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文档简介

1、第五章,定积分及其应用,5-1 定积分的概念,主要内容: 1.定积分的概念 2、定积分存在定理 3、定积分的几何意义 4.定积分的性质,5-1 定积分的概念,实例1 （求曲边梯形的面积）,一、问题的提出,用矩形面积近似取代曲边梯形面积,显然，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯形面积,（四个小矩形）,（九个小矩形）,曲边梯形如图所示，下面分四个步骤求A,A,(3)求和：曲边梯形面积的近似值为,曲边梯形面积为:,以上做法的步骤: 分割、替代、求和、取极限.,实例2 （求变速直线运动的路程）,思路：把整段时间分割成若干小段，每小段上速度看作不变，求出各小段的路程再相加，便得到路程的近似值，最后通过对

2、时间的无限细分过程求得路程的精确值,（1）分割,（3）求和,（4）取极限,路程的精确值,（2）替代,二、定积分的概念,定义,记为,积分上限,积分下限,积分和,注意：,(4),是一个确定的常数.,定理1,定理3 闭区间上的有界单调函数可积.,以上定理的证明省略,只要求记住结论.,二、定积分存在定理,例1 利用定义计算定积分,解,为了方便，,例2 利用定义计算定积分,解,曲边梯形的面积,曲边梯形的面积的负值,三、定积分的几何意义,的几何意义：,即,例1 利用定义计算定积分,例2 利用定义计算定积分,小结,定积分的实质：特殊和式的极限,定积分的思想和方法：,求近似以直（不变）代曲（变）,取极限,对定

3、积分的补充规定:,说明,在下面的性质中，假定定积分都存在，且不考虑积分上下限的大小,一、基本内容,四.定积分的性质,证,（此性质可以推广到有限多个函数作和的情况）,性质1,证,性质2,性质1.2称为定积分的线性性质.,补充：不论 的相对位置如何, 上式总成立.,例 若,（定积分对于积分区间具有可加性）,则,性质3,c,证,性质4,性质5,性质5的推论：,证,（1）,解,于是,证,性质5的推论：,（2）,证,（此性质可用于估计积分值的大致范围）,性质6,m,M,解,证,由闭区间上连续函数的介值定理知,性质7（定积分中值定理）,积分中值公式,使,即,积分中值公式的几何解释：,例3 已知,，计算,解,因为,解,例4 比较下列各对定积分地大小：,解,例5 估计定积分,解,3定积分的性质,

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