第十三章-振动分析的矩阵迭代法.ppt

1、,第十三章,高等结构动力学,振动分析的矩阵迭代法,13.1 引言 13.2 基本振型分析 13.3 收敛性的证明 13.4 高阶振型分析 13.5 用矩阵迭代法分析屈曲 13.6 逆迭代法首选的方法 13.7 移位逆迭代法 13.8 特殊特征值问题概述 13.9* 自由度的缩减 13.10* 矩阵迭代的一些基本概念,第十三章 振动分析的矩阵迭代法,13.1 引言,振型位移叠加法提供了一种计算结构动力反应的有效方法，即无阻尼振型用于对结构运动方程组解耦。 问题如何获得结构的无阻尼振型？ Stodola法以迭代为基础，先假定初始振型并迭代调整至实际振型的适当近似,再由运动方程确定振动频率.,13.

2、1 引言,13.2 基本振型分析Stodola法,（13-1）,（13-2）,(13-3),13.2 基本振型分析Stodola法,(13-4),或者用式（13-1）则为,可记作,13.2 基本振型分析Stodola法,(13-5),(13-5a),先假定试探形状,它尽可能接近第一振型的形状,而振幅是任意的,即：,13.2 基本振型分析Stodola法,考虑任一点k的位移,(13-6*),(13-7*),（13-9）,13.2 基本振型分析Stodola法,(13-11),取平均值求频率的近似值,(13-10),真正的第一振型频率介于上式求得的最大值和最小值之间:,13.2 基本振型分析Sto

3、dola法,重复上述过程s次，能求得较近似的解,即s次循环之后,(13-12),(13-13),13.3 收敛性的证明,最初假定的形状用正规坐标表示为,(13-14),第一振型频率的振动形状所对应的惯性力为,（13-15）,(13-16),13.3 收敛性的证明,13.3 收敛性的证明,由这些惯性力产生的挠度是,(13-17),(13-18),或,13.3 收敛性的证明,（13-19）,则由(13-17)可写为,然后，用最大的基准元素 去除 ，使之规格化，从而得到改进的第一次迭代循环的形状 ，因此,（13-20）,13.3 收敛性的证明,用同样方法做下一次迭代循环得到第二次循环产生的形状,（1

4、3-21）,(13-22),s次循环后,13.3 收敛性的证明,(13-23),该方程最后一个等号成立,第一振型的系数远大于其它的系数.,最终结果可视为,(13-24),13.3 收敛性的证明,收敛性的证明（第2种方法）,迭代格式,即:,13.3 收敛性的证明,13.3 收敛性的证明,由(11-39)得,(13-25*),（13-26*）,作下一次迭代循环得到第二次循环产生的挠度,(13-27*),则由(13-17)可写为,13.3 收敛性的证明,s次循环后,(13-28*),(13-23),该方程最后一个等号成立,第一振型的系数远大于其它的系数.,13.4 高阶振型分析,第二振型分析,(13

5、-23*),假定一个第二振型,(13-25),则,(13-26),展开(13-21)得,13.4 高阶振型分析,13.4 高阶振型分析,不包含第一振型的试探形状为,由于振型正交特性则,(13-28),(13-27),13.4 高阶振型分析,(13-29),在这种情形中,(13-5)能写成,(13-30),其中,(13-31),在试探向量中消除第一振型分量的方便方法是 应用淘汰矩阵S1,13.4 高阶振型分析,其中,代入(13-31)得,(13-34),(13-32),此时可用下式计算频率,(13-33),13.4 高阶振型分析,第三和更高振型的分析,净化了的第三振型的形状为,(13-35),利

6、用正交特性,13.4 高阶振型分析,代入(13-35)得,则,(13-36a),(13-36b),或,13.4 高阶振型分析,由第一淘汰矩阵减去第二振型的项可得第二淘汰矩阵,(13-38),第三振型的Stodola关系式为,(13-39),其中淘汰矩阵的运算表示为,(13-40),13.4 高阶振型分析,求第四振型计算第三淘汰矩阵,(13-43),(13-41),相应的动力矩阵,(13-42),依次类推,13.4 高阶振型分析,最高振型的分析,由(13-1)式得,(13-44),若代入最高振型的试探形状,(13-45),（13-46）,13.4 高阶振型分析,其中,第N振型频率的近似值为,证明

7、最高振型收敛与最低振型收敛的区别是,（13-47a）,（13-47b）,(13-48),13.5 用矩阵迭代法分析屈曲,(13-49a),(13-49b),(11-24),当结构上作用轴向力,并假定轴向力不随着结构振动变化时, 可采用求特征值和特征向量的Stodala迭代方法,振动频率趋于零时,静力特征方程为,13.5 用矩阵迭代法分析屈曲,13.5 用矩阵迭代法分析屈曲,假设第一屈曲形式的试探向量,迭代过程如下,较高屈曲形式要考虑正交条件,(13-50a),(13-50b),(13-51),(13-52),13.5 用矩阵迭代法分析屈曲,传递矩阵法,状态向量,用符号表示为,传递状态向量的点矩

8、阵可通过下式确定,（13-53b*）,用符号表示为,（13-54b*）,（13-53a*）,（13-54a*）,13.5 用矩阵迭代法分析屈曲,合并点矩阵和场矩阵得整段的传递矩阵,或代入(13-53*)和(13-54*)求传递矩阵得,(13-55*),(13-56*),13.5 用矩阵迭代法分析屈曲,例如 用顶层的状态向量基础的状态向量,若定义,（13-59*）,（13-57*）,（13-58*）,(13-57*)可写为,13.5 用矩阵迭代法分析屈曲,Holzer-Myklestad法,图中假定质量沿轴线集中在一系列点上,结构的自由度是这些点的侧向平移和转动,假定连接质点的梁段没有重量,且每

9、一段的弯曲刚度为常量.考虑场矩阵和点矩阵,如下图,图13-5* 弯曲体系的自由度,13.5 用矩阵迭代法分析屈曲,图13-6* 在梁结构中用场和点矩阵联系的状态向量,13.5 用矩阵迭代法分析屈曲,场矩阵关系式为,(13-60a*),13.5 用矩阵迭代法分析屈曲,(13-60b*),(13-61a*),或用符号表示为,点矩阵对应的向量,13.5 用矩阵迭代法分析屈曲,完整的传递矩阵为,(13-61b*),(13-62*),或用符号表示为,13.5 用矩阵迭代法分析屈曲,对于(14-59a)展开,(13-63*),13.5 用矩阵迭代法分析屈曲,或用将边界条件代入上式,如图14-5的简支梁,每

10、一端的弯矩和 位移为零,则上式变为,代入单位转动振幅,得方程,(13-64*),13.5 用矩阵迭代法分析屈曲,能确定相应的剪力值如下,(13-65*),再由第二个方程给出自由振动条件:,13.5 用矩阵迭代法分析屈曲,注意这个分析过程中N点的边界条件一开始就代入到传递矩关系中,即,(13-66*),(13-67*),13.6 逆迭代法首选的方法,逆迭代法是利用刚度矩阵窄宽性质的首选方法，因为它应用刚度矩阵的逆矩阵，所以此方法向最低阵型收敛,与直接迭代法一样，指定初始假定位移向量 ，便可类似于式(13-6)的表达式给出此假定位移形状作简谐运动的惯性力然而，由于随后要用规格化步骤效应剔除掉，所以

11、此式中频率被假设为 ，而作为结果的惯性力被表示为,(13-53),13.6 逆迭代法首选的方法,13.6 逆迭代法首选的方法,现对这些惯性力作用的结构平衡方程组求解，得到这些惯性力的改进位移向量 ，即,求解这些方程组的一条途径是通过就刚度矩阵的逆矩阵得到柔度矩阵 ，再用这个柔度矩阵乘以惯性力,(13-54),实际上这个方法完全等同于直接迭代分析，如前面解释的，由于需要求逆，还要乘以一个满的柔度矩阵，这将导致计算效率低下,13.6 逆迭代法首选的方法,在这里推荐的逆迭代法中，首先用auss消元法分解刚度矩阵成如下形式，然后求解平衡方程(13-54),(13-55),将式(13-55)代入方程(1

12、3-54),得到,(13-54a ),然后分如下两步进行求解：,(1) 定义,(13-56),13.6 逆迭代法首选的方法,并下式求解,(13-57),(2) 由下式求解,(13-58 ),如上所述，然后将这个导出的向量 用其中的最大单元相除进行规格化，从而得到第一次迭代循环的结果，即改进的第一振型：,(13-59),13.6 逆迭代法首选的方法,重要的是注意，三角矩阵和中保留了刚度矩阵k的窄宽特征，因此与直接矩阵迭代使用的柔度矩阵形式相比，这个逆位移分析方法的效率大大提高,因为，此逆迭代法与前述的直接迭代法的区别在于：它是跟高效率的，用来计算导出位移向量 的auss 分解技术。所以，如果以前

13、用来计算 的式(13-7)被上述联立方程(13-54a)的解所取代然而，虽然这个区别看起来很小，但是基于式(13-54a)到式(13-58)的逆迭代法却具有巨大的计算优势,13.7 移位逆迭代法,在发展了的计算高阶振型振动性质的其他方法中，有效的方法之一是基于特征值“移位”概念的方法,将特征值问题方程表示为式(13-5)柔度形式的求逆问题：,13.7 移位逆迭代法,(13-60),(13-61),移位的基本概念是把每一个特征值 表示成移位 和余量 之和，即,(13-62),13.7 移位逆迭代法,或者,(13-63),如图13-2所示，移为可以想象成在特征值图形上原点位置的移动它的作用是将实际

14、特征值的分析转变为余量的分析,图13-2 在特征值轴上一个移位的说明,13.7 移位逆迭代法,把(13-63)代入(16-61),这个新的特征值问题可以按照与上面描述的类似方法采用逆迭代求解,它可重写为,(13-64),(13-65),13.7 移位逆迭代法,或者通过比较式(13-22),它可写成,(13-66),13.7 移位逆迭代法,这里 表示成最小的余量特征值，即,(13-67),和,计算的振型收敛于,13.7 移位逆迭代法,对于图13-2的情形，就收敛到第二振型类似于(13-13)，可见该振型的余量特征值等于规格化以前算得的特征向量的最大项：,(13-68),因此实际特征值由它加上移位

15、值而得到,从式(13-11)能够推导出一个很好的近似位移点的公式,(13-69),13.7 移位逆迭代法,所推荐的利用移位的逆迭代分析方法，其运算过程与在13-6节所述的没有利用移位的情况几乎相同，首先从如下形式特征值问题开始,可以改写为,(13-71),(13-70),记,将上式代入(13-70)，然后开始求解位移的迭代过程,(13-72),13.7 移位逆迭代法,为在联立方程求解过程中利用 的窄带特性，用Gauss消元法将其简化为上三角和下三角矩阵形式,(13-73),然后，求改进位移的两个步骤等同于前面所述的式(13-56)和(13-58)，第一轮迭代的最终形状 通过式(13-59)所示

16、的规格化来获得,13. 特殊特征值问题概述,在此，采用描述振动惯性力和弹性恢复力相平衡的无阻尼自由振动方程，作为基本特征值方程，则对于第“n”振型有,(13-74),13. 特殊特征值问题概述,(13-75),13. 特殊特征值问题概述,由质量矩阵的逆矩阵乘以式(13-74)可以得到另一个主要的特征值问题的列式，其结果等同于式(13-60)，即,(13-76),式(13-76)通常用于逆迭代过程,但这里将其表示为,13. 特殊特征值问题概述,动力矩阵按特征特性的展开,(13-77),对转置 特征值问题可以写为,一个值得提及的特征值问题的概念是，将一个矩阵用其特征值和特征向量进行展开,(13-7

17、8),13. 特殊特征值问题概述,(13-79),由式(13-79)减去式(13-80)可得,用特征向量 前乘式(13-77)，即,(13-80 ),(13-81 ),它表明了正交特性,13. 特殊特征值问题概述,如果将特征向量规格化以满足 的条件，并令全部右和左的方阵分别为 和 ，从规格化和正交条件，显然有,(13-82a ),(13-85 ),(13-82b ),(13-83 ),(13-84 ),这个结果也能表示成各振型贡献之和：,(13-86 ),13. 特殊特征值问题概述,此外，矩阵的平方是,(13-86 ),(13-87 ),必须记住式(13-87) 的展开式是建立在特征向量已规格

18、化的基础上只要再引入一个附加的规格条件，就能得到左特征向量的一个特殊表达式例如，,(13-88 ),(13-89 ),(13-90 ),13-8 特殊特征值问题概述,动力矩阵的对称形式,一般的振动特征问题,把质量矩阵分解成一个矩阵与它的转置的乘积来求得转换矩阵,可采取对角质量矩阵和一致质量矩阵,转换成标准对称形式,（13-142*）,（13-143*）,13-8 特殊特征值概述,对角质量矩阵,令,（13-144*）,(13-145*),则,一致质量矩阵,(13-146*),(13-147*),(13-148*),13.9* 自由度的缩减,13.9* 自由度的缩减,离散质量的配置,自由振动运动方

19、程写成形式为,(13-68*),对质量和刚度矩阵作分割得,(13-69*),13.9* 自由度的缩减,假设为集中质量体系,用静力凝聚得振动方程,(13-70*),采用柔度形式可写为,(13-71*),13.9* 自由度的缩减,离散坐标体系中的Rayleigh法,自由振动中的速度向量为,采用假设的形状和广义坐标来表示结构的位移,（13-72a*）,（13-72b*）,13.9* 自由度的缩减,结构的最大动能和位能为,(13-73a*),(13-73b*),将(13-72*)求得的值代入,（13-74a*）,（13-74b*）,13.9* 自由度的缩减,将改进的Rayleigh法写成矩阵形式,取初

20、始位移为:,（13-76*）,使最大动能等于最大位能求得频率为,(13-75*),13.9* 自由度的缩减,将上式代入(13-73*)可得改进的Rayleigh法表态式为,(13-77*),由这些惯性力引起的挠度为,(13-78*),(13-79*),则自由振动产生的惯性力为,13.9* 自由度的缩减,Rayleigh-Ritz法,Ritz法的基本假设为,由非零力自由度表示的全部位移为,(13-80*),13.9* 自由度的缩减,把(13-80*)代入(13-73*)得体系的最大动能和位能为,（13-81a*）,（13-81b*）,令它们相等求得频率为,(13-82*),13.9* 自由度的缩

21、减,将频率表达式对任一广义坐标微分并令其为零,再由(13-82*)得,(13-83*),(13-85a*),(13-84*),13.9* 自由度的缩减,类似地,(13-85b*),将(13-85*)代入(13-84*)并转置得,(13-86*),依次对每一个广义坐标使频率最小,则整组方程可表示为,13.9* 自由度的缩减,则得,采用符号,（13-87a*）,（13-87b*）,(13-88*),13.9* 自由度的缩减,(13-87*)是广义质量和广义刚度,其每一个元素是一个广义质量和广义刚度项,即,(13-88*)应用前面讨论的行列式解法,对于只有少量的广义坐标的体系得到的对低振型精度高,但

22、对高振型的精度就很差.应将振型向量规格化.,（13-89a*）,（13-89b*）,13.9* 自由度的缩减,用振幅表示广义坐标,这些振型对于广义质量和广义刚度是正交的,将式(13-90*)代入(13-80*),几何坐标就能用规格化振型坐标来表示为,（13-90*）,（13-92*）,13.9* 自由度的缩减,可见,几何坐标中的近似振型为假定的形状与广义坐标振型之积,前面的Rayleigh法的改进方式也适用于Rayleigh-Ritz法,（13-93*）,13.9* 自由度的缩减,由初始形状所对应的惯性力产生的挠度为,前面的Rayleigh法的改进方式也适用于Rayleigh-Ritz法,用改

23、进了的广义坐标刚度和质量矩阵来代替(13-87*),（13-94a*）,（13-94b*）,（13-95*）,13.9* 自由度的缩减,则(13-94*)即可写为,Stodola分析只能产生一个振型和频率,而连续使用Ritz改进过程能同时求得一组缩减了的振型和频率.这个方法叫做子空间迭代.,（13-96a*）,（13-96b*）,13.10* 矩阵迭代的一些基本概念,13-10* 矩阵迭代的一些基本概念,式(13-43*)写成,(13-97*),(13-98*),(13-99*),(13-100*),13.10* 矩阵迭代的一些基本概念,式(14-99*)减去(14-100*)得,(13-101*),它表明了正交特性,13.10* 矩阵迭代的一些基本概念,几个重要结论,(13-104*),(13-105*),(13-105a*),(13-106*),(13-107*),(13-110*),13.10* 矩阵迭代的一些基本概念,特征问题的迭代解,正分析假定最高振型为,(13-111*),(13-112*),(13-113*),(13-114*),13.10* 矩阵迭代的一些基本概念,把(14-107)和(14-111)代入(14-114)得,(13-115*),13.10* 矩阵迭代