集是（0，2）2.（山东卷16）若不等式3x-b4的解集中的整数有且仅有1，2，3，则b的取值范围 。（5，7）.3.（江苏卷11）已知，则的最小值 34.（江西卷14）不等式的解集为 5.（广东卷14）（不等式选讲选做题）已知，若关于的方程有实根，则的取值范围是 2020年高考数学试题分类汇编不等式一、选择题1.（2020安徽卷理）下列选项中，p是q的必要不充分条件的是 （A）p:b+d , q:

19、b且cd （B）p:a1,b1 q:的图像不过第二象限 （C）p: x=1, q: （D）p:a1, q: 在上为增函数 解析：由b且cdb+d，而由b+d b且cd，可举反例。选A2.(2020山东卷理)设x，y满足约束条件 ， 若目标函数z=ax+by（a0，b0）的值是最大值为12，则的最小值为( ). A. B. C. D. 4x 2 2 y O -2 z=ax+by 3x-y-6=0 x-y+2=0 【解析】:不等式表示的平面区域如图所示阴影部分,当直线ax+by= z（a0，b0）过直线x-y+2=0与直线3x-y-6=0的交点（4,6）时,目标函数z=ax+by（a0，b0）取得

20、最大12,即4a+6b=12,即2a+3b=6, 而=,故选A.答案:A【命题立意】:本题综合地考查了线性规划问题和由基本不等式求函数的最值问题.要求能准确地画出不等式表示的平面区域,并且能够求得目标函数的最值,对于形如已知2a+3b=6,求的最小值常用乘积进而用基本不等式解答. . 3.（2020安徽卷理）若不等式组所表示的平面区域被直线分为面积相等的两部分，则的值是 B（A） （B） （C） （D） AxDyCOy=kx+解析：不等式表示的平面区域如图所示阴影部分ABC由得A（1，1），又B（0，4），C（0，）ABC=，设与的交点为D，则由知，选A。 4.（2020安徽卷文）不等式组所表

21、示的平面区域的面积等于A. B. C. D. 【解析】由可得，故阴 =，选C。【答案】C5.（2020安徽卷文）“”是“且”的 A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【解析】易得时必有.若时，则可能有，选A。【答案】A6.（2020四川卷文）已知，为实数，且.则“”是“”的 A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】B . 【解析】显然，充分性不成立.又，若和都成立，则同向不等式相加得 即由“”“”7.（2020四川卷文）某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A原料3吨，B原料

22、2吨；生产每吨乙产品要用A原料1吨，B原料3吨，销售每吨甲产品可获得利润5万元，每吨乙产品可获得利润3万元。该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过13吨，B原料不超过18吨.那么该企业可获得最大利润是 A. 12万元 B. 20万元 C. 25万元 D. 27万元【答案】D（3，4）（0，6）O（，0）913【解析】设生产甲产品吨，生产乙产品吨，则有关系： A原料 B原料甲产品吨 3 2 乙产品吨 3 则有： 目标函数 作出可行域后求出可行域边界上各端点的坐标，经验证知： 当3，5时可获得最大利润为27万元，故选D8.（2020湖南卷文）若，则的最小值为 . 解: ，当且仅当时取等号.9.（2

23、020宁夏海南卷理）设x,y满足（A）有最小值2，最大值3 （B）有最小值2，无最大值（C）有最大值3，无最小值 （D）既无最小值，也无最大值解析：画出可行域可知，当过点（2，0）时，但无最大值。选B.10.（2020宁夏海南卷文）设满足则（A）有最小值2，最大值3 （B）有最小值2，无最大值（C）有最大值3，无最小值 （D）既无最小值，也无最大值. 【答案】B【解析】画出不等式表示的平面区域，如右图，由zxy，得yxz，令z0，画出yx的图象，当它的平行线经过A（2,0）时，z取得最小值，最小值为：z2，无最大值，故选.B11.(2020湖南卷理)已知D是由不等式组，所确定的平面区域，则圆

24、在区域D内的弧长为 BA B C D . 【答案】：B【解析】解析如图示，图中阴影部分所在圆心角所对弧长即为所求，易知图中两直线的斜率分别是，所以圆心角即为两直线的所成夹角，所以，所以，而圆的半径是2，所以弧长是，故选B现。12.（2020天津卷理）设变量x，y满足约束条件：.则目标函数z=2x+3y的最小值为（A）6 （B）7 （C）8 （D）23【考点定位】本小考查简单的线性规划，基础题。解析：画出不等式表示的可行域，如右图，. 让目标函数表示直线在可行域上平移，知在点B自目标函数取到最小值，解方程组得，所以，故选择B。. 13.（2020天津卷理）设若的最小值为 A 8 B 4 C 1

25、D 【考点定位】本小题考查指数式和对数式的互化，以及均值不等式求最值的运用，考查了变通能力。【解析】因为，所以，当且仅当即时“=”成立，故选择C14.（2020天津卷理）,若关于x 的不等式的解集中的整数恰有3个，则（A） （B） （C） （D）【考点定位】本小题考查解一元二次不等式，解析：由题得不等式即，它的解应在两根之间，故有，不等式的解集为或。若不等式的解集为，又由得，故，即 . 15.（2020四川卷理）已知为实数，且。则“”是“”的A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C充要条件 D. 既不充分也不必要条件. 【考点定位】本小题考查不等式的性质、简单逻辑，基础题。（同文7）

26、解析：推不出；但，故选择B。解析2：令，则；由可得，因为，则，所以。故“”是“”的必要而不充分条件。16.（2020四川卷理）某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A原料3吨、B原料2吨；生产每吨乙产品要用A原料1吨、B原料3吨。销售每吨甲产品可获得利润5万元，每吨乙产品可获得利润3万元，该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过13吨，B原料不超过18吨，那么该企业可获得最大利润是 A. 12万元 B. 20万元 C. 25万元 D. 27万元 . 【考点定位】本小题考查简单的线性规划，基础题。（同文10）解析：设甲、乙种两种产品各需生产、吨，可使利润最大，故本题即已知约束条件，求目标

27、函数的最大值，可求出最优解为，故，故选择D。17.（2020福建卷文）在平面直角坐标系中，若不等式组（为常数）所表示的平面区域内的面积等于2，则的值为A. -5 B. 1 C. 2 D. 3 解析解析 如图可得黄色即为满足的直线恒过（0，1），故看作直线绕点（0，1）旋转，当a=-5时，则可行域不是一个封闭区域，当a=1时，面积是1；a=2时，面积是；当a=3时，面积恰好为2，故选D.18.（2020重庆卷理）不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围为（ ）AB. C D【答案】A【解析】因为对任意x恒成立，所以19.（2020重庆卷文）已知，则的最小值是（ ）A2BC4D5【答案】C解析因为

28、当且仅当，且，即时，取“=”号。 . 二、填空题1.（2020浙江理）若实数满足不等式组则的最小值是 . 答案：4 【解析】通过画出其线性规划，可知直线过点时，2.（2020浙江卷文）若实数满足不等式组则的最小值是 . 【命题意图】此题主要是考查了线性规划中的最值问题，此题的考查既体现了正确画线性区域的要求，也体现了线性目标函数最值求解的要求【解析】通过画出其线性规划，可知直线过点时，3.（2020北京文）若实数满足则的最大值为 .【答案】9【解析】.s.5.u本题主要考查线性规划方面的基础知. 属于基础知识、基本运算的考查. . 如图，当时，为最大值. . 故应填9.4.（2020北京卷理）

29、若实数满足则的最小值为_.【答案】 . 【解析】本题主要考查线性规划方面的基础知. 属于基础知识、基本运算的考查. 如图，当时，. 为最小值.故应填.5.(2020山东卷理)不等式的解集为 . . 【解析】:原不等式等价于不等式组或或不等式组无解,由得,由得,综上得,所以原不等式的解集为. 答案: 【命题立意】:本题考查了含有多个绝对值号的不等式的解法,需要根据绝对值的定义分段去掉绝对值号,最后把各种情况综合得出答案.本题涉及到分类讨论的数学思想.6.(2020山东卷文)某公司租赁甲、乙两种设备生产A,B两类产品,甲种设备每天能生产A类产品5件和B类产品10件,乙种设备每天能生产A类产品6件和

30、B类产品20件.已知设备甲每天的租赁费为200元,设备乙每天的租赁费为300元,现该公司至少要生产A类产品50件,B类产品140件,所需租赁费最少为_元. . 【解析】:设甲种设备需要生产天, 乙种设备需要生产天, 该公司所需租赁费为元,则，甲、乙两种设备生产A,B两类产品的情况为下表所示: 产品 设备 A类产品 (件)(50) B类产品 (件)(140) 租赁费 (元) 甲设备 5 10 200 乙设备 6 20 300 则满足的关系为即:, . 作出不等式表示的平面区域,当对应的直线过两直线的交点(4,5)时，目标函数取得最低为2300元. . 答案:2300【命题立意】:本题是线性规划的实际应用问题,需要通过审题理解题意,找出各量之间的关系,最好是列成表格,找出线性约束条件,写出所研究的目标函数,通过数形结合解答问题. 7.（2020年上海卷理）若行列式中，元素4的代数余子式大于0，则x满足的条件是_ . 【答案】 【解析】依题意，得： (-1)2(9x-24)0，解得：