实二次型及其标准型

1、6.1实二次型及其标准形，一、二次型及其矩阵，二、合同变换，三，配法中，二次型为标准形，四，正交变换中，二次型为标准形，返回，一、二次型及其矩阵称为n元二次型，aij为实数时称为实二次型，aij为多个时称为复二次型xn)=XTAX.AT=A A:的二次型f(x1，xn )的矩阵.例如，1f(x1，x2，x3)=x123x2x32-2x1x2x2x3，A:f(x1，x2，x3 )的矩阵，在指令下，f(x1，x2，x3 )=不是x3)的矩阵，而是也记作二次型f(X)=XTAX.(AT=A )的二次型f(X )的等级： a的等级.在例1中，f(x1，x2，x3)的矩阵、R(A)=3，因此f(x1，x

2、2，x3)的等级为3.2 (2)对称性： a和b签约，b和a签约；(3)传递性： a和b签约，b和c签约，a和c签约，a和b等价： PAQ=B，p，q可逆，a和b相似： P-1AP=B，p可逆； 请考虑矩阵契约等价、类似的关系，2 .契约转换，将(1)式从y1，yn到x1， 如果设为向xn的线性变换，则(1)式是X=CY(2)，如果c是可逆矩阵，则(2)式是可逆变换，如果c是正交矩阵，则(2)式是正交变换，如果c是可逆的，则(2)式是Y=C-1X(3)，相对于二次型f(X)=XTAX，x=x 如果记为=YT(CTAC)Y .B=CTAC，则BT=B，且f(X)=YTBY=g(Y )，二次型f(

3、X )和g(Y )的矩阵a和b契约.二次型f(X )和g(Y )契约. X=CY(C可逆)为契约变换.三、配法被称为标准形，定理1任何实二次型f(X)=XTAX都可以分配为标准形，f(x1，x2，x3)=x 12 x 22 x3x 32 x2x6x2x3x3x 3，=(x 12 x1x2x1x3) x2x 22 x 32 x3=(x1x2x3)2(x 2 如果=(x1 x2 x3)2 (x2 2x3)2-2x32，则f(x1，x2，x3)=y12 y222y32，例2通过配法使二次型成为标准形，即，(1):从x1，x2，x3向y1，y2，y3的线性变换由(1)和(2)表示的x1、x2、x3与y

4、1、y2、y3的关系相同，例如3f(x1，x2，x3)=2x1x2 2x1x3-6x2x3，在指令中f(x1，x2，x3)=2y122y224y1y3 8y2y3，=2(y122 y1 y3 )-2y 22 8y2y3=2(y1y3 )2-2(y22-4y2y3)-2y 32、=2(y1y3)2-2(y2-2y3)2 6y32、=2z122z22 6z32，上式最后使用的转换为f=2z 122 z22 将=XTAX用合同转换为标准形后，以正项为前汇总的负项集中在后： d1y12 dpyp2-dp 1yp 12-dryr2上，得到f(X)=XTAX的另一种形式是z12zp12-zr2，被称为规范

5、形，定理2的任何实二次型的规范形都是唯一的p:正惯性指数； r-p:负的正惯性指数，|r-2p|:符号差.z12zp 12- zr2，4，正交变换将二次型设为标准形，定理3所有n元实二次型f(X)=XTAX都是正交变换X=CY，标准形1y12 2y22 nyn2中的1，2，n为a的由于a是n次实对称矩阵，所以存在正交矩阵c，如果设ctac=c-1ac=diag (1，2，n )，X=CY，则f(X)=YTCTACY=1y12 2y22 nyn2，例4通过正交变换将二次型变换成标准形，f(x1，x2， x3 )=x12-2x 22-2 x32-4x 1x 24 x1 x38x 3，解，f(x1，x2，x3 )的矩阵特征量：1=2(双重特征量)，2=-7，1=2的特征向量：x1 2x2-2x3=0，特征向量：1