第3章微分中值定理与导数的应用

1、第三章,中值定理,应用,研究函数性质及曲线性态,利用导数解决实际问题,罗尔中值定理,拉格朗日中值定理,柯西中值定理,泰勒公式,微分中值定理,与导数的应用,一、罗尔(Rolle)定理,第一节,机动目录上页下页返回结束,二、拉格朗日中值定理,三、柯西(Cauchy)中值定理,中值定理,第三章,一、罗尔（Rolle）定理,满足:,(1)在区间a,b上连续,(2)在区间(a,b)内可导,(3)f(a)=f(b),使,机动目录上页下页返回结束,1)定理条件条件不全具备,结论不一定成立.,例如,机动目录上页下页返回结束,注意:,使,2)定理条件只是充分的.,本定理可推广为,在(a,b)内可导,且,在(a,

2、b)内至少存在一点,证明提示:设,证F(x)在a,b上满足罗尔定理.,机动目录上页下页返回结束,例1.证明方程,有且仅有一个小于1的,正实根.,证:1)存在性.,则,在0,1连续,且,由介值定理知存在,使,即方程有小于1的正根,2)唯一性.,假设另有,为端点的区间满足罗尔定理条件,至少存在一点,但,矛盾,故假设不真!,设,机动目录上页下页返回结束,二、拉格朗日中值定理,(1)在区间a,b上连续,满足:,(2)在区间(a,b)内可导,至少存在一点,使,思路:利用逆向思维找出一个满足罗尔定理条件的函数,作辅助函数,显然,在a,b上连续,在(a,b)内可导,且,证:,问题转化为证,由罗尔定理知至少存

3、在一点,即定理结论成立.,拉氏目录上页下页返回结束,证毕,拉格朗日中值定理的有限增量形式:,推论:,若函数,在区间I上满足,则,在I上必为常数.,证:在I上任取两点,日中值公式,得,由的任意性知,在I上为常数.,令,则,机动目录上页下页返回结束,例2.证明等式,证:设,由推论可知,(常数),令x=0,得,又,故所证等式在定义域上成立.,自证:,经验:,欲证,时,只需证在I上,机动目录上页下页返回结束,例3.证明不等式,证:设,中值定理条件,即,因为,故,因此应有,机动目录上页下页返回结束,三、柯西(Cauchy)中值定理,分析:,及,(1)在闭区间a,b上连续,(2)在开区间(a,b)内可导,

4、(3)在开区间(a,b)内,至少存在一点,使,满足:,要证,柯西目录上页下页返回结束,证:作辅助函数,且,使,即,由罗尔定理知,至少存在一点,思考:柯西定理的下述证法对吗?,两个不一定相同,错!,机动目录上页下页返回结束,上面两式相比即得结论.,柯西定理的几何意义:,注意:,弦的斜率,切线斜率,机动目录上页下页返回结束,例4.设,至少存在一点,使,证:结论可变形为,设,则,在0,1上满足柯西中值,定理条件,因此在(0,1)内至少存在一点,使,即,证明,机动目录上页下页返回结束,例5.试证至少存在一点,使,证:,法1用柯西中值定理.,则f(x),F(x)在1,e上满足柯西中值定理条件,令,因此,

5、即,分析:,机动目录上页下页返回结束,例5.试证至少存在一点,使,法2令,则f(x)在1,e上满足罗尔中值定理条件,使,因此存在,机动目录上页下页返回结束,公式称为的n阶泰勒公式.,公式称为n阶泰勒公式的拉格朗日余项.,四、泰勒中值定理:,阶的导数,时,有,其中,则当,泰勒目录上页下页返回结束,公式称为n阶泰勒公式的皮亚诺(Peano)余项.,在不需要余项的精确表达式时,泰勒公式可写为,注意到,*可以证明:,式成立,机动目录上页下页返回结束,特例:,(1)当n=0时,泰勒公式变为,(2)当n=1时,泰勒公式变为,给出拉格朗日中值定理,可见,误差,机动目录上页下页返回结束,称为麦克劳林（Macl

6、aurin）公式.,则有,在泰勒公式中若取,则有误差估计式,若在公式成立的区间上,麦克劳林目录上页下页返回结束,由此得近似公式,几个初等函数的麦克劳林公式,其中,机动目录上页下页返回结束,其中,机动目录上页下页返回结束,类似可得,其中,机动目录上页下页返回结束,其中,机动目录上页下页返回结束,2.利用泰勒公式求极限,例3.求,解:,由于,用洛必塔法则不方便!,机动目录上页下页返回结束,思考与练习,计算,解:,原式,第四节目录上页下页返回结束,3.利用泰勒公式证明不等式,例4.证明,证:,机动目录上页下页返回结束,一、微分中值定理及其应用(内容小结),1.微分中值定理及其相互关系,罗尔定理,柯西

7、中值定理,机动目录上页下页返回结束,2.微分中值定理的主要应用,(1)研究函数或导数的性态,(2)证明恒等式或不等式,(3)证明有关中值问题的结论,机动目录上页下页返回结束,3.有关中值问题的解题方法,利用逆向思维,设辅助函数.,一般解题方法:,证明含一个中值的等式或根的存在,(2)若结论中涉及到含中值的两个不同函数,(3)若结论中含两个或两个以上的中值,可用原函数法找辅助函数.,多用罗尔定理,可考虑用,柯西中值定理.,必须多次应用,中值定理.,(4)若已知条件中含高阶导数,多考虑用泰勒公式,(5)若结论为不等式,要注意适当放大或缩小的技巧.,有时也可考虑对导数用中值定理.,机动目录上页下页返

8、回结束,内容小结,1.微分中值定理的条件、结论及关系,罗尔定理,拉格朗日中值定理,柯西中值定理,2.微分中值定理的应用,(1)证明恒等式,(2)证明不等式,(3)证明有关中值问题的结论,关键:利用逆向思维设辅助函数,机动目录上页下页返回结束,思考与练习,1.填空题,1)函数,在区间1,2上满足拉格朗日定理,条件,则中值,2)设,有,个根,它们分别在区间,机动目录上页下页返回结束,上.,方程,2.设,且在,内可导,证明至少存,在一点,使,提示:,由结论可知,只需证,即,验证,在,上满足罗尔定理条件.,设,机动目录上页下页返回结束,3.若,可导,试证在其两个零点间一定有,的零点.,提示:,设,欲证

9、:,使,只要证,亦即,作辅助函数,验证,在,上满足,罗尔定理条件.,机动目录上页下页返回结束,备用题,求证存在,使,1.设,可导，且,在,连续，,证：,因此至少存在,显然,在上满足罗尔定理条件,即,设辅助函数,使得,机动目录上页下页返回结束,设,证明对任意,有,证：,2.,不妨设,机动目录上页下页返回结束,例1.设函数,在,内可导,且,证明,在,内有界.,证:取点,再取异于,的点,对,为端点的区间上用拉氏中值定理,得,(定数),可见对任意,即得所证.,机动目录上页下页返回结束,例2.设,在,内可导,且,证明至少存在一点,使,上连续,在,证:问题转化为证,设辅助函数,显然,在0,1上满足罗尔定理

10、条件,故至,使,即有,少存在一点,机动目录上页下页返回结束,例3.,且,试证存在,证:欲证,因f(x)在a,b上满足拉氏中值定理条件,故有,将代入,化简得,故有,即要证,机动目录上页下页返回结束,例4.设实数,满足下述等式,证明方程,在(0,1)内至少有一,个实根.,证:令,则可设,且,由罗尔定理知存在一点,使,即,机动目录上页下页返回结束,例5.,机动目录上页下页返回结束,设函数f(x)在0,3上连续,在(0,3)内可导,且,分析:所给条件可写为,(03考研),试证必存在,想到找一点c,使,证:因f(x)在0,3上连续,所以在0,2上连续,且在,0,2上有最大值M与最小值m,故,由介值定理,

11、至少存在一点,由罗尔定理知,必存在,例6.设函数,在,上二阶可导,且,证明,证:,由泰勒公式得,两式相减得,机动目录上页下页返回结束,三、其他未定式,二、,型未定式,一、,型未定式,第二节,机动目录上页下页返回结束,洛必达法则,第三章,一、,存在(或为),定理1.,型未定式,(洛必达法则),机动目录上页下页返回结束,推论1.,定理1中,换为,之一,推论2.,若,理1条件,则,条件2)作相应的修改,定理1仍然成立.,洛必达法则,定理1目录上页下页返回结束,例1.求,解:,原式,思考:如何求,(n为正整数)?,机动目录上页下页返回结束,二、,型未定式,存在(或为),定理2.,(洛必达法则),机动目

12、录上页下页返回结束,三、其他未定式:,解决方法:,通分,取倒数,取对数,例5.求,解:原式,机动目录上页下页返回结束,解:原式,例6.求,机动目录上页下页返回结束,通分,取倒数,取对数,例7.求,解:,利用例5,例5目录上页下页返回结束,通分,取倒数,取对数,例8.求,解:,注意到,原式,机动目录上页下页返回结束,思考与练习,1.设,是未定式极限,如果,不存在,是否,的极限也不存在?,举例说明.,极限,说明目录上页下页返回结束,原式,分析:,分析:,3.,原式,机动目录上页下页返回结束,则,4.求,解:令,原式,机动目录上页下页返回结束,求下列极限:,解:,备用题,机动目录上页下页返回结束,令

13、,则,原式=,解:,(用洛必达法则),(继续用洛必达法则),机动目录上页下页返回结束,解:,原式=,第三节目录上页下页返回结束,例15.求,解法1利用中值定理求极限,原式,机动目录上页下页返回结束,解法2利用泰勒公式,令,则,原式,机动目录上页下页返回结束,解法3利用罗必塔法则,原式,机动目录上页下页返回结束,第三节,一、函数单调性的判定法,机动目录上页下页返回结束,二、曲线的凹凸与拐点,函数的单调性与,曲线的凹凸性,第三章,一、函数单调性的判定法,若,定理1.设函数,则在I内单调递增,(递减).,证:无妨设,任取,由拉格朗日中值定理得,故,这说明在I内单调递增.,在开区间I内可导,机动目录上

14、页下页返回结束,证毕,例1.确定函数,的单调区间.,解:,令,得,故,的单调增区间为,的单调减区间为,机动目录上页下页返回结束,说明:,单调区间的分界点除驻点外,也可是导数不存在的点.,例如,2)如果函数在某驻点两边导数同号,则不改变函数的单调性.,例如,机动目录上页下页返回结束,例2.证明,时,成立不等式,证:令,从而,因此,且,证,证明目录上页下页返回结束,*证明,令,则,从而,即,定义.设函数,在区间I上连续,(1)若恒有,则称,图形是凹的;,(2)若恒有,则称,连续曲线上有切线的凹凸分界点称为拐点.,图形是凸的.,二、曲线的凹凸与拐点,机动目录上页下页返回结束,定理2.(凹凸判定法),

15、(1)在I内,则在I内图形是凹的;,(2)在I内,则在I内图形是凸的.,证:,利用一阶泰勒公式可得,两式相加,说明(1)成立;,(2),机动目录上页下页返回结束,设函数,在区间I上有二阶导数,证毕,例3.判断曲线,的凹凸性.,解:,故曲线,在,上是向上凹的.,说明:,1)若在某点二阶导数为0,2)根据拐点的定义及上述定理,可得拐点的判别法如下:,若曲线,或不存在,的一个拐点.,则曲线的凹凸性不变.,在其两侧二阶导数不变号,机动目录上页下页返回结束,例4.求曲线,的拐点.,解:,不存在,因此点(0,0)为曲线,的拐点.,凹,凸,机动目录上页下页返回结束,例5.求曲线,的凹凸区间及拐点.,解:,1

16、)求,2)求拐点可疑点坐标,令,得,对应,3)列表判别,故该曲线在,及,上向上凹,向上凸,点(0,1)及,均为拐点.,凹,凹,凸,机动目录上页下页返回结束,内容小结,1.可导函数单调性判别,在I上单调递增,在I上单调递减,2.曲线凹凸与拐点的判别,拐点,连续曲线上有切线的凹凸分界点,机动目录上页下页返回结束,思考与练习,上,则,或,的大小顺序是(),提示:利用,单调增加,及,B,1.设在,机动目录上页下页返回结束,.,2.曲线,的凹区间是,凸区间是,拐点为,提示:,及,;,;,第五节目录上页下页返回结束,证明:,当,时，,有,证明:,令,则,是凸函数,即,2.,机动目录上页下页返回结束,(自证

17、),二、最大值与最小值问题,一、函数的极值及其求法,第四节,机动目录上页下页返回结束,函数的极值与,最大值最小值,第三章,一、函数的极值及其求法,定义:,在其中当,时,(1),则称为的极大点,称为函数的极大值;,(2),则称为的极小点,称为函数的极小值.,极大点与极小点统称为极值点.,机动目录上页下页返回结束,注意:,为极大点,为极小点,不是极值点,2)对常见函数,极值可能出现在导数为0或不存在的点.,1)函数的极值是函数的局部性质.,例如(P146例4),为极大点,是极大值,是极小值,为极小点,机动目录上页下页返回结束,定理1(极值第一判别法),且在空心邻域,内有导数,(自证),机动目录上页

18、下页返回结束,点击图中任意处动画播放暂停,例1.求函数,的极值.,解:,1)求导数,2)求极值可疑点,令,得,令,得,3)列表判别,是极大点，,其极大值为,是极小点，,其极小值为,机动目录上页下页返回结束,定理2(极值第二判别法),二阶导数,且,则在点取极大值;,则在点取极小值.,证:(1),存在,由第一判别法知,(2)类似可证.,机动目录上页下页返回结束,例2.求函数,的极值.,解:1)求导数,2)求驻点,令,得驻点,3)判别,因,故为极小值;,又,故需用第一判别法判别.,机动目录上页下页返回结束,定理3(判别法的推广),则:,数,且,1)当为偶数时,是极小点;,是极大点.,2)当为奇数时,

19、为极值点,且,不是极值点.,当充分接近时,上式左端正负号由右端第一项确定,故结论正确.,机动目录上页下页返回结束,证:,利用在点的泰勒公式,可得,二、最大值与最小值问题,则其最值只能,在极值点或端点处达到.,求函数最值的方法:,(1)求在内的极值可疑点,(2)最大值,最小值,机动目录上页下页返回结束,特别:,当在内只有一个极值可疑点时,当在上单调时,最值必在端点处达到.,若在此点取极大值,则也是最大值.,(小),对应用问题,有时可根据实际意义判别求出的,可疑点是否为最大值点或最小值点.,(小),机动目录上页下页返回结束,例3.求函数,在闭区间,上的最大值和最小值.,解:显然,且,故函数在,取最

20、小值0;,机动目录上页下页返回结束,因此也可通过,例3.求函数,说明:,求最值点.,与,最值点相同,由于,令,(自己练习),在闭区间,上的最大值和最小值.,机动目录上页下页返回结束,(k为某一常数),例4.铁路上AB段的距离为100km,工厂C距A处20,ACAB,要在AB线上选定一点D向工厂修一条,已知铁路与公路每公里货运价之比为3:5,为使货,D点应如何选取?,解:设,则,令,得,又,所以为唯一的,极小点,故AD=15km时运费最省.,总运费,物从B运到工厂C的运费最省,从而为最小点,问,Km,公路,机动目录上页下页返回结束,内容小结,1.连续函数的极值,(1)极值可疑点:,使导数为0或不

21、存在的点,(2)第一充分条件,过,由正变负,为极大值,过,由负变正,为极小值,(3)第二充分条件,为极大值,为极小值,(4)判别法的推广(Th.3),定理3目录上页下页返回结束,最值点应在极值点和边界点上找;,应用题可根据问题的实际意义判别.,思考与练习,(L.P500题4),2.连续函数的最值,1.设,则在点a处().,的导数存在,取得极大值;,取得极小值;,的导数不存在.,B,提示:利用极限的保号性.,机动目录上页下页返回结束,2.设,(A)不可导;,(B)可导,且,(C)取得极大值;,(D)取得极小值.,D,提示:利用极限的保号性.,机动目录上页下页返回结束,3.设,是方程,的一个解,若

22、,且,(A)取得极大值;,(B)取得极小值;,(C)在某邻域内单调增加;,(D)在某邻域内单调减少.,提示:,A,机动目录上页下页返回结束,试问,为何值时,还是极小.,解:,由题意应有,又,取得极大值为,备用题1.,求出该极值,并指出它是极大,机动目录上页下页返回结束,第五节,一、曲线的渐近线,二、函数图形的描绘,机动目录上页下页返回结束,函数图形的描绘,第三章,无渐近线.,点M与某一直线L的距离趋于0,一、曲线的渐近线,定义.若曲线C上的点M沿着曲线无限地远离原点,时,则称直线L为,曲线C的渐近线.,例如,双曲线,有渐近线,但抛物线,或为“纵坐标差”,机动目录上页下页返回结束,1.水平与铅直

23、渐近线,若,则曲线,有水平渐近线,若,则曲线,有垂直渐近线,例1.求曲线,的渐近线.,解:,为水平渐近线;,为垂直渐近线.,机动目录上页下页返回结束,2.斜渐近线,斜渐近线,若,机动目录上页下页返回结束,(P75题13),例2.求曲线,的渐近线.,解:,又因,为曲线的斜渐近线.,机动目录上页下页返回结束,思考与练习,1.曲线,(A)没有渐近线；,(B)仅有水平渐近线；,(C)仅有铅直渐近线；,(D)既有水平渐近线又有铅直渐近线.,提示:,机动目录上页下页返回结束,拐点为,凸区间是,2.曲线,的凹区间是,提示:,及,渐近线.,机动目录上页下页返回结束,二、函数图形的描绘,步骤:,1.确定函数,的

24、定义域,期性;,2.求,并求出,及,3.列表判别增减及凹凸区间,求出极值和拐点;,4.求渐近线;,5.确定某些特殊点,描绘函数图形.,为0和不存在,的点;,并考察其对称性及周,机动目录上页下页返回结束,例3.描绘,的图形.,解:1)定义域为,无对称性及周期性.,2),3),(拐点）,4),机动目录上页下页返回结束,第六节,曲线的弯曲程度,与切线的转角有关,与曲线的弧长有关,机动目录上页下页返回结束,主要内容:,一、弧微分,二、曲率及其计算公式,三、曲率圆与曲率半径,平面曲线的曲率,第三章,一、弧微分,设,在(a,b)内有连续导数,其图形为AB,弧长,机动目录上页下页返回结束,则弧长微分公式为,

25、或,几何意义:,若曲线由参数方程表示:,机动目录上页下页返回结束,二、曲率及其计算公式,在光滑弧上自点M开始取弧段,其长为,对应切线,定义,弧段上的平均曲率,点M处的曲率,注意:直线上任意点处的曲率为0!,机动目录上页下页返回结束,转角为,有曲率近似计算公式,故曲率计算公式为,又,曲率K的计算公式,二阶可导,设曲线弧,则由,机动目录上页下页返回结束,说明:,(1)若曲线由参数方程,给出,则,(2)若曲线方程为,则,机动目录上页下页返回结束,内容小结,1.弧长微分,或,2.曲率公式,3.曲率圆,曲率半径,曲率中心,机动目录上页下页返回结束,思考与练习,1.曲线在一点处的曲率圆与曲线有何密切关系?,答:有公切线;,凹向一致;,曲率相同.,2.求双曲线,的曲率半径R,并分析何处R最小?,解:,则,利用,机动目录上页下页返回结束,二、导数应用(内容小结),1.研究函数的性态:,增减,极值,凹凸,拐点,渐近线,曲率,2.解决最值问题,目标函数的建立与简化,最值的判别问题,3.其他应用:,求不定式极限;,几何应用;