矩阵的概念22矩阵的运算

1、第二章 矩阵,21 矩阵的概念 22 矩阵的运算 23 几种特殊的矩阵 24 分块矩阵 25 逆矩阵 26 矩阵的初等变换,21 矩阵的概念,排成的一个m行n列的数表,称为一个m行n列矩阵，简称为mn矩阵。,定义21由mn个数,例如,矩阵常用的记号：,大写英文字母A、B、C、,A24=,(aij)33=,(aij),Amn,(aij)mn,特别地,当m=1时，,当n=1时，,当m=n=1时，,可视为普通数 来处理,当m=n时，,称为零矩阵，记为 或 O,当,时,对n阶方阵A=(aij),若：,即,对矩阵A=(aij)，称(-aij)为矩阵A的负矩阵，记为 -A,即,矩阵概念与行列式概念的区别：

2、,一个行列式 代表一个数,一个矩阵 代表一个数据表格,例如,而 表示一个数表,2、二者记号不同：,行列式用 ,矩阵用（ ）。,3、行列式的行数和列数必须相同，而矩阵的行数 与列数可以不同。,【例】对mn 线性方程组,把方程组中系数 及常数项 按原来次序取出， 作一个矩阵,m(n+1),（*）,则线性方程组（*）与 之间的关系是1-1对应的,B,把未知量的系数按原来次序拿出来作一个矩阵,mn,A,把常数列按原来次序拿出来作一个矩阵,m1,把未知量拿出来作一个矩阵,n 1,X,22 矩阵的运算,定义22 若两个有相同行数和相同列数的矩阵,满足,则称矩阵A与矩阵B相等。记为：A=B,例如：若 且A=

3、B,则有c=0; a=-1; b=2; d=3,一、矩阵的加法,定义23 由矩阵A=(aij)mn与B=(bij)mn的各对应元素相 加而得到的矩阵，称为矩阵A与矩阵B的和。 记为：A+B,即,例如,则,加法的性质：,（1）A+B=B+A,（2）(A+B)+C=A+(B+C),（3）A+O=A,（4）A+(-A)=A-A=O,简记为：,证（2）(A+B)+C=A+(B+C),因为 (A+B)+C=(aij)+(bij)+ (cij),= (aij+bij) + (cij),=(aij)+(bij+cij),=A+(B+C),矩阵的减法：,例如,则,二、数与矩阵的乘法（简称数乘）,定义24 由常

4、数k乘以矩阵Amn的每个元素而得到的矩 阵，称为数k与矩阵A的乘积，简称数乘。记为kA,例如,则,数乘的性质： 设A、B、O均为mn矩阵，k、t为常数, 则 (1) k(A+B)=kA+kB (2) (k+t)A=kA+tA (3) (kt)A=k(tA)=t(kA) (4) 1A=A (5) 0A=O (6) 若k0, AO,则 kAO,证(1) k(A+B)=kA+kB,证(2) (k+t)A=kA+tA,【例2】求矩阵X，使3A+2X=3B。其中,解：由 3A+2X=3B 解得:,2X=3B - 3A,即,所以,三、矩阵与矩阵的乘法,定义25 设矩阵 ， ，由元素,构成的矩阵 称为矩阵A

5、与矩阵B的乘积。,记为 C=AB,即:,关于矩阵乘法的说明：,1、只有当第一个矩阵A的列数与第二个矩阵B的行数 相同时， AB才有意义.,2、C的行数=第一个矩阵A的行数,C的列数=第二个矩阵B的列数,【例3】 设,求AB,解：,注：此题BA无意义,【例】设 ,求AB,解：,注 此题BA有意义,BA是一个数,【例】 ,求AB.,解：,注：此题BA有意义,但AB与BA的行列数不同,【例】 设 ,求AB,解：,注：(1)此题BA有意义,BA与AB行列数相同,但ABBA,(2) BA=O, 但 BO,且AO,【例】 设 求：AB,AC,解：,注：此题AB=AC, 且AO,但BC,矩阵乘法与实数乘法的

6、比较： (1) 实数乘法满足交换率。即ab=ba 矩阵乘法不满足交换率。即ABBA (2) 实数乘法满足消去率。 即：若ab=ac,且a0,则有b=c 矩阵乘法不满足消去率 即：由AB=AC,且AO,不能得出B=C (3) 在实数乘法中，若ab=0,可推出a=0或b=0 在矩阵乘法中，由AB=O不能推出A=O或B=O,矩阵乘法的性质： (1) A(BC)=(AB)C (2) t(AB)=(tA)B=A(tB) (3) (A+B)C=AC+BC (4) A(B+C)=AB+AC (5) AE=EA=A,注意：在性质（5）中，若A是mn矩阵，则AE中 的E为En,而EA中的E为Em,【例5】 对m

7、n线性方程组,取,，,，,所以线性方程组,可表示为：,定义26 设A为n阶方阵，k为正整数，k个A的连乘积 称为方阵A的k次幂。记为：Ak,即,例如：,则,方幂的性质：,注意：,（1）只有当A为n阶方阵时，才有方幂的概念。,（2）（AB)k Ak Bk,） Ak和Bk可能无意义,）由于乘法不满足交换率,【例】 设,，求An,解,A3= A2A= 22 EA= 22A,=4E=22E,A4= A2 A2 = 22 E 22 E = 24E,A5= A4 A = 24 E A = 24A,【例】 设A、B为n阶方阵，且满足,证明AB=O,错误证明：,即,2AB=O,AB=O,正确证明：,即,AB+

8、BA=O,A(AB+BA)=AO,(AB+BA)A=OA,即,得,左乘A得,右乘A得,注意： 中第i行第j列的元素=A中第j行第i列的元素,四、矩阵的转置 定义27 将矩阵A的行列互换得到的矩阵，称为矩A的 转置矩阵，简称转置。,即若,则,转置的性质：,（1）,（2）,（3）,（4）,例如：,则,证明：(4),设,则,故 C=D.,显然：,【例7】 设矩阵,求,解法一：,解法二：,说明,(2) 由,(3)一般情况下,(1)由,五、方阵的行列式 定义28 由n阶方阵A的元素按原来的顺序构成 的行列式，称为方阵A的行列式。,记为,即：对,方阵的行列式性质： 设A、B是n阶方阵，t是常数，则,（1）

9、,（2）,（3）,证明:性质(3),先证明个小问题：若将序列 变换为： ，则：,假设经过l次对换，使得：,则：,显然：,证明,所以：,4.,注意：,2. 只有当A、B是同阶方阵时， 才成立,有意义，但 和 无意义）,3. 当A、B是同阶方阵时，有,(虽然ABBA),1、只有当A是方阵时，才有A的行列式,定义29 设A是n阶方阵，若 ，则称A为非奇异 方阵；若 ，则称A为奇异方阵。,，B是奇异的,例如,，A是非奇异的,【例8】 设A、B都是n阶方阵，证明AB是非奇异的充要 条件是A、B都是非奇异方阵。,证明：,必要性：已知AB是非奇异方阵，则,即 A、B都是非奇异方阵,充分性：已知A、B都是非奇

10、异方阵，则,于是,即AB是非奇异方阵,且B非奇异，证明A，A+B均是非奇异的。,由B非奇异，知,由此得,即A，A+B均是非奇异的。,证明：,【例】设n阶方阵A、B满足,【例】已知A为3阶方阵，且 求,解：,【例】 已知AB=E，且 A非奇异，求,解：,又因为A非奇异，即A为方阵，且,故B为与A同阶的方阵,即,课堂练习,2、已知A是三阶方阵，且 ，求,（1）若矩阵A的行列式 ，则必有A=0,（2）若矩阵A的行列式 ，则必有A=E,（3）若n阶方阵A、B、C满足A=B+C，则必有,反例,反例,1、判断题,二、矩阵的加（减）法,三、数与矩阵的乘法（简称数乘）,矩阵的运算小结,一、矩阵相等,4、矩阵的乘积：设矩阵 ， ，,注意：(1) 矩阵乘法不满足交换率，即：ABBA (2) 矩阵乘法不满足消去率，即：由AB=AC， 且AO,不能得出B=C。 (3) 在矩阵乘法中，由AB=O不能推出A=O或 B=O,这里：,5、方阵的幂：设A为n阶方阵，k为正整数,