第4讲-效用最大化和选择

1、1,消费者选择理论,目标：市场需求曲线方法：个人需求曲线加总目标函数偏好公理（第3章）约束预算约束线（第4章）最优化选择理论（第4章）参数变化个人需求曲线（第5、6章）,2,第4讲,效用最大化和选择,3,4,对于经济学方法的抱怨,在现实中没有人进行效用最大化所要求的“计算”效用最大化模型预言了选择行为的许多方面因此,经济学家假设人们的行为是仿佛他们在进行这种计算,5,对于经济学方法的抱怨,关于选择的经济学模型是极端自私的，而现实中没有人的目标是完全自我为中心的效用最大化模型没有禁止人们从“做好事”中获得满足,6,最优化原理,为了最大化效用,在给定能够花费的收入的条件下,消费者将要购买商品和服务

2、:花光总收入两种商品之间的心理替代率(MRS)等于市场上的替代率,7,一个数值例子,假设消费者的MRS=1愿意用1单位x换一单位y假定价格为x=￥2和y=￥1消费者可以变得更好在市场上将1单位x换成2单位y,8,预算约束,假设消费者可以利用I在商品x和y之间配置pxx+pyyI,x的数量,y的数量,9,最大值的一阶条件,我们可以利用消费者的效用图来表示效用最大化的过程,x的数量,y的数量,10,最大值的一阶条件,在无差异曲线和预算约束线的切点获得了最大效用,x的数量,y的数量,U2,B,11,最大值的二阶条件,相切仅仅是必要条件，而不是充分条件，除非我们假设MRS是递减的如果MRS是递减的,那

3、么无差异曲线是严格凸的如果MRS不是递减的,那么我们必须检查二阶条件以保证我们获得的是最大值。,12,最大值的二阶条件,相切仅仅是一个必要条件我们需要MRS是递减的,x的数量,y的数量,13,角点解,在有些情况中,消费者的偏好可能使得他们仅仅在选择消费一种商品的时候才能获得最大效用,x的数量,y的数量,在A点,无差异曲线和预算约束线没有相切,14,n种商品情况,消费者的目标是最大化效用=U(x1,x2,xn)服从预算约束I=p1x1+p2x2+pnxn建立拉各朗日函数:L=U(x1,x2,xn)+(I-p1x1-p2x2-pnxn),15,n种商品情况,内点最大值解的一阶条件:L/x1=U/x

4、1-p1=0L/x2=U/x2-p2=0,L/xn=U/xn-pn=0L/=I-p1x1-p2x2-pnxn=0,16,一阶条件含义,对于任意两种商品,这意味着在收入处于的最优配置的时候,17,解释拉各朗日乘子,是消费支出额外增加一元的边际效用收入的边际效用,18,解释拉各朗日乘子,在边际点,商品的价格表示了消费者对于最后一单位商品效用的评价消费者愿意为最后一单位付多少钱,19,角点解,当考虑角点解的时候,必须修改一阶条件:L/xi=U/xi-pi0(i=1,n)如果L/xi=U/xi-pi0,那么xi=0这意味着,任何其价格超过其对于消费者边际价值的商品消费者都不会购买,20,柯布道格拉斯需

5、求函数,柯布道格拉斯效用函数:U(x,y)=xy建立拉各朗日函数:L=xy+(I-pxx-pyy)一阶条件:L/x=x-1y-px=0L/y=xy-1-py=0L/=I-pxx-pyy=0,21,柯布道格拉斯需求函数,一阶条件意味着:y/x=px/py因为+=1:pyy=(/)pxx=(1-)/pxx替换进预算约束:I=pxx+(1-)/pxx=(1/)pxx,22,柯布道格拉斯需求函数,解出x,解出y,消费者配置收入中的比率给商品x，比率给商品y,23,柯布道格拉斯需求函数,柯布道格拉斯效用函数在对于实际消费行为的解释力上有局限收入中配置到某种商品上的比率经常随着经济条件的变化而改变一个更加

6、一般的函数形式可能在解释消费决策的时候更有用,24,CES需求,假设=0.5U(x,y)=x0.5+y0.5建立拉各朗日函数:L=x0.5+y0.5+(I-pxx-pyy)一阶条件:L/x=0.5x-0.5-px=0L/y=0.5y-0.5-py=0L/=I-pxx-pyy=0,25,CES需求,这意味着(y/x)0.5=px/py代换进预算约束,我们可以解出需求函数,26,CES需求,在这些需求函数中,花在x和y上的收入百分比不是一个常数依赖于两种价格的比率x(或y)的相对价格越高，花费在x(或y)上的比率越小,27,CES需求,如果=-1,U(x,y)=-x-1-y-1一阶条件意味着y/x

7、=(px/py)0.5需求函数是,28,CES需求,如果=-,U(x,y)=Min(x,4y)人们仅仅选择组合x=4y这意味着I=pxx+pyy=pxx+py(x/4)I=(px+0.25py)x,29,CES需求,因此,需求函数是,30,间接效用函数,经常可以利用一阶条件解出x1,x2,xn的最优值这些最优值依赖于所有商品的价格和收入,31,间接效用函数,我们可以利用这些x的最优值获得间接效用函数效用最大值=U(x*1,x*2,x*n)替换每一个x*i,得到效用最大值=V(p1,p2,pn,I)效用的最优水平间接依赖于价格和收入如果价格或者收入改变,效用的最大值也随之改变,32,总量原理,对

8、于消费者一般购买力上的税收优于对于某种特定商品的税收收入税允许消费者自由决定如何配置剩下的收入对于某种商品的税收会减少消费者的购买力，扰乱消费者的选择,33,总量原理,x的数量,y的数量,A,U1,34,总量原理,x的数量,y的数量,A,B,U1,U2,35,间接效用和总量原理,如果效用函数是柯布道格拉斯形式的，=0.5,我们知道,因此间接效用函数是,36,间接效用和总量原理,假设px=1,py=4,I=8如果对于商品x每单位征收1元的税消费者购买x*=2间接效用从2降到1.41同样的税收将会使得收入减少到￥6间接效用从2下降到1.5,37,间接效用和总量原理,如果效用函数是固定比率的，U=M

9、in(x,4y),我们得到,因此间接效用函数是,38,间接效用和总量原理,如果对于商品x每单位征收1元的税间接效用从4降为8/3相同数量的收入税将收入减少到￥16/3间接效用从4降为8/3因为偏好是刚性的,对于x的税收不会扰乱选择,39,礼品赠送,40,支出最小化,效用最大化的对偶是支出最小化镜像，即目标和约束互换配置收入使得消费者花费最小的支出获得一定的效用水平,41,支出最小化,x的数量,y的数量,U1,42,支出最小化,消费者的问题是选择x1,x2,xn最小化总支出=E=p1x1+p2x2+pnxn服从约束效用=U1=U(x1,x2,xn)x1,x2,xn的最优数量依赖于商品价格和要求的

10、效用水平,43,支出函数,支出函数刻画了在特定价格下达到给定效用水平所需要的最小支出最小支出=E(p1,p2,pn,U)支出函数和间接效用函数互相联系都依赖于市场价格但是涉及不同的约束,44,两个支出函数,在两种商品、柯布道格拉斯函数下的间接效用函数为,如果我们调换效用和收入(支出)的角色,我们将获得支出函数E(px,py,U)=2px0.5py0.5U,45,两个支出函数,对于固定比率的情况,间接效用函数是,如果我们再次掉换效用和支出的角色,我们将获得支出函数E(px,py,U)=(px+0.25py)U,46,支出函数的性质,齐次性同时扩大所有商品的价格也会同比例扩大支出一次齐次对于价格非

11、递减对于所有的商品I，E/pi0对于价格是凹的,47,支出函数的凹性,p1,E(p1,),支出函数和间接效用函数,V(px,py,I0)=U0E(px,py,U0)=I0V(px,py,E(px,py,U0)=U0E(px,py,V(px,py,I0)=I0,应用,支出函数是分析公共政策的重要工具通过支出函数，我们可以货币化替代关系，从而评价成本和收益这可以规避测量效用,50,要点回顾:,为了获得约束下的最大值，消费者必须:花掉所有可得收入选择商品束使得任意两种商品之间的MRS等于两种商品价格之比在所有产生消费的商品上，消费者会使得商品的边际效用与其价格之比都相等,51,要点回顾:,相切仅仅是一阶条件消费者的无差异曲线图必须保证MRS递减效用函数必须是严格拟凹的,52,要点回顾:,必须修改相切条件来包含角