第一章 数制与编码0609

1、第一章数制与编码,主要内容各种进位计数制及其相互转换带符号数的表示方法常用的一般编码,1进位计数制,一、十进制数的表示数码个数10个：计数规律:,数制：进位计数制：,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,逢十进1,借一当10,数码的个数和计数规律是进位计数制的两个决定因素,计数体制、计数方法。,高位进位，本位归0。,例：123.45=1102+2101+3100+410-1+510-2,例：123.45读作一百二十三点四五,计数法,例：123.45读作一百二十三点四五,例：123.45=1102+2101+3100+410-1+510-2,(N)10=an-110n-1+an-210n-2+

2、a1101+a0100+a-110-1+a-210-2+a-m10-m,基与基数,用来表示数的数码的集合称为基（09）,集合的大小称为基数(十进制为10)。即表示某种进位计数制所具有的数字符号的个数称为基数，也叫模。,在十进制中，10的整幂次方称为10进制数的权。即表示某种进位计数制不同位置上数字的单位值，位置不同显示的数值大小不同。,权,例：,二、其它进制其它进制的计数规律可看成是十进制计数制的推广，对任意进制R，数N可以表示成按权展开式：,(N)R=an-1Rn-1+an-2Rn-2+a1R1+a0R0+a-1R-1+a-2R-2+a-mR-m,(N)R=(an-1an-2a1a0.a-1

3、a-2a-m)R,权值一般用十进制表示,R2二进制,数码个数2个：计数规律:例：,0,1,逢二进1,借一当2,(11011.01)2=124+123+022+121+120+02-1+12-21(10)100+1(10)11+0(10)10+1(10)1+1(10)0+0(10)-1+1(10)-10,权值一般用十进制表示,二进制数的特点:,只有两个数码,很容易用物理器件来实现。,运算规则简单。,可使用逻辑代数这一数学工具。,节省设备,节省设备的说明:,1）设n是数的位数R是基数Rn-最大信息量nR-Rn个数码所需设备量例：n=3，R=10，(R)10n=103=1000nR=310=30R=

4、2时,为使2n1000n=10(Rn=1024),nR=102=20同样为1000的信息量，二进制比十进制节省设备。2）唯一性证明N=Rn（N为最大信息量）LnN=nLnR令C=LnNC=nLnR两边同乘R，RC=nRLnR可求得:,R=e=2.718,R8八进制,数码个数8个：计数规律:例：,0,1,2,3,4,5,6,7,逢八进1,借一当8,(176.5)8=182+781+680+58-11(10)2+7(10)1+6(10)0+5(10)-1,R16十六八进制,数码个数16个：计数规律:例：其它进制,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F(01015),逢十六进

5、1,借一当16,(FA1.C)16=F162+A161+1160+C16-1F(10)2+A(10)1+1(10)0+C(10)-1,如六进制、十二进制、二十四进制、六十进制等。书P5表1.1.1所列各进制对应值要求熟记。,几种常用数制的表示方法：,2数制转换,说明：转换是任意的。方法：多项式替代法基数乘除法混合法直接转换法,10,10,10,K，K,一、多项式替代法（R10）,(11011.11)2=()10,=124+123+022+121+120+12-1+12-2,1680210.50.25,=(27.75)10,(321.4)8=()10,=382+281+180+48-1,1921

6、610.5,=(209.5)10,例1：,例2：,二、基数乘除法（10R）,整数的转换基数除法规则：除基取余，商零为止例1：解：例2：解：,(25)10=()2,(25)10=(11001)2,(54)10=()16,(54)10=(36)16,小数的转换基数乘法,规则：乘基取整，满足精度要求为止例3：例4：解：例5：解：,(0.125)10=()2,(0.125)10=(0.001)2，(0.125)10=(0.02)4,(0.125)10=()4,(29.93)10=()2,(29.93)10=(11101.111011)2,小数的精度,若求出的是有限位小数，标明已求出准确的转换小数；若求

7、出的是无限位小数，标明转换出的小数存在误差。取数原则：等精度转换,等精度转换；按题意要求,设进制有i位小数，转换后进制有j位小数。,等精度转换(续),转换后应使：1-j1-I即Ij,故,取满足不等式的最小整数,例:(0.3021)10()16，已知精度为(0.1)410,解：10，16，I4,取j=4,按题意要求,例:(0.3021)10()2，要求精度0.1%解:,例:(0.3021)10()8，要求精度0.01%解:,取j=10,取j=5,三、混合法(10),例:(2022)3()8解:,(2022)3=233+032+231+230=(62)10=(76)8,四、直接转换法(K，K),一

8、般在二、八、十六进制之间转换,八进制与二进制之间的转换：,(10011100101101001000.01)B=,(010011100101101001000.010)B=,=(2345510.2)O,从小数点开始3位一组,不足补0,不足补0,十六进制与二进制之间的转换：,(10011100101101001000.01)B=,(10011100101101001000.0100)B=,=(9CB48.4)H,不足补0,从小数点开始4位一组,反之:,(345.7)O=()B,(345.7)O=(011100101.111)B,1位八进制对应3位二进制,(27B.7C)H=()B,(27B.7C

9、)H=(001001111011.01111100)B,1位十六进制对应4位二进制,=(1001111011.011111)B,3带符号数的代码表示一、符号数,真值：在数值前加“”号表示正数；在数值前加“”号表示负数。机器数：把符号数值化的表示方法称。用“0”表示正数，用“1”表示负数。例：真值机器数91001010019100111001,符号位,二、原码,常用的机器数有：原码、反码、补码其符号位规则相同，数值部分的表示形式有差异。组成：特点：,符号位数值位正0不变负1,例：,X11101X1原=01101X21101X2原=11101,直观易辨认；有2个0；符号不参与运算；数值范围,三、反

10、码,组成：特点：,符号位数值位正0不变负1取反,例：,X11101X1反=01101X21101X2反=10010,正数的反码同原码，负数的反码数值按位取反；有2个0；反码的反码为原码；数值范围,X11101X1反=10010X1反反=11101=X1原,特点(续),两数和的反码等于两数反码之和；符号位参与运算,有进位时循环相加。,例：已知X11100X21010求Y1X1X2；Y2X2X1,解：X1反=01100，X1反=10011，X2反=01010，X2反=10101Y1反X1反X2反=00010Y10010,Y2反X2反X1反=11101Y20010,四、补码,组成：特点：,符号位数值

11、位正0不变负1取反1,例：,X11101X1补=01101X21101X2补=10011,正数的补码同原码，负数的补码数值按位取反1；只有1个0；补码的补码为原码；数值范围,X11101X1补=10011X1补补=11101=X1原,特点(续),两数和的补码等于两数补码之和；符号位参与运算,有进位时丢弃。,例：已知X11100X21010求Y1X1X2；Y2X2X1,解：X1补=01100，X1补=10100，X2补=01010，X2补=10110Y1补X1补X2补=00010Y10010,Y2补X2补X1补=11110Y20010,补码的补充说明：,数学上，补码与其真值构成了以某一值（计算机

12、的字长）为模的“模数系统”或“同余”结构的代数系统。,计量器的容量。,在某一模数系统中，模数为N，如果a、b的余数相同，则称a、b模N同余。例：17和33在模16系统中同余1。,同余：,模：,补码的应用：,4编码,一、二十进制编码数字电路中编码的方式很多，常用的主要是二十进制码（BCD码）。BCD-Binary-Coded-Decimal用四位二进制数表示09十个数码，即为BCD码。四位二进制数最多可以有16种不同组合，不同的组合便形成了一种编码。主要有：8421码、5421码、2421码、余3码等,二进制数,自然码,8421码,2421码,5421码,余三码,简称8421码。按4位二进制数的

13、自然顺序，取前十个数依次表示十进制的09，后6个数不允许出现，若出现则认为是非法的或错误的。,8421码是一种有权码，每位有固定的权，从高到低依次为8,4,2,1，如:8421码(0111)8421BCD=08+14+12+11=7,8421BCD码,与自然二进制数排列一至，10101111为冗余码；,8421码与十进制的转换关系为直接转换关系例:（00010011.01100100)8421BCD=(13.64)10,运算时按逢10进1的原则,并且要进行调整。调整原则:有进位或出现冗余码时：加+6调整。,有权码，从左到右为8421；,8421码的特点：,例:8+9=17,1000+)1001

14、10001,+)0110,0111,例:7+6=13,0111+)01101101,+)0110,10011,8421码运算举例:,2421BCD码,简称2421码。典型2421码按4位二进制数的自然顺序，取前8个数依次表示十进制的07，8和9分别为1110和1111。其余6个数不允许出现，若出现则认为是非法的或错误的。这只是2421码的一种编码方案。,2421码是一种有权码，每位有固定的权，从高到低依次为2,4,2,1，如:2421码(0111)2421=02+14+12+11=72421码(1110)2421=12+14+12+01=8,2421码的编码方案：,对九自补,余3码,由8421

15、码加3形成。,4）如果两个余3码相加没有进位，则和数要减3，否则和数要加3。,1)是一种无权码。,2)有六个冗余码。（0000、0001、0010、1101、1110、1111）,3）对9的自补码。,例：(4)余3码=0111;(5)余3码=1000(0111)9补=1000即0111按位取反。,例如：0100+0110=0111,1000+1001=0100,余3码运算,丢弃,无进位减3,有进位加3,二进制数,自然码,8421码,2421码,5421码,余三码,二、可靠性编码,能减少错误，发现错误，甚至纠正错误的编码称为可靠性编码。,纠错的三个层次,编码本身不易出错格雷码,出错能检查出来奇偶

16、校验码,检查并能纠错汉明码,纠错是以增加硬件为代价的,格雷码,在一组数的编码中，如果任意相邻的代码只有一位二进制数不同，即为格雷码。,(1101)B,例：13的格雷码：,=(1011)G,格雷码的特点：,汉明距离1,循环特性n一定时最大数的第n位为1，其余各位为0。,具有反射特性第n位为反射位，以第n位的0、1交界处为轴上下对称。,一个n位的格雷码，可由n1位格雷码产生。方法：在n1位码前加0，再作对称镜像。,反射,循环,格雷码应用：循环计数,例：7的典型格雷码为0100,典型二进制格雷码转换成二进制数的方法：,(0100)G,=(0111)B,步进码的形成：,例：由7的步进码：11100；产

17、生8的步进码：11000,奇偶校验码,组成:信息位校验位（1位）奇偶校验码,由信息位和校验位(冗余部分)两部分组成。校验位的取值可使整个校验码中的1的个数按事先的规定完成为奇数或偶数。,简单的奇偶校验码：,以8421BCD码为例,检错,只能检出单个错误或奇数个错，但不能纠错。,例:奇校验传送1001：解:校验位P=1,奇校验码为:10011正确传送时:,不正确传送时:设接收码为10111,出错,汉明码,可以检验一位错误并且可以自行纠错的可靠性编码。(自学),学习要求：,熟练掌握各进位计数制间的相互转换熟练掌握一个数原码、反码、补码的表示，以及原码、反码、补码的算术运算。掌握8421BCD码、余3码、格雷码、奇偶校验码的特点。,作业:,P24