全国中考数学压轴题分类解析汇编专题 函数问题

1、20XX 年全国中考数学压轴题分类解析汇编专题 2:函数问题 20XX20XX 年全国中考数学年全国中考数学 100 套压轴题分类解析汇编压轴题分类解析汇编 专题 2 函 数问题 1. 2012 安徽省 14 分如图排球运动员站在点 O 处练 习发球将球从 O 点正上方 2m 的 A 处发出把球看成点其运行 的高度ym与运行的水平距离xm满足关系式yax-62h.已知球 网与 O 点的水平距离为 9m 高度为 2.43m 球场的边界距 O 点 的水平距离为 18m。 1 当 h2.6 时求 y 与 x 的关系式不要求 写出自变量 x 的取值范围 2 当 h2.6 时球能否越过球网球会 不会出界

2、请说明理由 3 若球一定能越过球网又不出边界求 h 的取值范围。 【答案】解 1 把 x0y 及 h2.6 代入到 yax-62h 即 2a0622.61a60 当 h2.6 时 y 与 x 的关系式为 y 160 x622.6 2 当 h2.6 时 y 160 x622.6 当 x9 时 y160 9622.62.452.43球能越过网。 当 y0 时即 160 18x22.60 解 得 x615618球会过界。3 把 x0y2 代入到 yax-62h 得 2ha36。 x9 时 y2h36 962h23h42.43 x18 时 y2h36 1862hh380 由 解得 h83。 若球一定能

3、越过球网又不出边界 h 的取值范围为 h83。【考点】 二次函数的性质和应用。【分 析】1 利用 h2.6 将 02 点代入解析式求出即可。 2 利用 h2.6 当 x9 时 y160 9622.62.45 与球网高度比较当 y0 时解出 x 值与 球场的边界距离比较即可得出结论。 3 根据球经过点 02 点 得到 a 与 h 的关系式。由 x9 时球一定能越过球网得到 y2.43 由 x18 时球不出边界得到 y0。分别得出 h 的取值范围即可 得出答案。 2. 2012 宁夏区 10 分某超市销售一种新鲜“酸奶” 此“酸奶”以每瓶 3 元购进 5 元售出.这种“酸奶”的保质期不超 过一天对

4、当天未售出的“酸奶”必须全部做销毁处理. 1 该超 市某一天购进 20 瓶酸奶进行销售.若设售出酸奶的瓶数为 x 瓶销售酸奶的利润为 y 元写出这一天销售酸奶的利润 y 元与 售出的瓶数 x 瓶之间的函数关系式。 为确保超市在销售这 20 瓶酸奶时不亏本当天至少应售出多少瓶 2 小明在社会调查 活动中了解到近 10 天当中该超市每天购进酸奶 20 瓶的销售 情况统计如下 每天售出瓶数 17 18 19 20 频数 1 2 2 5 根 据上表求该超市这 10 天每天销售酸奶的利润的平均数 3 小 明根据 2 中 10 天酸奶的销售情况统计计算得出在近 10 天当 中其实每天购进19瓶总获利要比每

5、天购进20瓶总获利还多. 你认为小明的说法有道理吗试通过计算说明. 【答案】解 1 由题意知这一天销售酸奶的利润 y 元与售出的瓶数 x 瓶之间 的函数关系式 为 y5x60 当 5x600 时 x12 当天至少应售 出 12 瓶酸奶超市才不亏本。 2 在这 10 天当中利润为 25 元 的有 1 天 30 元的有 2 天 35 元的有 2 天 40 元的有 5 天 这 10 天中每天销售酸奶的利润的平均数为 253023524051035.5 。3 小明说的有道理。 理由如下 在这 10 天当中每天购进 20 瓶获利共计 355 元. 而每天购进 19 瓶销售酸奶的利润 y元与售出的瓶数 x

6、瓶之间的函数关系 式为 y5x57 在 10 天当中利润为 28 元的有 1 天 33 元的有 2 天 38 元的有 7 天 总获利为 28332387360gt355 。 小明 说的有道理。 【考点】一次函数的应用。 【分析】1 根据 此“酸奶”以每瓶3元购进5元售出该超市某一天购进 20瓶酸 奶进行销售即可得出 y 与 x 的函数关系式再利用 y 大于 0 得 出 x 的取值范围。 2 根据频数分布表得出总数从而得出平均 数即可。 3 利用每天购进 19 瓶销售酸奶的利润 y 元与售出 的瓶数 x 瓶之间的函数关系式得出在 10 天当中利润为 28 元 的有 1 天 33 元的有 2 天

7、8 元的有 7 天从而得出总利润比较 即可得出答案。 3. 2012 上海市 12 分如图在平面直角坐标系 中二次函数 yax26xc 的图象经过点 A40、B10 与 y 轴交于点 C 点 D 在线段 OC 上 ODt 点 E 在第二象限ADE90tan DAE12EFOD 垂足为 F 1 求这个二次函数的解析式 2 求线 段 EF、 OF 的长用含 t 的代数式表示 3 当ECAOAC 时求 t 的值 【答案】解 1 二次函数 yax26xc 的图象经过点 A40、 B10 16a24c0a6c0 解得 a2c8。这个二次函数的解析式为 y2x26x8。 2EFDEDA90DEFEDF90

8、EDF ODA90。DEFODA。 EDFDAO。 EFEDDODA。 ED1tanDAEDA2EF1DO2。 ODt EF1t2EF1t2。 同理 DFEDOADADF2OFt2。 3抛物 线的解析式为 y2x26x8C08OC8。 如图连接 EC、AC 过 A 作EC的垂线交CE于G点 ECAOACOACGCA 等角的余角相等。 在CAG 与OCA 中 OAC GCAACCAECAOAC CAGOCAASA。 CGAO4AGOC8。 如图过 E 点作 EMx 轴于点 M 则在 Rt AEM 中 EMOFt2AMOAAMOAEF41t2 由勾股定理得 222221AEAMEM4tt22。 在

9、 RtAEG 中由勾股定理得 22222215EGAEAD4tt28t4424。 在 RtECF 中 EF1t2CFOCOF10tCECGEG425t444 由勾股定理得 EF2CF2CE2 即 222215t10t4t4424。 解得 t110 不合题意舍去 t26。 t6。 【考点】二次函数综合题曲线上点的坐标与方 程的关系相似三角形的判定和性质锐角三角函数定义全等 三角形的判定和性质勾股定理。 【分析】1 已知点 A、B 坐 标用待定系数法求抛物线解析式即可。 2 先证明EDF DAO 然后利用相似三角形对应边的比例关系以及三角形函 数的定义求 解。 3 通过作辅助线构造一对全等三角形

10、CAGOCA 得到 CG、AG 的长度然后利用勾股定理求得 AE、EG 的长度用含 t 的代数式表示最后在 RtECF 中利用 勾股定理得到关于 t 的无理方程解方程求出 t 的值。 4. 2012 天津市 10 分已知抛物线 yax2bxc02ab 的顶点为 Px0y0 点 A1yA、B0yB、C1yC 在该抛物线上 当 a1b4c10 时求顶 点 P 的坐标求 ABCyyy-的值 当 y00恒成立时求 ABCyyy 的最小值 【答案】解若 a1b4c10 此时抛物线的解 析式为 yx24x10。 yx24x10 x226抛物线的顶点坐标为 P26。 点 A1yA、B0yB、C1yC 在抛物

11、线 yx24x10 上 yA15yB10yC7。ABCy155yy107。 由 02ab 得 0bx12alt。 由题意如图过点 A 作 AA1x 轴于点 A1 则 AA1yAOA11。 连接 BC 过点 C 作 CDy 轴于点 D 则 BDyByCCD1。 过点 A 作 AFBC 交抛物线于点 Ex1yE 交 x 轴于点 Fx20。 则 FAA1CBD。RtAFA1RtBCD。 11AAFABDCD 即 221xyA 1xyByC 1。 过点 E 作 EGAA1 于点 G 易得 AEGBCD。 AGEGBDCD 即 AE1BCyy 1xyy。 点 A1yA、B0yB、C1yC、Ex1yE 在

12、抛物线 yax2bxc 上 yAabcyBcyCabcyEax12bx1c 211abcaxbxc1x1cabc 化简得 x12x120 解得 x12x11 舍去。 y00 恒成立根据题意有 x2x11。 则 1x21x1 即 1x23。 yA yByC 的最小值为 3。 【考点】二次函数综合题二次函数的性质曲线上点的坐标与 方程的关系相似三角形的判定和性质。 【分析】 将 a1b4c10 代入解析式即可得到二次函数解析式。 将二次函数化为 顶点式即可得到得到抛物线顶点坐标。 将 A1yA、B0yB、 C1yC 分别代入解析式即可求出 yA、yB、yC 的值然后计算 ABCyyy 的值即可。

13、根据 02ab 求出 0bx12alt 作出图中辅 助线点 A 作 AA1x 轴于点 A1 则 AA1yAOA11 连接 BC 过 点 C 作 CDy 轴于点 D 则 BDyByCCD1 过点 A 作 AFBC 交抛物线于点 Ex1yE 交 x 轴于点 Fx20。 证出 RtAFA1Rt BCD 得到 221xyA 1xyByC 1 再根据AEGBCD 得到 AE1BCyy 1xyy 然后求出 yA、 yB、 yC、 yE 的表达式然后 y00 恒成立得到 x2x11 从而利用不等式求出 ABCyyy 的最小 值。 5. 2012 重庆市 10 分企业的污水处理有两种方式一种是 输送到污水厂进

14、行集中处理另一种是通过企业的自身设备 进行处理某企业去年每月的污水量均为 12000 吨由于污水厂 处于调试阶段污水处理能力有限该企业投资自建设备处理 污水两种处理方式同时进 行 1 至 6 月该企业向污水厂输送 的污水量 y1 吨与月份 x1x6 且 x 取整数之间满足的函数关 系如下表 7 至 12 月该企业自身处理的污水量 y2 吨与月份 x7x12 且 x 取整数之间满足二次函数关系式为 y2ax2ca0 其图象如图所示1至6月污水厂处理每吨污水的费用z1元与 月份 x 之间满足函数关系式 11zx2 该企业自身处理每吨污水 的费用 z2 元与月份 x 之间满足函数关系式 2231z

15、x x4127 至 12月污水厂处理每吨污水的费用均为2元该企业自身处理每 吨污水的费用均为 1.5 元 1 请观察题中的表格和图象用所学 过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识分别直接 写出 y1y2 与 x 之间的函数关系式 2 请你求出该企业去年哪 个月用于污水处理的费用 W 元最多并求出这个最多费用 3 今年以来由于自建污水处理设备的全面运行该企业决定扩 大产能并将所有污水全部自身处理估计扩大产能后今年每 月的污水量都将在去年每月的基础上增加 a 同时每吨污水处 理的费用将在去年12月份的基础上增加a30为鼓励节能降耗 减轻企业负担财政对企业处理污水的费用进行 50 的补助若 该

16、企业每月的污水处理费用为 18000 元请计算出 a 的整数值 参考数据15.220.528.4 【答案】 解 1 根据表格中数据可以 得出 xy 定值 则 y1 与 x 之间的函数关系为反比例函数关系 1kyx。 将 112000 代入得 k11200012000 112000yx1x6 且 x 取整数。 根据图象可以得出图象过 7100491210144 点 代入 y2ax2c 得 49ac10049144ac10144 解得 a1c10000。 y2x2100007x12 且 x 取整数。 2 当 1x6 且 x 取整数时 2111212000 11200031Wyz12000yz x1

17、2000 x xx2x412 1000 x210000 x30001000 x522200。a10000 1x6当 x5 时 W 最大 22000 元。 当 7x12 时且 x 取整数时 W212000y11.5y2212000 x2100001.5x21000012x21900。 a120 对称轴为 x0 当 7x12 时 W 随 x 的增大而减小 当 x7 时 W 最大 18975.5 元。 2200018975.5 去年 5 月用于 污水处理的费用最多最多费用是 22000 元。 3 由题意得 120001a1.51a3015018000 设 ta 整理得 10t217t130 解得 1

18、7809t20。 80928.4t10.57t22.27 舍去。 a57。 答 a 整数值是 57。【考点】二次函数的应用待定系数法曲线上 点的坐标与方程的关系二次函数的性质解一元二次方程。 【分析】1 利用表格中数据可以得出 xy 定值则 y1 与 x 之间 的函数关系为反比例函数关系求出即可。再利用函数图象得 出图象过 7100491210144 点求出二次函数解析式即可。 2 利 用当 1x6 时以及当 7x12 时分别求出处理污水的费用即 可得出答案。 3 利用今年每月的污水量都将在去年每月的基 础上增加a同时每吨污水处理的费用将在去年12月份的基础 上增加 a 一 30 得出等式 1

19、20001a1.51a-301-5018000 进而 求出即可。 6. 2012 福建莆田 14 分 如图在平面直角坐标系 中矩形 OABC 四个顶点的坐标分别为 O00A03B63C60 抛物 线 2yaxbxca0 过点 A。 12 分求 c 的值 26 分若 al 且抛物线 与矩形有且只有三个交点 A、D、E 求ADE 的面积 S 的最 大值 36 分若抛物线与矩形有且只有三个交点 A、M、N 线 段 MN 的垂直平分线 l 过点 O 交线段 BC 于点 F。 当 BF1 时 求抛物线的解析式 【答案】解1抛物线 2yaxbxc 过点 A03 c3。 2 al2yxbx3 如图当抛物线与

20、矩形的两个交点 D、E 分别在 AB、OC 边上时 抛物线与直线 x6 的交点应落 在 C 点或 C 点下方。 当 x6 时 y0。 266b30 即 11b2。 又对称轴在 y 轴右侧b0。011b2。 由抛物线的对称性 可知 bbAD22b2a21。 又ADE 的高 BC3S12b33b2。 320S 随 b 的增大而增大。 当 b112 时 S 的最大值 31133224。 如图当抛物线与矩形的两个交点 D、E 分别在 AB、BC 边上时抛物线与直线 x6 的交点应落在线段 BC 上 且不与点 B 重合即 0Ey3。 当 x6 则 2y66b36b33 06b333112b6。 BE36

21、b33366b。 S12ADBE12b366b3b218b。 对称轴 b3112随 b 的增 大而减小。 当 b112 时 S 的最大值 334。 综上所述 S 的最 大值为 334。 3 当 a0 时符合题意要求的抛物线不存在。 当 a0 时符合题意要求的抛物线有两种情况 当点 M、N 分别 在 AB、OC 边上时 如图过 M 点作 MGOC 于点 G 连接 OM MGOA32MNO90。 OF 垂直平分 MN OMON1MNO9012。 FB1FC312。 tan 1FC21OC63tan2GNGMtan113。 GN13GM1。 设 Nn0 则 Gn10Mn13。 AMn1ONn OM。

22、 在 RtAOM 中 222OMOAAM 222n3n1 解得n5。 M43N50。把M43N50 分别代入 2yaxby3 得 316a4b3025a5b3 解得 3a512b5。 抛 物线的解析式为 2312yxx355。 当点 M、N 分别在 AB、 BC 边上时如图连接 MF OF 垂直平分 MN 1 NFO90MFFN。又0CB902CFO90。12。 BF1 FC2。tan1tan2FC21OC63。在 RtMBNtan 1MB1BN3BN3MB。 设 N6n 则 FN2nBN3 一 n。 MF2nMB3n11n33。 在 RtMBF 中222MFMBFB 22212n1n13。

23、解得 123nn34 不合题意舍去3BM4。 AM631544 M1543N634 。 把 M1543N634 分别代人 2yaxby3 得 221213ab344336a6b34 解得 1a221b8 。 抛物 线的解析式为 2121yxx328。 综上所述抛物线的解析式为 2312yxx355 或 2121yxx328。 【考点】二次函数综合题曲线 上点的坐标与方程的关系二次函数的性质矩形的性质锐角 三角函数定义勾股定理解二元一次方程组。 【分析】1 将点 A 的坐标代入 2yaxbxc 即可求得 c 的值。 2 分抛物线与矩形 的两个交点 D、E 分别在 AB、OC 边上和抛物线与矩形的

24、两 个交点 D、E 分别在 AB、BC 边两种情况应用二次函数性质 分别求解。 3 分抛物线与矩形的两个交点 D、E 分别在 AB、 OC 边上和抛物线与矩形的两个交点 D、E 分别在 AB、BC 边两种情况应用待定系数法分别求解。 7. 2012 福建厦门 12 分已知点 A1c 和点 B 3d 是直线 yk1xb 与双曲线 yk2x k20 的 交 点 1 过点 A 作 AMx 轴垂足为 M 连结 BM 若 AMBM 求点 B 的坐标 2 设点 P 在线段 AB 上过点 P 作 PEx 轴垂 足为 E 并交双曲线 yk2x k20 于点 N 当 PNNE 取最大值时若 PN 12 求此时双

25、曲线的解析式 【答案】1 解点 A1c 和点 B 3d 在双曲线 yk2x k20 上 ck23d 。 k20 c0d0。 A1c 和点 B 3d 都在第一象限。 AM3d。 过点 B 作 BTAM 垂足为 T。 BT2TMd。 AMBM BM3d。 在 RtBTM 中 TM 2BT2BM2 即 d249d2 d22。 点 B322。 2 点 A1c、B3d 是直线 yk1xb 与双曲线 yk2x k20 的交点 ck23dk2ck1bd3k1b。 k113k2b43k2。 A1c 和点 B 3d 都在第一象限 点 P 在第一象限。设 Pxk1xb PENEk1xbk2x k1k2x2bk2x

26、13x243x。 214x233 当 x13 时 PENE1 又当 x2 时 PENE 的最大值是 43。1PENE43.。 PENE。 PNNEPENE1211x233。 当 x2 时 PNNE 的 最大值是 13。 由题意此时 PN12 NE32。 点 N232 。 k23。 此时双曲线的解析式为 y3x。 【考点】反比例函数 综合题曲线上点的坐标与方程的关系勾股定理二次函数的 最值。 【分析】1 过点 B 作 BTAM 由点 A1c 和点 B3d 都 在双曲线yk2x k20上得到c3d则A点坐标为13d在RtBTM 中应用勾股定理即可计算出 d 的值即可确定 B 点坐标。 2Pxk1x

27、b 求出 PNNE 关于 x 的二次函数应用二次函数的最值 即可求得 PNNE 的最大值此时根据 PN12 求得 NE32 从而得 到 N232 代入 yk2x 即可求得 k23。 因此求得反比例函数的解 析式为 y3x。 8. 2012 甘肃兰州 10 分若 x1、x2 是关于一元 二次方程 ax2bxca0 的两个根则方程的两个根 x1、 x2 和系数 a、b、c 有如下关系 x1x2bax161x2ca 把它称为一元二次 方程根与系数关系定理如果设二次函数 yax2bxca0 的图象 与 x 轴的两个交点为 Ax10Bx20 利用根与系数关系定理可以 得到 A、B 连个交点间的距离为 ABx1x222212122b4cb4acxx