第2章静电场分析2010

1、第二章静电场分析，21静电场的基本规则，22静电场的边界条件，23泊松方程和拉普拉斯方程，24唯一性定理，25导体系统的电容，26静电场的能量和力，27恒定电场(恒定电流场)，28静电场的应用，21静电场的基本规则，当电荷连续分布在一定的空间体积中时，空间中电荷的分布特征用体积电荷密度来描述。体积电荷密度定义为在空间某一点单位体积的电荷量，即211电荷和电荷分布。电荷是静电场的来源。根据电荷分布区域的具体条件，可以使用体积电荷密度(电荷可以连续分布在一个体积中)、表面电荷密度(可以连续分布在一个平面上)和线电荷密度(或者连续分布在一条线上)。)来描述电荷在空间体积、曲面和曲线中的分布。当然，电

2、荷也可以集中在空间的某一点。如图所示。电荷分布由电荷密度来描述。1体积电荷密度，电荷在非常薄的层空间中的连续分布可以被视为表面电荷分布，例如导体表面和电介质表面上的电荷分布。表面电荷密度用来描述表面电荷的分布特征。表面电荷密度定义为在某一点单位面积上的电荷量，也就是说，它的单位是C/m2。是空间位置的连续函数，表面电荷密度的单位是C/m3。它是空间位置的连续函数，描述了电荷在空间中的分布，并构成标量场。如果在电荷分布空间中取任何微小的体积，这个体积元素的电荷量为，单位为C/m，某一曲线L上的总电荷量可以通过线积分得到。三线电荷密度将半径非常小的管状空间中的电荷分布视为线性电荷分布。线性电荷密度

3、用来描述线性电荷的分布特征。线性电荷密度被定义为在某一点每单位长度的电荷量，也就是说，它描述了电荷在某一曲面上的分布，并构成一个标量场。点电荷的体积电荷密度可以通过计算某一曲面上的总电量、直线上的线性元件电量和曲面上的元件电量来用函数表示。对于点电荷，空间任意体积V中的总电量Q可以由下式给出。四点电荷和点电荷的函数表达式表明点电荷是电磁场理论中的一个理想模型。点电荷的电量是Q，所占体积是一个接近零的几何点。显然，点电荷所在的体积电荷密度接近无穷大。为了定量描述点电荷的分布，定义了函数212的场强和电势。电场强度是一个向量，在空间中构成一个向量场，所以我们可以通过研究向量场来研究静电场，如电力线

4、、高斯定理、回路定理、向量场的散度、向量场的旋度等。空间某一点的势的定义是电场强度和势是研究静电场的两个基本物理量。空间某一点的电场强度定义为单位正测试电荷在该点施加的电场力，其中P是要计算的场点，Q是电势的参考点。潜在参考点的选择：1)选择参考点使潜在表达尽可能简单和有意义。2)电荷在有限的区域内，无穷远点是参考点。3)电荷被分配到无穷远，并且有限区域中的任何点被选择作为参考点。4)对于同一物理问题，参考点应统一。一般来说，选择一个固定点，并将其电位设置为零。这个固定点称为参考点。满足以下关系：势是标量，构成空间中的标量场，所以静电场也可以用研究标量场的方法来研究，如等电位面、势梯度、泊松方

5、程、拉普拉斯方程等。两点之间的电位差称为电压，可以写成：5) Th静电场的基本方程包括高斯定理和回路定理，立体角，如图2.1所示，立体角的单位是球度。面向球体中心的整个球体的立体角，图2.1球体上面板与球体中心的立体角，球形度。本文从半径为r的球面中选取一个平板，平板边缘上的每一点与球面中心的连线构成平板与球面中心的立体角。为了证明公式(2.17)，首先引入立体角的概念。图2.2中任何一个面与一个点的立体角都是以o点为球面的中心，以o点到dS的距离r为半径构成一个球面，这是dS在球面上的投影，如图2.2所示。为了计算任何不在球面上的面元到点(O点)的立体角，任意形状的封闭面到点O的立体角。如果

6、O点在封闭面上，可以在以O点为球心的封闭面上生成球面。如图2.3(a)所示，可以看出封闭面与0点的立体角等于球面与0点的立体角，即4。如果O点在封闭表面之外，如图2.3(b)所示。从O点到封闭面做切线，所有切点形成的曲线将封闭面分为两部分：S1面和S2面，S1面对O点的立体角为1，为负；S2面对O点的立体角是2，它等于并且不同于1，所以整个封闭表面到O点的立体角，图2.3，(a)O点在封闭表面内，(b)O点在封闭表面外，O，证明高斯定理(2.17)，其中平板dS到点电荷q0的立体角是封闭的。如果电荷q0在封闭平面内，立体角为4，如果电荷q在封闭平面外，立体角为零。因此，方程(2.21)可以写成

7、：首先，我们研究无界真空中只有一个点电荷的情况。如果在无界真空中有n个点电荷q01、q02、q0k、q0N，并且封闭表面中的点电荷是q01、q02、q0k，那么穿过封闭表面s的电位移通量是，尽管空间中每个点的di等于它。n点电荷产生n d，只有k点电荷被封闭表面包围。0、(2.22)、(2.25)表示某一点的电位移矢量d的空间变化率等于该点的电荷体积密度0。等式(2.23)可以推广到体电荷、表面电荷和线电荷的情况。当电荷以体积密度分布时，等式(2.23)的右侧变为整数。利用散度定理，方程(2.23)可以写成：因为S是一个任意的封闭表面，高斯定律的微分形式是积分形式和高斯定律的微分形式，通过任何

8、封闭表面的电通量等于封闭表面所包围的净电荷。当积分路径是一个闭环，即两点A和B重合时，可以得到沿图2.4E曲线的积分。下面证明了公式(2.18)。取点电荷q电场中的任意曲线，连接点a和点b，如图2.4所示。沿着这条曲线求场变量E(r)的积分、投影和投影，也就是说，当电荷q在电场中移动一次并回到起点时，电场力的功为零，电场能量保持不变，这表明静电场是一个保守场。公式(2.27)的微分形式可以用斯托克斯定理写成。上述公式(2.27)是由点电荷电场得到的结论，可以很容易地推广到具有任意电荷分布的电场，因此公式(2.27)代表静电场的一个共同特征。以电场力作功为例，当测试电荷Q在电场中沿闭环运动时，电

9、场力作功由公式(2.25)和(2.28)给出，静电场的性质完全由亥姆霍兹定理确定。矢量场是由其发散和旋转唯一决定的。2.1.4场强和电势的计算。电荷场强连续分布：1方法1步骤1:利用点电荷场强公式和场强叠加原理计算E点电荷场强。电荷连续分布包括线分布、面积分布和体积分布。对于线，例2.1真空中有一个电偶极子，如图2.5所示。电偶极子由一对点电荷组成，一个是正电荷，另一个是负电荷，其中P是要计算的电势的场点，Q是电势的参考点。如果电荷分布在一个有限的区域，则通常取无穷大作为参考点。如果电荷不是分布在有限的区域，则应根据具体情况选择参考点。图2.5，解法：选择球面坐标系，点电荷的场强为0，正负点电

10、荷之间的距离很小，它是一个微分线元L，试着在这个距离上找出电偶极产生的场强。步骤2:其中。利用幂级数的展开式，(1.101)用于上面的推导。电偶极子在p点产生的场强为，可以写成，定义为电偶极子的电矩矢量，其方向指定为从Q指向Q.方程(2.38)可写成：将上述方程代入方程(2.37)，例2.2，图2.6例2.2，解：采用圆柱坐标，使线电荷与z轴重合，原点位于线电荷的中点。电荷和电场的分布是轴对称的，所以电场的分布只能在一个恒定的平面上计算。如图2.6所示，点p处直线上的线性电荷产生的场强为l，真空中长度为l的直线上的线性电荷密度为l，并计算该线性电荷周围的电场。点电荷，点电荷，点电荷，点电荷，点电荷，点电荷，点电荷，点电荷，点电荷。上面的公式可以分解成两个标量积分，而分量的积分是，所以在(2.41)和(2.42)中分量的积分是1和2，是用矢量形式写的。方法1点评：该方法需要向量叠加或积分，操作复杂。如果均匀带电的直线在两端无限延伸并变成无限长线电荷，它周围的电场可以从公