高考数学专题讲座3(文科)函数与导数的综合应用

1、第第 3 3 讲：函数与导数的综合应用讲：函数与导数的综合应用 【知识归纳】【知识归纳】 1.导数的定义：f(x)在点 x0处的导数记作 y xx0 f (x 0 ) lim x0 f (x 0 x) f (x 0 ) ； x 2.导数的几何意义：曲线yf（x）在点 P（x0,f(x0)）处的切线的斜率是f (x0).相应 地，切线方程是y y0 f (x0)(x x0); 3.导数的四则运算法则：(u v) u v;(uv) uv uv;( ) 4.常见函数的导数公 式:C 0(C为常数);(xm) mxm-1(m Q);(sinx) cosx; u v uv uv ; 2v (cosx)

2、-sinx;(ex) ex;(ax) axlna;(lnx) 5.导数的应用： 11 x;(log a ) loge a ; xx （1） 利用导数判断函数的单调性： 设函数 yf （x） 在某个区间内可导， 如果f (x) 0, 那么 f(x)为增函数；如果f (x) 0,那么 f(x)为减函数；如果在某个区间内恒有 f (x) 0,那么 f(x)为常数； （2）求可导函数f (x)的极值: 确定函数的定义区间，求导数f (x)求方程f (x) 0的根 用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格 .检查 f (x)在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f (x

3、)在这个根处取得极大值；如果 左负右正，那么f (x)在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f (x)在这个根 处无极值.如果函数在某些点处连续但不可导，也需要考虑这些点是否是极值点 . （3）利用导数求函数的最值: 设函数f (x)在a,b上连续，在(a,b)内可导，则求f (x)在a,b上的最大值与最小 值的步骤如下：求f (x)在(a,b)内的极值； 将f (x)的各极值与f (a)、f (b)比较得出函数f (x)在a,b上的最值 (4)利用导数进行综合应用：以导函数和不等式为基础，单调性为主线，最(极值)为助手， 从数形结合、分类讨论等多视角进行综合探索. 通过研究函数的单调

4、性、 最值与不等式、数 列等基本知识的综合应用，提高分析问题和解决问题的能力以及数学归纳法的应用。 【基础练习】【基础练习】 1 1.1.若曲线y x在点a,a2处的切线与两个坐标围成的三角形的面积为18， 则a （） 1 2 （A）64（B）32（C）16（D）8 2.2. 若点在曲线y x x 2上移动，经过点的切线的倾斜角为，则的取值范围 是（） 3 , , 0, , 0, o, 2 2 44 2 2 4 3.3.函数y f (x)在定义域( 3 3 3 3 ,3)内可导，其图象如图所示，记y f (x)的导函数为 2 y f (x)，则不等式f (x) 0的解集为（ ） 1 A.,12

5、,3 3 14 8 B.1, , 23 3 3 1 C., 1,2 2 2 31 4 8 D. ,1 , ,3 2 2 3 3 4对于R上可导的任意函数f (x)，若满足x1f(x)0，则必有（） A.f (0) f (2) 2f 1 B.f (0) f (2)2f 1 C.f (0) f (2)2f 1 D.f (0) f (2) 2f 1 【典型例题】典型例题】 例例 1 1 （1 1）求）求曲线y 4x x在点1,3处的切线方程。 3 （2 2）过点（1，0）作抛物线y x x1的切线，求切线方程。 2 例例 2 2求函数f (x) x 3x 2在区间1,1上的最大值。 32 例例 3

6、3设函数f (x) x 3ax 3bx的图像与直线12x y 1 0相切于点(1,11)。 （）求a,b的值； （）讨论函数f (x)的单调性。 例例 4 4已知函数f (x) ax ln xbx c(x 0)在x 1处取得极值3c，其中a，b为 常数 （）试确定a，b的值； （）讨论函数f (x)的单调区间； （）若对任意x 0， 不等式f (x)2c恒成立，求c的取值范围 2 44 32 【课后巩固】【课后巩固】 1.求满足条件的实数a的范围： 1使 y sin xax为R上增函数，则a的范围是a1, ) 2使 y x3 ax a为R上增函数，则a的范围是a0 , ) 2f (x)的导函数y f (x)的图象如图所示，则y f (x)的图象最有可能的是 （ C） 3.函数f (x)的定义域为开区间(a,b)，导函数f (x)在 y y f ? (x) (a,b)内的图象如图所示，则函数f (x)在开区间(a,b)内有 极小值点（） A1 个B2 个C3 个D 4 个 4已知函数 fx x 3ax1,gx fxax5， 3