振型的正交性

1、4、多自由度系统的振动、多自由度非阻尼自由振动模式下正交多自由度强制振动杆结构的有限元动态分析多自由度时程分析方法的结论和讨论，、将许多工程问题转换为单自由度问题计算，但为了充分分析精度，还需要对一些问题进行多自由度分析。在等效粘性阻尼理论下，第二章理论上是阻尼矩阵C=Cij，Cij表示由j自由度单位速度引起的I自由度方向上的阻尼力。但是Cij一般不能肯定。目前，多自由度问题分析首先寻找无阻尼自由振动，确定频率、模式等动态特性，然后利用模式正交性，假设阻尼矩阵也是正交条件，通过模式分解，将多自由度分析解决为单自由度问题的组合。再次体现了将未知问题转化为已知问题的研究方法和想法。复杂的载荷情况，

2、如地震地面运动等离散载荷，必须用时程分析方法或随机振动理论解决(第6章)。因此，首先介绍未衰减的自由振动。4.1多自由度阻尼无自由振动，多自由度运动表达式设置为a Sint，备用运动表达式设置为(-2 m k) a Sint=0系统要使用非零振动解决方案，必须执行以下操作二阶n阶方程由方程(1)展开，对于一般建筑工程结构，解n个实际等角根是系统的频率。但通常从样式(2)开始。4.1多自由度阻尼无自由振动，样式(2)可以说是2 m a=k a (3)数学上的广义特征值问题。为了使其成为标准实对称矩阵特征值问题，需要将其变形如下：M=(M1/2)tM1/2(4)M1/2 A = X 的 A =(2

3、 x=D x (9)，4.1多自由度阻尼自由振动，2 x=d x (9)是实际对称矩阵标准特征值问题的表达式，由线性代数表示从数学上可以看出，建筑工程的一般问题是，在n阶特性方程(3)中，可以得到n对特性，即n个频率I和I对应的模式Ai。按I键排列从最小到最大的结构。1和A1分别称为第一频率(默认频率或默认频率)，第一模式。其他依次称为第二、第三和其他频率、模式。任意n自由度问题自由振动解决方案，结论，2自由度问题可以按上述解决方案，思路来解释。对于4.1多自由度阻尼自由振动无，2自由度问题，可以用刚度方法生成特定问题的运动方程，也可以用柔性方法生成。因此，教材中对刚度方法和灵活性方法进行了具

4、体讨论，给出了频率、模式和刚度系数、质量关系和灵活性系数以及与质量的关系。这些公式可以背得更好，但我认为不背也没关系。关键是记住以下几个基本概念：(1)在没有阻尼的自由振动下-M=Ku，即惯性力和弹性恢复力平衡，并且是相同的相位。因此，如果将振幅设置为A，则样式(3)也可以通过热惯性力、恢复力的振幅方程获得。(2)如果基于柔性方法，则位移将由惯性力(例如，同相)引起，您也可以直接生成振幅表达式a=2 f M a (10) 3)在确定特定问题后，M，K，4.1多自由度阻尼无自由振动，4) 2自由度问题n=2。展开特征方程式取得二次频率方程式，该方程式可根据特定刚性、灵活性系数和质量取得频率1和2

5、。5)频率1和第二代返回特征表达式只能获得与特定频率相对应的位移比率(同阶表达式只能获得比率)，如果将其“规格化”以使最大值等于1，则将获得模式形状。6)自由振动的一般解决方案可以通过每个频率的简单谐波振动解决方案叠加来获得，振幅、相位由质量的初始位移、初始速度(n个自由度有2n个初始条件)确定。总之，如果有M、K或f，剩下的任务主要是数学运算。但是要想掌握，就要去SMCAI kai再看几个例子，多练习。仅限于学校，这里不举例。4.2模式的正交性为I2 m a I=k a I，J2 m a j=k a j前面左侧相乘aJ2 m a J2为(I2-J2) a JT m a I=0 (11)，J2

6、为a JT m a考虑到J2 m a j的物理意义是jj模式相对应惯性力振值，样式(12)指示j模式相对应惯性力在第I模式位移下不起作用。起始格式(12)和特征表达式可以立即证明AjTKAi=0 (13)在第I模式位移下，第j模式对应的弹性恢复力不起作用。4.2模式的正交性、样式(12)和样式(13)在数学上是质量、刚度的不同模式类型的正交性。换句话说，模式造型具有正交性。I模式幅度方程式中的I2 a it m a I=a it k a I (14)直接对应于Mi *= A iTMI2=ki */mi * (17)，即I频率的平方可以得到宽刚度和质量，例如单个自由度。样式(12)和(13)是最

7、基本、最常用的正交关系。4.2模式的正交性是I2 m a I=k a I (a)两侧的AjTKM-1同时向左相乘，因此I2 a想想怎么拼。这是更常见的正交关系。4.2模式正交性、样式(12)和(13) 或样式(18)和(19)正交性在多自由度分析中起着非常重要的作用，因此需要深入理解。使用正交性，您可以：1)在正确确定K、M之前，可以使用它来验证模式计算的准确性。(2)在已知模式K、M的条件下，可以找到模式形状的相应频率。3)正交性可用于将任意位移分解为振动类型的部件。例如，如果有偏移y，您可以将y=ci a I，ci设定为关连系数。等式两侧的AjTM同时向左相乘，结果为AjTMy=cjMj*

8、 (d)，因此得出合并系数CJ，y=ci a I，4.2模式正交性，4)使多自由度问题成为单自由度问题，可以解决此问题。实际上，如果您设定u (t)=yi (t) a I来取代运动方程式，则m I (t) a I k yi (t) a I=请自己想想怎么决定。6)正交性是强迫振动分析的基础。4.3.1多自由度的强制振动，4 . 3 . 1多自由度强制振动的模式分解方法多自由度随机载荷下的运动方程将u=yi(t) a I(即位移分解为每种模式类型的组合系数yi(t)称为广义坐标。然后m I (t) a I c I (t) a I k义(t) a I=p (t)(为此，通常将ray Leigh(R

9、ayleigh)比例阻尼称为c=0 m 1 k (22)。也就是说，阻尼与系统质量、刚度成正比，0比1可用模式正交性由阻尼比I、j和频率I、j确定(工作)。具有4.3或更大自由度的强制振动，AiTCAi=Ci* (23)表达式(A)的两侧同时向左乘以AiT，Mi * I(t)CCII模式广义载荷为AiTP(t)=Pi*(t) (25)时，(24)是广义坐标y(t)的单自由度表达式mi * I (t) ci *。4.3多个自由度的强制振动，如果P(t)=Pf(t) (27)，则为Pi*(t)=AiTPf(t)mi * I(t)ci * I(t)ki * yi(t)=I mi * f(t)(29)

10、或I (t) 2 iii (t) i2yi()I (t)称为I模式广义位移。(31)，(32)，(4.3以上自由度的强制振动，4.3.2谐波载荷下强制振动反应的动态载荷p (t)=p Sint (33)由(28)参与每个振动类型的模式如果仅讨论稳态振动，则认为I=I，d(忽略阻尼对频率的影响)，基于单个自由度的结果，广义位移为I (t)=isian (it-I)/I2 (34)样式(34)tgi=2i/I (1-I2) (36)将(34)设置为u=ii (t) a I， u(t)=，4.3多自由度强制振动，4.3.3简单谐波载荷强制振动响应分析步骤动态载荷为p Sint 或p cost时为1)

11、系统质量M，刚度K(或灵活性f)2)找到未衰减的自由振动的模式Ai，频率I。3)使用衰减比1、2和频率1、2查找瑞利阻尼的0和1。4)找到I型模式参与系数I=a it p/a it m a I。(5) I模式衰减比I=1/2 (0/I 1i) 6) I模式功率系数I=(1-I2) 2 4i2i 2-1/2。7)找到I模式拓扑角度I=arctg 2i/I (1-I2)。找到8) I模式广义位移I (t)=isin (it-I)/I2。(9)再次用u=ii (t) a I替换每个模式的广义位移时，最终结果u (t)=iisin (it-I)/I2 a I杆单位密度使用微段惯性力-a adx作为体积力时，此单位负载的总虚拟作业为，(38)，单位均匀质量矩阵me，(39)，4.4杆结构的有限元动态分析，形式(39)的几何函数和积分，4.4杆结构的有限元动态分析，使用虚拟位移原理(无阻尼)的单位分析可以得到单位刚