第一中学高中数学用空间向量求空间距离学案新人教A版必修

1、湖北省监利县第一中学湖北省监利县第一中学 20142014 年高中数学年高中数学 用空间向量求空间距离学案用空间向量求空间距离学案 新人教新人教 A A 版必修版必修 4 4 学习目标 1. 进一步熟练求平面法向量的方法； 2. 掌握向量运算在几何中如何求点到平面的距离和两异面直线间距离的计算方法； 3. 熟练掌握向量方法在实际问题中的作用. 学习过程 一、课前准备 复复 习习 1 1：已知A1,2,0,B0,1,1, C1,1,2，试求平面ABC的一个法向量. 复习复习 2 2：什么是点到平面的距离？什么是两个平面间距离？ 二、新课导学 学习探究 探究任务一：点到平面的距离的求法点到平面的距

2、离的求法 ruuu rr 问题问题：如图A,空间一点P到平面的距离为d,已知平面的一个法向量为n,且AP与n不共线,能 uuu rr 否用AP与n表示d? 分析分析:过P作PO于 O, P 连结 OA,则 u r uuu ruuu r n d=|PO|=| PA|cosAPO. ruuu r PO,n , OA uuu rr POn. uuu r r cosAPO=|cosPA,n| uuu r ruuu r D. =|PA|cosPA,n| uuu u rruuu r ruuu r r | PA|n|cosPA,n | PAn| uuru r=u |n| n| 新知新知：用向量求点到平面的距

3、离的方法： uuu rr r | PAn| u u r设 A,空间一点P到平面的距离为d,平面的一个法向量为n，则 D. = |n| 试试试试：在棱长为 1 的正方体ABCD ABCD中， 求点C到平面ABCD的距离. 反思反思：当点到平面的距离不能直接求出的情况下，可以利用法向量的方法求解. 典型例题 例例 1 1 已知正方形 ABCD 的边长为 4，E、F 分别是 AB、AD 的中点，GC平面 ABCD，且GC2，求点 B 到平面 EFG 的距离. 变式变式： 如图,ABCD是矩形,PD平面ABCD,PD DC a,AD 2a,M 、N分别是AD 、PB的中点, 求点A到平面MNC的距离.

4、 P N D C M A B 小结小结：求点到平面的距离的步骤： 建立空间直角坐标系，写出平面内两个不共线向量的坐标； 求平面的一个法向量的坐标； 找出平面外的点与平面内任意一点连接向量的坐标； 代入公式求出距离. 探究任务二：两条异面直线间的距离的求法两条异面直线间的距离的求法 例例 2 2 如图，两条异面直线a,b所成的角为，在直线a,b上分别取点A,E和A,F,使得AA a,且 AA b.已知AE m,AF n,EF l，求公垂线 AA 的长. 变式变式：已知直三棱柱ABCA 1B1C1 的侧棱AA 1 4,底面ABC中,AC BC 2，且BCA 90,E是 AB的中点,求异面直线CE与

5、AB1的距离. r 小结小结：用向量方法求两条异面直线间的距离，可以先找到它们的公垂线方向的一个向量n，再在两条直 ruuu r n AB u r求解.线上分别取一点A,B，则两条异面直线间距离d u n 三、总结提升 学习小结 1.空间点到直线的距离公式 2.两条异面直线间的距离公式 知识拓展 用向量法求距离的方法是立体几何中常用的方法. 学习评价 自我评价 你完成本节导学案的情况为（）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 当堂检测 1. 在棱长为 1 的正方体ABCD ABCD中，平面ABBA的一个法向量为； 2. 在棱长为 1 的正方体ABCD ABCD中，异面直线AB和 CB 所成角是； 3. 在棱长为 1 的正方体ABCD ABCD中，两个平行平面间的距离是； o 4. 在棱长为 1 的正方体ABCD ABCD中，异面直线AB和CB间的距离是； 5. 在棱长为 1 的正方体ABCD ABCD中，点O是底面ABCD中心，则点O到平面ACDB的距离 是 . 6. 如图，正方体ABCD A 1B1C1D1 的棱长为 1，点M是棱AA 1 中点，点O是BD 1 中点，求证：OM是异 面直线AA 1 与BD