2020高考数学第一轮复习单元讲座 等比数列（通用）

1、2020年高考数学第一轮复习单元讲座几何级数1.课程标准要求：1.通过例子理解几何级数的概念；2.探索和掌握算术级数的通式和前N项之和的公式；3.在具体的问题情境中，我们可以找到数列的等比关系，并用相关知识解决相应的问题。理解几何级数和指数函数之间的关系。二。命题趋势几何级数和算术级数在高考中也占有重要地位，是高考的重点。客观测验考查基本知识和基本性质的灵活应用，如几何级数的概念、性质、通项公式、求和公式等。对基本操作有很高的要求，大多数解决方案都基于序列知识。预计2008年高考对本次讲座的调查将是：(1) 12个以几何级数公式和灵活运用性质为主要问题的客观题；(2)几何级数的实际应用问题或知

2、识交叉问题的答案也是重点；(3)解决问题时要注意运用数学思想，如逆向思维、函数和方程、归纳猜想、等价变换、分类讨论等。这将能够灵活地考查考生运用数学知识分析和解决问题的能力。三。亮点1.几何级数定义一般来说，如果一个数列从第二项开始，每一项与其前一项的比值等于相同的常数，那么这个数列叫做几何级数，这个常数叫做几何级数的公比；公比通常用字母表示，即级数是级数(1)、(2)和(3)的几何级数，它们的公比分别是2、5和。(注：“从第二项开始”，“常数”，公比和几何级数项不为零)2.几何级数的一般公式是：说明：(1)从几何级数的通式中，我们可以知道，当比值为普通时，数列既是几何级数又是算术级数；(2)

3、几何级数的通式知道，如果它是几何级数，那么。3.等比中期如果在中间插入一个数字，使其成为一个几何级数，它被称为等比中间项(两个具有相同符号的非零实数有两个等比中间项)。4.几何级数的前N项和公式一般来说，让几何级数的前n项之和为，在那个时候，或；当q=1时，(偏移减法)。注：(1)第四个可以从每个已知的三个中获得；(2)注意求和公式，但不要在通式中混淆它；(3)应用求和公式时，必要时应讨论什么。四.典型案例分析问题1:几何级数的概念例1。“公差为0的算术级数是几何级数”；“公共比率的几何级数必须是递减序列”；“当且仅当B2=AC时，A、B和C是几何级数”；在上述四个命题中，正确的一个是()A.

4、1 b.2 c.3 d.4分析：只有四个命题中的最后一个是正确的。命题1不认为项为0的算术级数不是几何级数；命题2表明，一个1=一个，一个1an，即一个1an，序列是一个递增序列；在命题3中，如果a=b=0，cR，它此时存在，但是数列A，B和C不是几何级数，所以它应该是一个必要的和不充分的条件。如果条件变成b=，它就变成一个不必要的和不充分的条件。点评：这个问题以选择题的形式考察了一些关于几何级数的重要结论，所以我们应该注意一些关于算术级数和几何级数的重要结论。例2。命题1:如果序列an的前n项和Sn=an)，那么序列an是一个几何级数；命题2:如果序列an的前n项和Sn=an2 bn c(a

5、0)，则序列an是一个算术级数；命题3:如果序列an的前n项和sn=na-n，那么序列an既是算术级数又是几何级数；在上述三者中根据命题3，a1=a-1，当n2时，an=sn-sn-1=a-1，显然an是一个常数序列，即一个公差为0的算术级数，所以只有当a-1 0时；也就是说，当a1时，数列an又是几何级数。备注：几何级数中的一般项和求和公式之间有很大的关系。以上三个命题都涉及到Sn和an的关系，即an=的关系。为了正确判断数列an是算术级数还是几何级数，我们必须使用上述关系式，特别要注意第一项与其他项之间的关系。以上三个命题都不是真的，所以选择一个。问题2:几何级数的判断例3。(国家科学，2

6、000，20)(一)序列cn是已知的，其中cn=2n 3n，序列cn 1-PCN是几何级数，所以求常数p；()设an和bn是公比不等的两个几何级数，cn=an bn，并证明序列cn不是一个几何级数。分析：(一)解决方案：因为cn 1-PCN是几何级数，因此，(氯化萘-多氯化萘)2=(氯化萘-多氯化萘1)(氯化萘-多氯化萘-1)，将cn=2n 3n代入上述公式，得到：2n+1+3n+1-p(2n+3n)2=2n+2+3n+2-p(2n+1+3n+1)2n+3n-p(2n-1+3n-1)，即(2-p) 2n (3-p) 3n 2=(2-p)2n+1+(3-p)3n+1(2-p)2n-1+(3-p)

7、3n-1，结果是(2-p) (3-p) 2n3n=0，解是p=2或p=3。()证明：设an和bn的公比是p，q，pq，cn=an bn。为了证明cn不是几何级数，只需要c22c1c3。实际上，c22=(a1p b1q)2=a12p 2 b12q 2 a1 bpq。C1 C3=(a1+B1)(a1p 2+b1q 2)=a12p 2+b12q 2+a1 B1(p2+Q2)，Pq，p2 Q2 2pq，a1和b1不为零。因此，c22c1c3，所以cn不是几何级数。图3-1备注：本主题主要考察几何级数的概念和基本性质、推理和计算能力。例4。(景春，2020，21)如图3-1所示，在边长为l的等边ABC中

8、，圆O1是ABC的内切圆，圆O2与圆O1外切，与圆AB和BC相切，圆On 1与圆On外切，与圆AB和BC相切，所以它无限地继续下去。记住圆的面积是一个(n)证明：如果rn是圆的半径，那么r1=tan30=。=sin30=，所以rn=rn-1 (n 2)，然后a1=r12=，所以an成为几何级数。备注：此问题考查对实际问题的判断，需要分析实际问题场景，最后建立对应的数值关系模型进行分析。问题3:几何级数的通式及其应用例5。几何级数中有三项。如果你在第二项上加4，这三项将变成算术级数。如果你把32加到等差数列的第三项上，这三项就会变成等差数列。分析：让要求的几何级数为A，aq，aq2；然后2(aq

9、 4)=a aq2，(AQ 4)2=a(AQ 232)；解是a=2，q=3或a=，q=-5；因此，要求的几何级数是2，6，18或-，注释：第一个解决方案使用几何级数的基本量，首先寻求公比，然后寻求其他量。这是理解算术级数和几何级数的常用方法。它的优点是思维简单实用，但缺点是有时计算复杂。例6。(陕西卷，2020)如果正项序列是已知的，则上一段的和满足几何级数，并且获得序列的一般项分析：10Sn=an2 5an 6，10a1=a12 5a1 6，解是a1=2或a1=3。10sn-1=an-125an-16 (n 2)，根据-，10an=(an2-an-12) 6 (an-an-1)，即，(an-

10、an-1) (an-an-1-5)=0* an-10，an-an-1=5 (n2).当a1=3，a3=13，a15=73，并且a1，a3和a15不是几何级数时a13；当a1=2，a3=12，a15=72，a32=a1a15， a1=2， an=5n-3。备注：这个问题涉及等比数列求和公式与几何级数通项的关系，最后得出结果。问题4:等比数列的求和公式及其应用例7。(1)(辽宁卷2020)在几何级数中，前段的和是，如果级数也是几何级数，它等于()A.学士学位(2)(北京卷2020)，它等于()美国广播公司(3)(国家文献，1996，21)让几何级数an的前N项之和为Sn，如果S3 S6=2S9，求

11、级数的公比Q；分析：(1)因为级数相等，所以级数也是几何级数。然后因此，答案c被选中。(2)D；(3)解决方案：如果q=1，则S3=3a1，S6=6a1，S9=9a1。因为a10，所以获得S3 S62S9。显然，q=1与设计相矛盾，所以q1。从S3 S6=2S9，Q3 (2Q6-Q3-1)=0，从q0，2Q6-Q3-1=0，因此(2Q3 1) (Q3-1)=0，Q3=-，因为q31。备注：对于几何级数求和问题，首先要区分数列的通项公式，根据第一项和公比找到最终结果。例8。(1)(江苏，18，2002)让an为算术级数，bn为几何级数，A1=B1=1，A2 A4=B3，B2B4=A3。计算总和S

12、10和T10分别是an和bn的前10个术语。(2)(北京，安徽，20，2001)插入n个正数a1，a2，a3，1和2之间的一个，因此这些n 2数成为几何级数；另外，n个正数b1，b2，b3，bn被插入1和2之间，因此这些n 2个数字成为算术级数。记住an=a1a2a3.安，bn=B1 B2 B3.10亿(一)找到系列an和Bn的一般术语；()当n7时，比较An和Bn的大小，证明你的结论。(3) (Tianjin Science，2002，22)已知an是由非负整数组成的序列，满足A1=0，A2=3，an+1an=(an-1+2)(an-2+2)，n=3，4，5，找到a3；()证明an=an-2

13、 2，n=3，4，5，()求出an的通式及其前n项和Sn。分析：(1) an 是算术级数，bn是几何级数，a2+a4=2a3,b2b4=b32.众所周知，A2 A4=B3，B2B4=A3。b3=2a3,a3=b32.B3 of=2b32。B30 b3=,a3=.根据a1=1和a3=，公差an为d=。S10=10a1+.B1=1和B3=已知的公比是q=或q=。当q=，当q=，(2) (I)让公比为q，公差为d，几何级数1，a1，a2，an，2，算术级数1，b1，b2，bn，2。那么a1=a1=1 qa2=1 qqq2a 3=1 qqq21 Q3并且2=1qn 1=2得到qn 1=2。An=qq2

14、qn=q(n=1，2，3)和： bn 2=1 (n 1) d=2 (n 1) d=1B1=B1=1+d B2=B2+B1=1+d+1+2d Bn=1+d+1+nd=n()当n7时，an bn证明了当n=7，23.5=8=AnBn=7时，AnBn如果当n=k时大于bn，那么当n=k 1时，和： AK 1=和AK bk AK 1 K。Ak+1-Bk+1并且k=8，9，10. AK 1-bk 1 0。总的来说，100亿英镑可以维持.(3)(1)解：a3a4=10，a3和a4是非负整数，所以A3的可能值是1，2，5，10。如果A3=1，A4=10，A5=，这与设计相矛盾。如果A3=5，A4=2，A5=

15、，这与设计相矛盾。如果A3=10，A4=1，A5=60，A6=，这与设计相矛盾。所以a3=2。()用数学归纳法证明：(1)当n=3且a3=a1=2时，等式成立；假设当n=k (k 3)时方程成立，即AK=AK-2 2，这是由AK 1ak=(AK-1 2)(AK-2 2)假设的。因为AK=AK-2 2 0，AK-1=AK-1。也就是说，当n=k 1时，等式AK 1=AK-1 2成立；根据和，对于所有n3，有一个1=an-1 2。()解：from a2k-1=a2 (k-1)-1 2，a1=0，a2k=a2 (k-1) 2，a2=3，a2k-1=2 (k-1)，a2k=2k 1，k=1，2所以sn

16、=备注：这个小问题主要考察数列的基本知识和算术级数前N项的总和，以及准确表达、分析和解决问题的能力。问题5:几何级数的本质例9。(1)(江苏3，2020)在几何级数an中，所有项目都是正的，第一个项目A1=3，前三个项目的和是21，然后A3 A4 A5=()(一)33(二)72(三)84(四)189(2)(2000上海，12)在算术级数an中，如果a10=0，则有方程a1a2.an=a1a2.a19-n (n 19，nN成立。与上述性质类似，相应地，在几何级数bn中，如果B9=分析：(1)答案：C；解决方案：让几何级数an的公比是q(q0)，这意味着：a1 a2 a3=21，即3 3q 3q2=21，q2 q-6=0，并且找到Q=2 (q=-3被截断)，因此a3 a4 a5=q2(a1 a2 a3)=4，因此选择了C。(2)答案：b1b2 bn=b1b2 b17-n (n 17，nn *)；解决方法：在算术级数an中，从a10=0，a1 a19=a2 a18=a20-n=a1 a19-n=2