第二章 系统的数学模型(2011第3讲)

1、,第3讲,控制理论的发展历程 自动控制系统定义 控制系统的分类 自动控制系统特点及对控制系统的基本要求 机械工程控制论的研究对象与任务 系统特性及其数学模型 系统方框图及系统反馈,复习上一讲内容,石家庄铁道大学机械工程学院,第一章练习题,1.1、机械工程控制论的研究对象和任务是什么？ 1.8、对控制系统的基本要求是什么？ 1.9、将学习本课程作为一个动态系统来考虑，试分析这一动态系统的输入、输出及系统的固有特性各是什么？应采取什么措施来改善系统特性，提高学习质量？,石家庄铁道大学机械工程学院,第二章 系统的数学模型Mathematical models of systems,研究与分析一个系统

2、，不仅要定性地了解系统的工作原理及其特性，而且要定量地描述系统的动态特性。 为揭示系统的结构、参数与其动态特性之间的关系，有必要建立系统的数学模型，即将物理系统在信号传递过程中的动态特性用数学表达式描述出来。 建立数学模型(Mathematical Modelling)定量分析或设计计算的前提。,2.1 系统的微分方程,1、系统的数学模型及其形式 Definition of Mathematical model of system 系统的数学模型 系统的数学模型是描述系统各变量之间关系的数学表达式，是系统动态特性的数学描述。 系统的数学模型可分为静态、动态数学模型。 对于给定的动态系统，数学模

3、型不是唯一的。但对于线性系统，它们之间是等价的。 针对具体问题，选择不同的数学模型。,以微分方程为基础的数学模型,经典控制理论采用的数学模型主要以传递函数为基础；现代控制理论采用的数学模型主要以状态空间方程为基础。 经典控制理论最常用的数学模型是时域中的微分方程（differential equations）、复域中的传递函数(Transfer Function)和频域中的频率特性(Frequency Response)。微分方程又是最基本的数学模型，是列写传递函数和状态空间方程的基础。一般来说，可以通过分析系统的运动状态来建立微分方程，再将其转化为系统的传递函数形式，以利于对系统进行深入研究

4、、分析和综合。,静态数学模型,反映系统处于平衡点（稳态）时，系统状态有关属性变量之间关系的数学模型。即只考虑同一时刻实际系统各物理量之间的数学关系，不管各变量随时间的演化，输出信号与过去的工作状态（历史）无关。因此静态模型都是代数式，数学表达式中不含有时间变量。,动态数学模型,描述动态系统瞬态与过渡态特性的模型。也可定义为描述实际系统各物理量随时间演化的数学表达式。动态系统的输出信号不仅取决于同时刻的激励信号，而且与它过去的工作状态有关。微分方程或差分方程常用作动态数学模型。,系统数学模型的形式,同一系统的数学模型可以有多种形式： 时间域：如微分方程/差分方程、状态方程 复数域：传递函数、结构

5、图 频率域：频率特性 这些模型之间都有着内在的联系，可以相互进行转换。,数学模型的特点,相似性 数学模型可能相同，即具有相同的运动规律。方程的符号抽象为变量，系数抽象为参数。结论具有一般性。 简化性和准确性 ：常在误差允许的条件下忽略一些对特性影响较小的物理因素，用简化的数学模型来表达实际系统。,2、线性系统(linear system )和非线性系统(Nonlinear system),系统按其微分方程是否线性这一特性，可以分为线性系统和非线性系统。 线性系统：系统的运动状态可以用线性微分方程来表示。线性系统有一个重要的特性即满足叠加原理（ Principle of superpositio

6、n ）：,当多个输入信号同时作用于系统时，系统的输出等于各个输入信号单独作用时系统的输出之和。线性系统的优点是可运用线性理论对系统进行分析和设计。 线性系统又分为线性定常系统和线性时变系统： 线性定常系统：系统微分方程的系数均为常数。其特点是系统响应曲线的形态只取决于具体的输入，与输入信号的时间起点无关。 线性时变系统：系统微分方程的系数为时间的函数。,非线性系统：系统中存在一个或多个非线性元件，此时系统只能用非线性微分方程来描述。非线性系统不满足叠加原理。 系统是否线性这一特征，不随系统模型形式的不同而改变。线性与非线性是系统的固有特性，完全由系统的结构和参数确定。,The differen

7、tial equations describing the dynamic performance of a physical system are obtained by utilizing the physical laws of the process.,How to get the differential equations of physical systems?,3、系统数学模型的建立基础及其方法,建立数学模型的基础 机械运动三要素 质量M-m为质量时有：,其中 分别为力、速度和位移。,弹簧K-k为弹性系数时有：,为弹簧两端参考点 。,分别为力、速度和位移。,其中,阻尼B：B为阻

8、尼系数时，有：,为阻尼两端参考点 。,分别为力、速度和位移。,机械运动遵循：牛顿定律、能量守恒定律。,其中，,电气系统三元件,电阻：,电容：,电感：,电路系统遵循欧姆定理、基尔霍夫定律。,热学：遵循传热定理、热平衡定律,建立数学模型的方法,系统建模是经典控制理论和现代控制理论的基础。建立系统模型的方法有分析法和实验辨识法两种。前者主要用于对系统结构和参数的认识都比较清楚的简单系统，而后者通常用于对系统结构和参数有所了解，而需要进一步精化系统模型的情况。 对复杂系统的建模往往是分析法与实验辨识法相结合的多次反复的过程。在建模的过程中还要正确处理模型简化和模型精度的辩证关系，以建立简单且能满足要求

9、的数学模型。,分析法（Analytical method） 又称解析法。它是根据系统及元件的特点和连接关系，按照它们所遵循的物理、化学等定律，列写出各物理量之间的数学关系式。 实验法（Experimental method） 通过对系统施加典型的测试信号，如阶跃信号、脉冲或正弦信号等，记录系统的时间响应曲线或频率响应曲线，从而估算出系统的传递函数。,解析方法适用于简单、典型、常见的系统，而实验方法适用于复杂、非常见的系统。实际上把这两种方法结合起来建立数学模型更为有效。,分析法和实验辨识法的应用,习惯上把用微分方程的求解、分析系统的方法称为数学分析法，把用传递函数、频率特性求解、分析系统的方法

10、称为工程分析法。 一般来说，工程分析法比数学分析法直观、方便，这也是我们引入复域、频域数学模型的主要原因。,4、控制系统微分方程的编写,控制系统一般由若干元件组成，列写微分方程的一般步骤是： 根据元件的工作原理和在系统中的作用，确定元件的输入量和输出量（必要时还要考虑扰动量），并根据需要引进一些中间变量-划分环节，确定变量； 按照信号的传递顺序，从系统的输入端出发，根据各元件在工作过程中所遵循的物理或化学定律，按工作条件忽略一些次要因素，并考虑相邻元件的彼此影响，列出系统各个环节的动态微分方程； 消去上述各方程中的中间变量，最后得到只包含描述输出量与输入量（包括扰动量）关系的微分方程； 将微分

11、方程标准化。与输入有关的项写在方程的右边，与输出有关的项写在方程的左边，方程的各阶导数按降幂排列。,以下举例说明建立系统微分方程的步骤和方法。,例1 图2.1.1所示为由两个形式相同的RC电路串联而成的滤波网络，试写出以输出电压和输入电压为变量的滤波网络的微分方程。,解：根据克希荷夫定律，可写出如下原始方程式：,消去中间变量和后得到系统的微分方程：,- (2.1.1),注意：不能把两个环节孤立起来，若分为两个独立环节则有：,设前一环节的输出为,则有：,对后一环节有:,消去中间变量后得:,显然，后面的算法没有考虑到两个环节之间的负载效应，即相邻环节之间的信息反馈作用。只有当后一环节的输入阻抗很大

12、，而前一环节的输出阻抗与其相比可以忽略的情况下，方可使用后一种方案。,根据牛顿定理，可列出质量块的力平衡方程如下： 这也是一个两阶定常微分方程。X为输出量，F为输入量。 在国际单位制中，m,f和k的单位分别为：,例2 求弹簧-阻尼-质量的机械位移系统的微分方程。输入量为外力F，输出量为位移x。,解：图1和图2分别为系统原理结构图和质量块受力分析图。图中，m为质量，f为粘性阻尼系数，k为弹性系数。,5、非线性系统的线性化,在经典控制领域，主要研究的是线性定常系统。许多实际的物理系统或多或少都存在一些非线性因素，只是在一定的条件和范围内具有线性特性，但在一定范围内，经过线性化处理，可以用一个线性化

13、模型来研究它的特性，即所谓的近似数学模型。,非线性方程 局部线性增量方程,一、线性化定义：将一些非线性方程在一定的工作范围内用近似的线性方程来代替，使之成为线性定常微分方程。 二、线性化方法：运用微分方程的增量化表示 微分方程的增量化表示是指写出非线性方程的局部线性增量方程，假定在控制系统的整个调节过程中，所有变量与稳态值之间只会产生足够小的偏差。 三、增量方程的数学定义 将参考点的原点移到系统或元件的平衡点/静态工作点上。对实际系统而言，此点即系统运动起始点，初始条件为零。此点的增量化方程满足叠加原理。,微分方程的增量化表示运用示例,由克希荷夫定律，电机电枢回路方程如下：,当磁通固定不变时，

14、有：,为反电势常数。,设J为转动部分折合到电动机轴上的总的转动惯量，则根据刚体的转动定律，电动机转子的运动方程为：有：,消去中间变量得：,- (2.1.3),令,在上式中，若电机处于平衡状态，则变量的各阶导数均为零，微分方程变为代数方程。即：,- (2.1.5),电机工作在平衡状态下时，设所对应的输入量和输出量分别为：,将以下各式：,代入式(2.1.4)，并考虑到,可得电动机微分方程在该平衡状态附近的增量化表示式：,- (2.1.6),增量化表达式的意义在于将平衡点作为各变量的坐标零点，这样在求解增量化表示的方程时，把初始条件转化为零，从而带来许多方便。自动控制理论中的微分方程一般都是用增量方

15、程来表示，且习惯上将增量符号省去。 四、工程上常用的线性化方法 工程上常用的方法是将非线性函数在平衡点附近展开成Taylor级数，然后去掉高次项以得到线性函数。,下面以直流发电机为例，说明常用非线性方程线性化的方法。,例4 直流发电机的输出电势y与磁通量成正比，在一定范围内与励磁电流x成正比。但随着励磁电流的增大，当磁路出现饱和以后，磁通不再随励磁电流作线性变化，因而使电机的输出电势与励磁电流不再存在线性关系，而是呈现一种连续变化的非线性关系。,在A点的切线斜率。显然经上述处理，所得式(2.1.6)已是线性方程了。,例5 已知非线性函数为,试分别在 及 两点邻域，对函数进行线性化处理。（大家做

16、）,上述的线性化方法称之为小偏差法，它是基于这样一种近似假设：在系统控制过程中，输入量和输出量只是在静态工作点附近作微小变化，变化值很小，其高次项更小到可以忽略不计。这样的假设显然是符合控制系统的实际工作情况的，因为对闭环系统而言，一旦产生偏差，由于反馈的存在，系统的输出总是在平衡点附近作微小的波动。,研究非线性方程的线性化必须注意：,小偏差方法只适应于不太严重的非线性系统，其非线性函数是可以利用Taylor级数展开的； 实际工作运行情况是在某个平衡点/静态工作点附近，且变量只能在小范围内变化。 静态工作点不同，K值也不同； 对于严重的非线性，不宜用小偏差法处理。,习题,2.1 2.2(b)

17、2.3(b) 2.4(b),第3讲,2.1系统的微分方程 1、系统的数学模型及其形式 系统的数学模型：描述系统各变量之间关系的数学表达式，是系统动态特性的数学描述。 系统数学模型的形式： 时间域：如微分方程/差分方程、状态方程 复数域：传递函数、结构图 频率域：频率特性 数学模型的特点：相似性 、简化性和准确性 2、线性系统和非线性系统：微分方程是否线满足叠加原理,内容小结,第3讲,3、系统数学模型的建立基础及其方法 建立数学模型的基础 建立数学模型的方法-分析法和实验辨识法 4、控制系统微分方程的编写 划分环节，确定变量； 列出系统各个环节的动态微分方程； 消去上述各方程中的中间变量 ； 将

18、微分方程标准化。 5、非线性系统的线性化 工程上常用的方法是将非线性函数在平衡点附近展开成Taylor级数，然后去掉高次项以得到线性函数。,2.2系统的传递函数,1、传递函数（ Transfer Function ）的提出 在给定输入量和初始条件时，可以在时域中求出系统的输出响应，这种解法比较直观、准确，但是用于分析和设计高阶系统就显得比较困难，而且看不出系统的结构、参数所决定的系统阶数和系数对其解的影响。在系统的输出响应不符合要求时，无法依此来调节系统的结构和参数。同时，每改变一次结构和参数，就得重新编写和求解微分方程。,第3讲,线性常微分方程经过拉氏变换，可以得到系统在复数域中的数学模型，

19、称之为传递函数。它不但可以表征系统的动态特性，而且可以用来研究系统的结构或参数变化对其性能的影响，从而使分析和设计工作大为简化。在经典控制理论中广泛使用的频率法和根轨迹法，都是建立在传递函数这种数学模型基础上。,第3讲,2、拉氏变换的预备知识,、拉氏变换(Laplace transform) 与拉氏反变换,为拉氏变换符号。,第3讲,Laplace（拉普拉斯）变换是描述、分析连续、线性、时不变系统的重要工具！ 拉氏变换可理解为广义单边傅立叶变换。傅氏变换建立了时域和频域间的联系，而拉氏变换建立了时域和复频域间的联系。,第3讲,拉氏反变换（Inverse Laplace transformatio

20、n ）,、常用函数的拉氏变换 通过拉氏变换，可将高等函数变为初等函数，即将复杂函数变为简单函数，经过相应处理以后再进行拉氏反变换。,为拉氏反变换符号。,第3讲,为常数，则有：,指数函数,第3讲,Important Laplace Transform Pairs,同理有：,由尤拉公式：,三角函数,第3讲,幂函数,得：,注：,第3讲,单位阶跃函数,第3讲,单位斜坡函数,第3讲,单位脉冲函数,由洛必达法则：,故,第3讲,单位加速度函数,第3讲,、拉氏变换的主要运算定理 Important Theorems of Laplace Transform,第3讲, linearity,第3讲, differ

21、entiation,则在s 的某一收敛域内，当ss0时，有,，由分布积分法：,第3讲,(初始条件),上面定理可推广到多重微分,对,得：,第3讲,积分定理,由分部积分:,第3讲,在t=0的值,对,可推广到多重积分：,第3讲,位移定理,如：,第3讲,延时定理（ Shife in Time ）,即,延时定理的证明（变量置换法）：令,第3讲,终值定理(final-value theorem),在两边取极限,第3讲,初值定理(initial-value theorem),证明：,第3讲,卷积定理,注：,如果所有的初始条件均为零，则微分方程的拉氏变换可以简单地通过用以下代换而得到：,利用拉氏变换求解微分方

22、程，有以下几个明显的优点：,第3讲,将对复杂微分方程的求解，转化成对简单代数方程的求解；,求得的解是完整的，初始条件包含在拉氏变换中，不必另行确定积分常数；,3、用拉氏变换求解线性微分方程的方法和步骤,对微分方程各项进行拉氏变换，将时域微分方程转成复数域的代数方程； 对变换后的方程进行整理，求出待求变量的像函数表达式； 对像函数进行拉氏反变换，可得到对应的原函数表达式，即为系统的时间响应函数。,第3讲,4、传递函数的定义,第3讲,系统的传递函数记作 ，其定义为：在零初始条件下，系统输出的拉氏变换与引起该输出的输入量的拉氏变换之比。它是以复变数s为自变量的函数。 Transfer functio

23、n: The ratio of the Laplace transform of the output variable to the Laplace transform of the input variable,with all initial conditions assumed to be zero.,第3讲,- (2.2.1),在零初始条件下，经拉氏变换后，系统的传递函数可以表示为,- (2.2.2),第3讲,5、传递函数特点,作为复数域中的系统数学模型，传递函数通过系统输入量与输出量之间的关系来描述系统的固有特性。传递函数的分母反映了系统的结构与参数所决定的系统的固有特性，而其分子则反映了系统与外界之间的联系； 当系统的初始状态为零时，对于给定的输入，系统输出的拉氏变换完全取决于其传递函数。一旦系统的初始状态不为零，则传递函数不能完全反映系统的动态历程；,第3讲,第3讲,传递函数分子中s的阶次不会大于分母s的阶次； 传递函数有无量纲和取何种量纲，取决于系统