第6章 应力状态分析 强度理论

1、1,第7章应力分析和强度理论,7.1应力状态概念,7.4广义虎克定律,7.5强度理论,7.2二向应力分析解析法,7.3二向应力分析图解法,2,应力不但与点的位置有关，且与过该点的截面方向有关,一点无数截面，同一点各不同方向截面上的应力情况，称为该点的应力状态（StressState）,点的应力状态是取单元体分析,1.点的应力状态,低碳钢和铸铁试件受扭后，分别沿横截面和450斜截面破坏,s,1应力状态概念,3,代表构件内一点的几何模型，围绕分析点截取的无限小体,若单元体三对微面应力已知，则过该点任一方向截面应力皆可由截面法求得,任一微面，应力不变；,2.单元体,两平行微面，应力相等，相反.,性质

2、:,（三方向尺寸微分长度表示），常取正六面体,从而确定该点应力状态,同一点若截取方向不同，单元体各微面的应力就不同,4,y,例1画出下列图中的A、B、C点的单元体.,F,5,3.主平面、主应力,主平面(PrincipalPlane),受力构件内过任一点皆有三个主平面（相互垂直）,主单元体(PrincipalBody),主应力(PrincipalStress）,主平面上的正应力,切应力为零的微面,三主平面围成的单元体,按代数值大小顺序,和三个主应力（包括零值）,可证明:,6,单向应力状态（UnidirectionalStateofStress）：一个主应力不为零的应力状态。,二向应力状态（Pla

3、neStateofStress）：两个主应力不为零的应力状态。,三向应力状态（ThreeDimensionalStateofStress）：三个主应力都不为零的应力状态。,（如：横弯曲构件中大多数点）,（如：轴向拉压、纯弯曲构件中的点）,7,2平面应力分析,1.任意斜截面上的应力,8,同理,化简,9,x,y,符号规则：,拉为正；,绕分析对象顺时针正;,逆时针为正,10,求梁中m点300斜截面应力,解：1)取单元体，求出其各微面应力,（实际方向）,（初始表示）,例,11,2)求斜截面应力,3)标于图上,1.1,12,总是偏于（x，y）中代数值较大者,若：,2.主应力（）,主平面,主应力,y,令,

4、上式可求出两（相差）,确定二主平面（互相垂直）,理论分析可知，,两主应力（max，min）中代数值较大者,代回,13,主应力是过一点所有各截面的正应力中的极大、极小值,主平面,14,3.极值切应力,极值切应力面（）与主平面（）夹角45度,15,例1,已知一点应力状态,试求（1）主应力、主平面；（2）绘出主应力单元体（3）切应力极值及其作用面,（1）主应力,（2）主平面,16,其作用面与主平面交角45度,(3)切应力极值及其作用面,2）如何判断切应力极值作用面上的方向？,17,3平面应力图解,两式两边平方相加,1.应力圆（StressCircle）,此方程曲线为圆应力圆,=R2,(a)2,+2,

5、ta,sa,（Mohr圆）(德)OttoMohr提出,(消去参数2)：,=,+,_,18,建立应力坐标系（选比例尺）,2.应力圆画法,D1(x，xy)和D2(y，yx),与sa轴交点C即是圆心,以C为圆心，CD1为半径画圆,(x面),(y面),量取两点,两点连线,应力圆；,19,简证：以上绘出圆即为应力圆,圆心：,半径：,即符合应力圆方程：,(中点),O,20,一点的坐标值,两点半径夹角2,（同一转向）,3.图解斜截面应力,(sa,ta),点面对应,转向相同,转角两倍,E,21,图解（主应力、最大切应力）,D1(sx,txy),是应力圆上竖标最大点上下两极,应是应力圆上横标最大点左右两极,(s

6、y,tyx),sa,ta,D2,(x微面),22,例1求图示单元体1.斜截面应力;2.主应力及主平面位置。,坐标系内定出二点;,两点连线定圆心C,单元体斜截面与x轴夹角300应力圆从D1同向转600,主应力及主平面,A(20,0),量出：,100,得E（32，68）,斜截面应力,(x微面),半径CD1，绘应力圆,B(-120,0),解：,23,例2受扭构件，分析破坏规律,求主应力、主平面,低碳钢试件沿横截面断开,铸铁试件沿与轴线约成45螺旋线开。,（横截面面）,解：确定危险点并画单元体,最大切应力及其作用面,D（x面）,24,1)低碳钢圆轴受扭，沿横截面（作用面）断开,2）灰口铸铁圆轴受扭，沿

7、45螺旋面（作用面)断开,（铸铁抗拉强度很低）,破坏分析,表明由最大切应力引起（剪切破坏）,表明由最大拉应力引起,:,灰口铸铁,25,例3求图示单元体的主应力及主平面的位置,解(一.解析法):观察分析,非典型单元体,主平面,若求出，则可求得,取F微面为x面,MPa,(单位：MPa),则E微面为450面,26,作应力圆,思考：是否还用求相互垂直两微面的应力？,2a0,定主应力，主平面,从D2（代表E微面）起转至A点（对应微面）,圆之右极作用面,解(二.图解法):,根据F、E两微面应力即可作出应力圆：,27,*主应力迹线,梁横力弯曲分析截面上各点主应力大小及方向,单元体：,可见，的方向将随点位置不

8、同而变化,28,s,A2,D2,D1,C,A1,O,t,2a0,s,D2,A1,O,t,2a0,C,D1,A2,2,4,3,29,拉力,压力,主应力迹线（StressTrajectories)：,实线主拉应力迹线虚线主压应力迹线,两族曲线,曲线各点切线指示该点的拉（压）主应力方向,主应力方向线的包络线，,30,x,q,y,主应力迹线画法：,（主拉应力迹线）,（主压应力迹线）,31,4三向应力状态,主单元体三个主应力知任一斜截面应力计算,与三主应力平行的斜截面,所有与平行的截面上，,应力都与无关（见图）,同样，与2、3平行的截面，应力分别与2、3无关,特殊截面,32,与都不平行的斜截面,与平行的

9、斜截面，,其可用三圆所围阴影区内的点之坐标表示,可证:,其可用三个圆周上点之坐标表示,结论：,代表单元体任意斜截面上应力的点,必定在三个应力圆圆周或三圆所围区域内,33,（大圆上下两极）,显然：单元体所有斜截面应力的极值在最大圆周上,若考虑过该点所有斜截面，应为上式.,C1,平行于中间主应力的截面上,max发生位置：,34,=50MPa,max发生位置,=30MPa,max发生位置,分析最大正应力、最小正应力、最大切应力,35,200,300,50,tmax,平面应力状态作为三向应力状态的特例,36,200,50,300,50,平面应力状态的三向应力圆,tmax,37,sx,sy,小变形、线弹

10、性、各向同性：,只与有关,只与有关,二者互不影响,5广义Hooke定律(复杂应力状态下应力-应变关系),1.线应变正应力关系:,38,叠加,（同理）,分解,sx,sy,广义Hooke定律,39,2.切应变切应力关系:,(主应变),主应变主应力关系:,纯剪切状态,sx,sy,40,铝锭密实地置于刚性模具凹座内,求铝块任一点主应力,刚性凹座,铝锭受顶压后横向膨胀受阻两横向受压,凹座无变形铝锭横向无应变,联立：,铝块内各点受力相同，,解：,顶部应力,MPa,41,3.体积应变,体积应变：,可见：体积改变只取决于三个主应力之和（或平均值）.而与它们之间的大小比例（相对值）无关,应力形式：,（单位体积的

11、体积改变）,变形后：,记：,(平均应力),(体积弹性模量),42,6复杂应力状态下应变能密度,1.轴向拉压杆件的应变能和应变能密度,应变能,应变能密度,43,2.复杂应力状态下应变能密度,体积改变形状改变,受力分为两部分：体积改变形状改变,（1）,单元体变形看作两部分组成：,44,应变能密度可看作两部分组成：,体积改变能密度,形状改变能密度,广义Hooke定律代入（1）,（形状改变比能）,45,1.强度理论概念,7强度理论,危险点处于单向应力状态或纯切应力状态时强度条件为:,皆可由实验结果确定,（单向拉压）,梁上下边缘、轴拉,（纯剪状态）,梁中性层、扭,但当危险点处于复杂应力状态时呢？,46,

12、对于复杂应力状态，危险点的应力并不取决于横截面上的应力，也不仅仅取决于最大应力，而需要考虑各个方向的应力的共同作用。,各微面既有又有;三个主应力比例组合无穷多种，不胜枚举.要按每种比例组合都进行实验以确定其失效值，工作繁重甚至难以实现。,复杂应力状态下，完全由实验结果建立强度条件极为困难,（复杂应力状态下的强度条件）,关于复杂应力状态下，材料发生强度破坏失效（failurebyloststrength）原因的假说强度理论,两方面问题:判断依据引起破坏失效的主要因素？,（主应力？应变？能量？）,(2)失效值的确定技术上可行,（可由单向破坏实验确定其失效值，再推用于多向应力状态）,47,低碳钢（塑

13、）,拉伸实验,破坏现象滑移,扭转实验,破坏现象切断,实验现象小结：,2.材料的破坏形式：,拉伸实验和扭转实验的应力状态不同，但是破坏原因相同，皆为最大切应力。,屈服；断裂。,#斜截面剪应力：,结论：低碳钢属于剪切破坏,48,铸铁（脆性）,拉伸实验,破坏现象拉断,扭转实验,破坏现象拉断,破坏原因-,铸铁试件在简单拉伸时沿横截面被拉断；铸铁试件受扭时沿45o方向破裂，破裂面就是最大拉应力作用面。,实验现象小结：,拉伸实验和扭转实验的应力状态不同，但是破坏原因相同，皆为最大拉应力。,结论：铸铁属于拉断破坏,49,1.伽利略最早提出第一强度理论雏形；,2.马里奥特关于变形过大引起破坏的论述，是第二强度

14、理论的萌芽；,3.杜奎特（C.Duguet)提出了最大切应力理论；,4.麦克斯威尔最早提出了最大畸变能理论（maximumdistortionenergytheory）,长期以来，许许多多种强度理论先后提出：,经长期工程实践的检验筛选，一些被扬弃，一些被证实对某类材料或某些受力状态下适用。但目前现有的各种强度理论还不能圆满地解决所有各类强度问题,下面仅对工程计算中应用较广、影响较大的几种强度理论作扼要介绍：,3.四个强度理论,50,强度条件：,1)最大拉应力（第一强度）理论：,(认为材料断裂是由最大拉应力引起),无论一点处于何种应力状态,只要最大拉应力达材料的极限值.即会发生脆性断裂.,脆断型

15、,(断裂准则),（失效时）,（工业发展早期应用较多，铸铁、岩石、混凝土、陶瓷、玻璃等）,当主应力中有压应力时，只要误差较大，三向压应力不适用,51,2)最大伸长线应变（第二强度）理论：,(认为材料断裂是由最大伸长线应变引起),强度条件：,无论一点处于何种应力状态,只要最大伸长线应变达材料的极限值.即会发生脆性断裂.,（单向）,（多向）,断裂准则：,形式上看较全面；与混凝土纵向劈裂纹现象吻合,（失效）,主应力有压应力时，当，理论接近实验但不完全符合。其他情况下，不如第一强度理论,52,3)最大切应力（第三强度）理论：,屈服准则：,屈服型,(认为材料屈服是由最大切应力引起),（单向）,（多向）,（

16、与许多塑性材料试验结果相吻合：J.J.Guest钢、铜、铝材薄壁圆管加拉压扭转内压，主应力按各种比例组合）,（失效）,偏于安全且未考虑第二主应力的影响,53,4)形状改变比能（第四强度）理论：,(认为材料屈服是由形状改变应变能引起),无论一点处于何种应力状态,只要形状改变比能达材料的极限值.即会发生塑性屈服.,屈服准则：,（多向）,（单向）,（失效）,（形状改变应变能密度）,实验表明：该理论与实验结果相当接近。,54,说明：第三、四强度理论的比较,几何图形表示两个失效准则,（二向应力状态，以、表示两个不为零主应力，且不以代数值大小排列）,在一、三象限，同号，则：,在二、四象限，异号，则：,由于

17、以上两个强度理论是针对塑性屈服失效提出固亦称之为屈服准则,两强度理论的预测值相当接近；而试验数据大多分布在两者之间。,或,55,(相当应力),四个强度条件的统一形式：,（强度准则统一形式）,说明：脆性材料易于断裂破坏，塑性材料易于屈服失效；,同一材料在不同应力状态下也可能不同失效形式。,56,*5)莫尔强度理论（Mohrsfailurecriterion）,以材料所有极限应力圆的包络线来判断材料是否破坏，即包络线便是其破坏的临界线。,由材料在破坏时主应力1、3所作的应力圆，称为极限应力圆。,材料发生剪断破坏的因素主要是切应力，但也和同一截面上的正应力有关。,莫尔强度理论是由综合实验结果建立的，

18、主要考虑了材料抗拉和抗压强度不相等的情况。,57,M,L,K,F,N,破坏条件,得,任意一点的应力圆若与极限曲线相接触，则材料即将屈服或剪断。,强度条件：,58,例8,图为一点应力状态，按第三、四强度理论建立相应的强度条件,解：,（三强）,（四强）,(扭转实验),钢结构设计规范,(用、表示),59,1)四个强度理论适用范围,脆性材料应采用,三向拉应力相近，,三向压缩，,塑性材料应采用,即使塑性材料也将以断裂的形式失效宜采用脆断型强度理论.,3.强度理论应用,2)强度计算步骤：,内力分析：画内力图，确定危险面；,应力分析：由危险面应力分布，确定危险点并求主应力。,强度计算：选择适当的强度理论，计算相当应力进行强度计算,一般：,特殊：,即使脆性材料也会出现屈服失效现象宜采用屈服型强度理论.,脆断型强度理论第一、二强度理论;,屈服型