2020高考数学 课后作业 7-4 数学归纳法 理 新人教A版（通用）

1、2020高考数学人教A版课后作业1.(2020广东中山模拟)用数学归纳法证明11)时，第一步应验证不等式()A12 B12C13 D11，n取的第一个数为2，左端分母最大的项为，故选B.2对于不等式n1(nN*)，某人的证明过程如下：1当n1时，11，不等式成立. 2假设nk(kN*)时不等式成立，即k1，则nk1时，(k1)1.当nk1时，不等式成立. 上述证法()A过程全都正确Bn1验得不正确C归纳假设不正确D从nk到nk1的推理不正确答案D解析上述证明过程中，在由nk变化到nk1时，不等式的证明使用的是放缩法而没有使用归纳假设故选D.3某个命题与自然数n有关，若nk(kN*)时命题成立，

2、则可推得当nk1时该命题也成立，现已知n5时，该命题不成立，那么可以推得()An6时该命题不成立 Bn6时该命题成立Cn4时该命题不成立 Dn4时该命题成立答案C解析“若nk(kN*)时命题成立，则当nk1时，该命题也成立”，故若n4时命题成立，则n5时命题也应成立，现已知n5时，命题不成立，故n4时，命题也不成立点评可用逆否法判断4在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为n(n3)条时，第一步检验第一个值n0等于()A1B2C3D4答案C解析因为凸n边形的边数最少为3，故验证的第一个值n03.5已知Sk(k1,2,3，)，则Sk1等于()ASk BSkCSk DSk答案C解析Sk1Sk.6(2

3、020厦门月考)用数学归纳法证明：“(n1)(n2)(nn)2n13(2n1)”，从“nk到nk1”左端需增乘的代数式为()A2k1 B2(2k1)C. D.答案B解析nk时，左端为(k1)(k2)(kk)；nk1时，左端为(k1)1(k1)2(k1)(k1)(k2)(k3)(kk)(kk1)(kk2)2(k1)(k2)(k3)(kk)(2k1)，故左端增加了2(2k1)7(2020吉林市检测、浙江金华十校联考)观察下列式子：1，1，1，则可以猜想：当n2时，有_答案1n21对于nn0的正整数n都成立，则n0的最小值为_答案5解析当n1时，22不成立，当n2时，45不成立当n3时，810不成立

4、当n4时，1617不成立当n5时，3226成立当n6时，6437成立，由此猜测n0应取5.1.观察下式：1322135321357421357952据此你可归纳猜想出的一般结论为()A135(2n1)n2(nN*)B135(2n1)n2(nN*)C135(2n1)(n1)2(nN*)D135(2n1)(n1)2(nN*)答案D解析观察可见第n行左边有n1个奇数，右边是(n1)2，故选D.2(2020天津滨海新区五校)若f(x)f1(x)，fn(x)fn1f(x)(n2，nN*)，则f(1)f(2)f(n)f1(1)f2(1)fn(1)()An B.C. D1答案A解析易知f(1)，f(2)，f

5、(3)，f(n)；由fn(x)fn1(f(x)得，f2(x)，f3(x)，fn(x)，从而f1(1)，f2(1)，f3(1)，fn(1)，所以f(n)fn(1)1，故f(1)f(2)f(n)f1(1)f2(1)fn(1)n.3.如图，一条螺旋线是用以下方法画成的：ABC是边长为1的正三角形，曲线CA1、A1A2，A2A3是分别以A、B、C为圆心，AC、BA1、CA2为半径画的圆弧，曲线CA1A2A3称为螺旋线旋转一圈然后又以A为圆心，AA3为半径画圆弧这样画到第n圈，则所得螺旋线的长度ln为()A(3n2n) B(3n2n1)C. D.答案A解析由条件知，对应的中心角都是，且半径依次为1,2,

6、3,4，故弧长依次为，2，3，据题意，第一圈长度为(123)，第二圈长度为(456)，第n圈长度为(3n2)(3n1)3n，故Ln(1233n)(3n2n).4在一次珠宝展览会上，某商家展出一套珠宝首饰，第一件首饰是1颗珠宝，第二件首饰由6颗珠宝(图中圆圈表示珠宝)构成如图1所示的正六边形，第三件首饰由15颗珠宝构成如图2所示的正六边形，第四件首饰是由28颗珠宝构成如图3所示的正六边形，第五件首饰是由45颗珠宝构成如图4所示的正六边形，以后每件首饰都在前一件上，按照这种规律增加一定数量的珠宝，使它构成更大的正六边形，依此推断前10件首饰所用珠宝总颗数为()A190 B715 C725 D385

7、答案B解析由条件可知前5件首饰的珠宝数依次为：1,15,159,15913,1591317，即每件首饰的珠宝数为一个以1为首项，4为公差的等差数列的前n项和，通项an4n3.由此可归纳出第n件首饰的珠宝数为2n2n.则前n件首饰所用的珠宝总数为2(1222n2)(12n).当n10时，总数为715.5(2020南京调研)已知：(x1)na0a1(x1)a2(x1)2a3(x1)3an(x1)n(n2，nN*)(1)当n5时，求a0a1a2a3a4a5的值(2)设bn，Tnb2b3b4bn.试用数学归纳法证明：当n2时，Tn.解析(1)当n5时，原等式变为(x1)5a0a1(x1)a2(x1)2

8、a3(x1)3a4(x1)4a5(x1)5令x2得a0a1a2a3a4a535243.(2)因为(x1)n2(x1)n，所以a2C2n2bn2Cn(n1)(n2)当n2时左边T2b22，右边2，左边右边，等式成立假设当nk(k2，kN*)时，等式成立，即Tk成立那么，当nk1时，左边Tkbk1(k1)(k1)1k(k1)k(k1)右边故当nk1时，等式成立综上，当n2时，Tn.6已知正项数列an中，对于一切的nN*均有aanan1成立(1)证明：数列an中的任意一项都小于1；(2)探究an与的大小，并证明你的结论解析(1)由aanan1得an1ana.在数列an中an0，an10，ana0，0

9、an1，故数列an中的任何一项都小于1.(2)解法1：由(1)知0an1，那么a2a1a2，由此猜想：an.下面用数学归纳法证明：当n2，nN时猜想正确当n2时，显然成立；假设当nk(k2，kN)时，有ak成立那么ak1aka22，当nk1时，猜想也正确综上所述，对于一切nN*，都有an.解法2：由aanan1，得0ak1akaak(1ak)，0ak1.令k1,2,3，n1得：1，1，1，n1n，an0)，f(an1)g(an)，证明：存在常数M，使得对于任意的nN*，都有anM.解析(1)由h(x)x3x知，x0，)，而h(0)0，且h(1)10，则x0为h(x)的一个零点，且h(x)在(1

10、,2)内有零点因此h(x)至少有两个零点解法1：h(x)3x21x，记(x)3x21x，则(x)6xx.当x(0，)时，(x)0，因此(x)在(0，)上单调递增，则(x)在(0，)内至多只有一个零点又因为(1)0，()0，则(x)在(，1)内有零点，所以(x)在(0，)内有且只有一个零点记此零点为x1，则当x(0，x1)时，(x)(x1)0.所以当x(0，x1)时，h(x)单调递减，而h(0)0，则h(x)在(0，x1内无零点；当x(x1，)时，h(x)单调递增，则h(x)在(x1，)内至多只有一个零点，从而h(x)在(0，)内至多只有一个零点综上所述，h(x)有且只有两个零点解法2：由h(x

11、)x(x21x)，记(x)x21x，则(x)2xx.当x(0，)时，(x)0，从而(x)在(0，)上单调递增，则(x)在(0，)内至多只有一个零点因此h(x)在(0，)内也至多只有一个零点综上所述，h(x)有且只有两个零点(2)记h(x)的正零点为x0，即xx0.当ax0时，由a1a，即a1x0.而aa1x0x，因此a2x0，由此猜测：anx0，下面用数学归纳法证明a当n1时，a1x0显然成立b假设当nk(k1)时，akx0成立，则当nk1时，由aakx0x知，ak1x0.因此，当nk1时，ak1x0成立故对任意的nN*，an1，求证：1.解析(1)当n2时，不等式左边1右边(2)假设nk(k

12、1，kN*)时，不等式成立，即1，那么当nk1时，有1.所以当nk1时，不等式也成立由(1)(2)可知对任何nN*，n1，1均成立3设数列an的前n项和为Sn，对一切nN*，点都在函数f(x)x的图象上(1)求a1，a2，a3的值，猜想an的表达式，并用数学归纳法证明；(2)将数列an依次按1项、2项、3项、4项循环地分为(a1)，(a2，a3)，(a4，a5，a6)，(a7，a8，a9，a10)；(a11)，(a12，a13)，(a14，a15，a16)，(a17，a18，a19，a20)；(a21)，分别计算各个括号内各数之和，设由这些和按原来括号的前后顺序构成的数列为bn，求b5b100

13、的值分析(1)将点代入函数f(x)x中，通过整理得到Sn与an的关系，则a1，a2，a3可求；(2)通过观察发现b100是第25组中第4个括号内各数之和，各组第4个括号中各数之和构成首项为68、公差为80的等差数列，利用等差数列求和公式可求b100.解析(1)点在函数f(x)x的图象上，n，Snn2an.令n1得，a11a1，a12；令n2得，a1a24a2，a24；令n3得，a1a2a39a3，a36.由此猜想：an2n.用数学归纳法证明如下：当n1时，由上面的求解知，猜想成立假设nk(k1)时猜想成立，即ak2k成立，则当nk1时，注意到Snn2an(nN*)，故Sk1(k1)2ak1，S

14、kk2ak.两式相减得，ak12k1ak1ak，所以ak14k2ak.由归纳假设得，ak2k，故ak14k2ak4k22k2(k1)这说明nk1时，猜想也成立由知，对一切nN*，an2n成立(2)因为an2n(nN*)，所以数列an依次按1项、2项、3项、4项循环地分为(2)，(4,6)，(8,10,12)，(14,16,18,20)；(22)，(24,26)，(28,30,32)，(34,36,38,40)；(42)，.每一次循环记为一组由于每一个循环含有4个括号，故b100是第25组中第4个括号内各数之和由分组规律知，各组第4个括号中所有第1个数组成的数列是等差数列，且公差为20.同理，由各组第4个括号中所有第2个数、所有第3