2014届高考数学(文)一轮复习课件(鲁闽皖专用)： 函数及其表示(新人教A版)

1、第一节 函数及其表示,三年16考 高考指数: 1.了解构成函数的要素，会求一些函数的定义域和值域,了解映射的概念； 2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数； 3.了解简单的分段函数，并能简单的应用.,1.函数的概念、定义域及其表示(特别是分段函数)是近几年高考命题的热点. 2.常和对数、指数函数的性质等相结合考查，有时也会命制新定义问题. 3.题型主要以选择、填空题为主，属中低档题.,1.函数与映射的概念,数集,任意,数x,唯一确定,f(x),集合,确定,任意,元素x,唯一确定,元素y,确定,【即时应用】 (1)判断下列对应关系f是否是从A到B的函数.(请在括号中填“是”或“

2、否”) A=R，B=x|x0,f:x|x|; ( ) A=R，B=R，f:xx2; ( ) A=Z, B=R，f:x ； ( ) A=Z，B=Z，f:xx2-3. ( ),(2)设A=0,1,2,4，B= ,0,1,2,6,8，判断下列对应关系是否是A到B的映射.(请在括号中填“是”或“否”) f:xx3-1 ( ) f:x(x-1)2 ( ) f:x2x-1 ( ) f:x2x ( ),【解析】(1)否，因为A中的元素0在B中没有对应元素; 否，因为A中的元素为负数时在B中没有对应元素; 是，满足函数的定义，是从A到B的函数. (2)不是，当A中的x=0，2，4时在B中没有对应元素； 不是，

3、当A中的x=4时在B中没有对应元素； 是，满足映射的定义，是从A到B的映射； 不是，当A中的x=2时在B中没有对应元素. 答案：(1)否 是 否 是 (2)否 否 是 否,2.函数的构成要素 函数由_、_、_三个要素构成，对函数 y=f(x),xA，其中， (1)定义域:自变量x的_. (2)值域：函数值的集合_.,定义域,值域,对应关系,取值范围A,f(x)|xA,【即时应用】 (1)判断下列各组函数中，是否是同一函数.(请在括号中填 “是”或“否”) f(x)=x与g(x)= ( ) f(x)=|x|与g(x)= ( ) f(x)=x|x|与 ( ) f(x)= 与g(t)=t+1(t1)

4、 ( ),(2)函数y=x2-2x的定义域为0,1,2,3，那么其值域为_. (3)设集合 ,集合B=y|y=x2,xR,则 AB=_.,【解析】(1)否，函数f(x)与g(x)的定义域不同； 否，函数f(x)与g(x)的对应关系不同； 否，函数f(x)与g(x)的定义域不同； 是，函数f(x)= =x+1(x1)与g(t)=t+1(t1)是同一函数. (2)当x取0,1,2,3时，对应的函数y的值依次为0,-1,0,3, 所以其值域为-1,0,3.,(3)已知A=x|x-20=x|x2,B=y|y0, AB=x|x2. 答案:(1)否 否 否 是 (2)-1,0,3 (3)x|x2,3.函数

5、的表示方法 表示函数的常用方法有：_，_和_.,解析法,列表法,图象法,【即时应用】 (1)下列四个图象是函数f(x)=x+ 的图象的是_. (2)若 ，则f(x)的解析式为_.,【解析】(1) 正确. (2)方法一：令t= +1，则x=(t-1)2,t1，代入原式有f(t)=(t-1)2+2(t-1)=t2-1, f(x)=x2-1(x1). 方法二： f(x)=x2-1(x1). 答案：(1) (2)f(x)=x2-1(x1),4.分段函数 若函数在其定义域的不同子集上，因_不同而分别用 几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数.,对应关系,【即时应用】 (1)已知函数f(x)= 则 =

6、_. (2)设f(x)= 若f(x)=3，则x=_.,【解析】(1) (2)当x-1时，-x+2=3，得x=-1，符合要求； 当-1x2时，x2=3，得x= ，只有 符合要求； 当x2时，2x=3,得x= ,不符合要求. 综上可知，x=-1或 . 答案：(1) (2)-1或,【方法点睛】1.简单函数定义域的类型及求法 (1)已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组)求解. (2)对实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解.,求简单函数的定义域、值域,(3)对抽象函数： 若已知函数f(x)的定义域为a,b，则复合函数f(g(x)的定义域由不等式ag(x)b求出. 若已

7、知函数f(g(x)的定义域为a,b，则f(x)的定义域为g(x)在xa,b时的值域. 2.求简单函数值域的方法 (1)观察法；(2)图象观察法；(3)单调性法；(4)分离常数法； (5)均值不等式法；(6)换元法.,【例1】(1)(2012大连模拟)求函数f(x)= 的定义 域; (2)已知函数f(2x)的定义域是-1,1，求f(x)的定义域； (3)求下列函数的值域. y=x2+2x,x0,3,y=log3x+logx3-1, ,【解题指南】(1)根据解析式，构建使解析式有意义的不等式组求解即可； (2)要明确2x与f(x)中x的含义，从而构建不等式求解; (3)根据解析式的特点，分别选用图

8、象观察法；均值不等式法；单调性法求值域.,【规范解答】(1)要使该函数有意义， 需要 则有： 解得:-3x0或2x3, 所以所求函数的定义域为 (-3,0)(2,3). (2)f(2x)的定义域为-1，1， 即-1x1, 2x2， 故f(x)的定义域为 ,2.,(3)y=(x+1)2-1在0,3上的图象如图所示, 由图象知：0y32+23=15, 所以函数y=x2+2x，x0,3的值域为0,15., ，定义域为(0,1)(1,+)， 当0x1时， 当x1时， 综上可知，其值域为(-,-31,+).,因为x2-1-1，又y=2x在R上为增函数, 故值域为 ,+).,【互动探究】若本例(2)中条件

9、不变，求f(log2x)的定义域. 【解析】由本例()中知f(x)的定义域为 ,2, 函数y=f(log2x)中， 即： 故函数f(log2x)的定义域为 ,4.,【反思感悟】1.由解析式求函数的定义域，其实质就是以函数解析式有意义为准则，列出不等式(组)，从而求解. 2.f(g(x)的定义域为a,b，指的是x的取值范围是a,b，而不是g(x)的取值范围是a,b. 3.求函数的值域时，若能画出图象，则用图象观察法求解；若能判断单调性则用单调性法求解；若能满足用基本不等式的条件，则用基本不等式求解.,【变式备选】若函数 的定义域为R，则a的 取值范围为_. 【解析】因为函数f(x)的定义域为R，

10、即 对xR恒成立，亦即x2+2ax-a0对xR恒成立, 需=(2a)2-4(-a)=4a2+4a0即可, 解得:-1a0. 答案：a|-1a0,分段函数及其应用 【方法点睛】确定与应用分段函数的一般步骤 首先要确定自变量的值属于哪个区间，其次选定相应关系代入计算求解，特别要注意分段区间端点的取舍，当自变量的值不确定时，要分类讨论. 【提醒】分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数.,【例2】(1)(2012北京模拟)已知函数 则f(x)-f(-x)-1的解集为( ) (A)(-,-1)(1,+) (B)-1, )(0,1 (C)(-,0)(1,+) (D)-1, (0,1),(2)已知函

11、数y=f(x)的图象由图中的两条射线和抛物线的一部分组成，求函数的解析式.,【解题指南】(1)根据每一段的解析式分类求解，再求其并集. (2)已知图象形状，求解析式，可用待定系数法. 【规范解答】 (1)选B.当-1x0时，0-x1，此时f(x)=-x-1，f(-x)=-(-x)+1=x+1, f(x)-f(-x)-1化为-2x-2-1， 得x ，则-1x .,当0x1时，-1-x0，此时，f(x)=-x+1，f(-x)= -(-x)-1=x-1, f(x)-f(-x)-1化为-x+1-(x-1)-1, 解得x ，则0x1. 故所求不等式的解集为-1, )(0,1.,(2)根据图象，设左侧的射

12、线对应的解析式为y=kx+b(x1). 点(1,1),(0,2)在射线上, 解得 左侧射线对应函数的解析式为y=-x+2(x1); 同理,x3时，函数的解析式为y=x-2(x3). 再设抛物线对应的二次函数解析式为y=a(x-2)2+2(1x3,a0)，,点(1,1)在抛物线上，a+2=1,a=-1, 1x3时，函数的解析式为y=-x2+4x-2(1x3), 综上，函数的解析式为,【互动探究】本例(2)的条件不变，求函数y=f(x)的值域. 【解析】方法一：由函数y=f(x)的图象可得y1，所以函数y=f(x)的值域为y|y1. 方法二：由函数y=f(x)的解析式可知,当x1时，y(1,+),

13、 当1x3时，y1,2; 当x3时，y(1,+),所求函数的值域为1,+).,【反思感悟】分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集，最大(小)值是各段最大(小)值中最大(小)的值.,【变式备选】1.(2012吉林模拟)设函数 若f(-2)= f(0),f(-1)=-3，则关于x的方程f(x)=x的解的个数 为( ) (A)1 (B)2 (C)3 (D)4,【解析】选B.由已知得 解得 当x0时，由f(x)=x得，x2+2x-2=x，得x=-2或x=1, 又x0，故x=1舍去, 当x0时，由f(x)=x得x=2, 所以方程f(x)=x有两个解.,2.甲、乙两地相距150千米，某货

14、车从甲地运送货物到乙地，以每小时50千米的速度行驶，到达乙地后将货物卸下用了1小时，然后以每小时60千米的速度返回甲地.从货车离开甲地起到货车返回甲地为止，设货车离开甲地的时间和距离分别为x小时和y千米，试写出y与x的函数解析式.,【解析】由题意，可知货车从甲地前往乙地用了3小时，而从乙地返回甲地用了2.5小时. 当货车从甲地前往乙地时,由题意，可知y=50 x(0x3); 当货车卸货时,y=150(3x4)；当货车从乙地返回甲地时,由题意，知y=150-60(x-4)(4x6.5). 所以,求函数值 【方法点睛】求函数值的类型及解法 (1)f(g(x)型：遵循先内后外的原则； (2)分段函数

15、型：根据自变量值所在区间对应求值，不确定时要分类讨论； (3)已知函数性质型：对具有奇偶性、周期性、对称性的函数求值，要用好其函数性质，将待求值调节到已知区间上求解； (4)抽象函数型：对于抽象函数求函数值，要用好抽象的函数关系，适当赋值，从而求得待求函数值.,【例3】已知函数f(x)是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x都有xf(x+1)=(1+x)f(x),求 的值. 【解题指南】求解该题，需知道f(x),f(x+1)满足的关系式，将f(x+1)用f(x)表示，然后再给x赋值，先求出 ，再求 的值.,【规范解答】若x0，则有 取x= , 则有 (f(x)是偶函数， 由此得 于

16、是，,若x=0，则0f(0+1)=(1+0)f(0)，有f(0)=0, ,【反思感悟】对于这类给出函数所满足的抽象性质，但又不知道函数解析式的求值问题，求解时应根据该抽象的函数关系的结构特征，结合待求值的特点，给变量赋予特殊值，从而使问题具体化、简单化，达到求出函数值的目的.,【变式训练】已知 则 的值等于( ) (A)-2 (B)1 (C)2 (D)3 【解析】选D. ,【变式备选】设对任意实数x,y均有f(x+y)=2f(y)+x2+2xy-y2+3x-3y, (1)求f(0)； (2)求f(x)的解析式. 【解析】(1)令x=y=0,f(0)=0. (2)当x为任意实数，y=0时,f(x

17、)=2f(0)+x2+3x, f(x)=x2+3x.,【创新探究】与函数有关的新定义问题 【典例】(2011广东高考)设f(x)，g(x)，h(x)是R上的任意 实值函数，如下定义两个函数 和(fg)(x)；对任 意xR， =f(g(x)；(fg)(x)=f(x)g(x).则下列等式恒成立的是( ),【解题指南】根据新的定义逐个选项验证其真伪，从而作出判断.,【规范解答】选B.根据新函数的定义分析如下表，,【阅卷人点拨】通过对本题的深入研究，我们可以得到以下创新点拨和备考建议:,1.若 则f(x)的定义域为( ) (A)( ,0) (B)( ,+) (C)( ,0)(0,+) (D)( ,2)

18、 【解析】选C.要使函数f(x)有意义, 则需 即 f(x)的定义域为( ,0)(0,+).,2.(2011北京高考)根据统计，一名工人组装第x件某产品 所用的时间(单位：分钟)为 (A，c为常数)， 已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A件产品用时15分 钟，那么c和A的值分别是( ) (A)75，25 (B)75，16 (C)60，25 (D)60，16,【解析】选D.当A4时， 解得c=60，A=16; 当A4时，,3.(2011江苏高考)已知实数a0，函数 若f(1-a)=f(1+a)，则a的值为_. 【解析】当a0时，1-a1,1+a1,由f(1-a)=f(1+a)可得 2-2a+a=-1-a-2a，解得a= ，不合题意； 当a0时，1-a1,1+a1,由f(1-a)=f(1+a)可得-1+a-2a= 2+2a+a，解得 答案：,4.(2011湖南高考)给定kN*，设函数f：N*N*满足：对于任意大于k的正