函数的极值与最大值最小值

1、,二、最大值与最小值,一、函数的极值及其求法,第五节,函数的极值与,最大值最小值,第三章,三、最优化问题及其应用,定义,在其中当,时,(1),(2),一、函数的极值及其求法,且在处取得极值，那么,根据上述定义和费马定理可得如下定理：,定理1,（极值的必要条件）,设函数在处可导,注意:,为极大值点,为极小值点,不是极值点,例如,为极大值点,是极大值,是极小值,为极小值点,函数,不存在的点.,定理2(极值第一判别法),且在空心邻域,内有导数,(自证),点击图中任意处动画播放暂停,求极值点和极值的步骤,不存在的点；,以便确定这些点是否为极值点.,若是，再由定理2确,定对应的函数值是极大值还是极小值；

2、,求出各极值点处的函数值，就得函数,的全部极,以上步骤可通过列表辅助进行.,例1,的极值.,解,1)求导数,2)求极值可疑点,令,得,3)列表判别,是极大值点，,其极大值为,是极小值点，,其极小值为,求函数,定理3(极值第二判别法),二阶导数,且,则在点取极大值;,则在点取极小值.,证(1),存在,由第一判别法知,(2)类似可证.,例2求函数,的极值.,2)求驻点,令,得驻点,3)判别,因,故为极小值;,又,故需用第一判别法判别.,定理4(判别法的推广),则:,数,且,1)当为偶数时,是极小点;,是极大点.,2)当为奇数时,为极值点,且,不是极值点.,当充分接近时,上式左端正负号由右端第一项确

3、定,故结论正确.,证,利用在点的泰勒公式,可得,例如,说明:,当这些充分条件不满足时,不等于极值不存在.,例如:,为极大值,但不满足定理2,定理4的条件.,例2中,二、最大值与最小值问题,则其最值只能,在极值点或端点处达到.,求函数最值的方法:,(1)求在内的极值可疑点,(2)最大值,最小值,当在内只有一个极值可疑点时,当在上单调时,最值必在端点处达到.,若在此点取极大值,则也是最大值.,(小),(小),特别:,例3,在闭区间,上的最大值和最小值.,且,故函数在,取最小值0;,求函数,(k为某常数),例4,ACAB,要在AB线上选定一点D向工厂修一条,已知铁路与公路每公里货运,为使货物从B运到

4、工,解设,则,令,得,又,所以为唯一的,极小值点,故AD=15km时运费最省.,总运费(目标函数),厂C的运费最省,从而为最小值点,问D点应如何取?,km,公路,价之比为3:5,铁路上AB段的距离为100km,工厂C距A处20,最优化问题求解过程的一般步骤,1）选择适当的变量作为自变量建立目标函数,并确定目标函数的实际定义域；,2）在目标函数可导的条件下,求目标函数的驻点;,3）进行必要的判别，通常并不要求做严格论证，只要笼统地讲出以下三点：,目标函数在定义域内可导；驻点唯一；根据实际意义可知，目标函数在定义域内的最值确实存在.,即可断定所得驻点就是所求的最值点.,三、最优化问题及其应用,例5

5、,问矩形截面的,高h和宽b应如何选择才能使梁的抗弯截面模量最大?,由力学分析知矩形梁的抗弯截面模量(目标函数)为,令,得,从而有,即,由实际意义可知,所求最值存在,驻点只一个,故所求,结果就是最好的选择.,把一根直径为d的圆木锯成矩形梁,解,用开始移动,例6,克服摩擦的水平分力,正压力,即,令,则问题转化为求,的最大值问题.,设摩擦系数,设有质量为5kg的物体置于水平面上,受力F作,解,令,解得,而,因而F取最小值.,解,即,令,则问题转化为求,的最大值问题.,清楚(视角最大)?,观察者的眼睛1.8m,例7,设观察者与墙的距离为xm,则,令,得驻点,根据问题的实际意义,观察者最佳站位存在,唯一

6、,驻点又,因此观察者站在距离墙2.4m处看图最清楚.,问观察者在距墙多远处看图才最,一张1.4m高的图片挂在墙上,它的底边高于,目标函数为,解,当取多大时，该容器有最大容积?,的扇形，余下的部分卷折成一个圆锥形的容器,试问,例8,解,它刚好就是卷折成的圆锥形容器的低圆之周长，所以其半径,在一半径为R的圆形铁皮上，减去一个圆心角为,的弧长为,若记，,则有,高为,这样就可以得到以为自变量的目标函数,其定义域为,对目标函数求导得,由于目标函数在定义域内可微，驻点唯一，且根据问题,的实际意义可知最大值存在，所以所得驻点就是最大值点，此时对应的圆心角为,令,可得目标函数在定义域内唯一驻点,这里没有直接以

7、为自变量，是为了使计算简便.,最简便的方法是是以h为自变量建立目标函数,从而推得同样的结果,易求得其最大值点为,为自变量建立目标函数，可能会更方便些.,说明：,于是对应的有,如果以,存在一个取得最大利润的生产水平?如果存在,找出它来.,售出该产品x千件的收入是,例9,解,问是否,故在x2=3.414千件处达到最大利润,而在x1=0.586千件处发生局部最大亏损.,设某工厂生产某产品x千件的成本是,售出x千件产品的利润为,说明,称为边际成本,称为边际收入,称为边际利润,由此例分析过程可见,在给出最大利润的生产水平上,即边际收入边际成本,（见右图）,即,收益最大,亏损最大,在经济学中,需求量为,这

8、种汽车的成本为5(万元/辆)，试问如何定价可使利润最大？,所以有目标函数,例10,解,其中为市场饱和需求量.当价格(万元/辆)时，,其导数为,因为当时，有，可得,已知某种品牌汽车的需求函数为,即,可得唯一驻点,就是目标函数的最大值点，即当定价为,而当时,因为当时,有,令,时，可望有最大利润.,有,所以,（万元/辆）,内容小结,1.连续函数的极值,(1)极值可疑点:,使导数为0或不存在的点,(2)第一充分条件,过,由正变负,为极大值,过,由负变正,为极小值,(3)第二充分条件,为极大值,为极小值,(4)判别法的推广,定理3,定理4,最值点应在极值点和边界点上找;,应用题可根据问题的实际意义判别.,思考与练习,2.连续函数的最值,则在点a处().,的导数存在,取得极大值;,取得极小值;,的导数不存在.,B,提示:利用极限的保号性,2.,(A)不可导;,(B)可导,且,(C)取得极大值;,(D)取得极小值.,D,提示:,利用极限的保号性.,设,3.,是方程,的一