《线性代数》同济第五版课件第三章

1、第三章矩阵的初等变换与线性方程组,1矩阵的初等变换 2矩阵的秩 3线性方程组的解,1矩阵的初等变换,2020/7/5,第三章矩阵的初等变换与线性方程组,1,分析用消元法解线性方程组的过程,引例求解线性方程组,2020/7/5,第三章矩阵的初等变换与线性方程组,2,解,2020/7/5,第三章矩阵的初等变换与线性方程组,3,最后用“回代”的方法求出解,2020/7/5,第三章矩阵的初等变换与线性方程组,4,于是解得,其中可任意取值,或令，方程组的解可记作,其中为任意常数,2020/7/5,第三章矩阵的初等变换与线性方程组,5,在上述消元过程中，始终把方程组看作一个 整体来变形，用到如下三种变换：

2、,(1)交换方程次序；,(3)一个方程加上另一个方程的 k 倍,(2)以不等于 0 的数乘某个方程；,2020/7/5,第三章矩阵的初等变换与线性方程组,6,并且这三种变换都是可逆的,因此变换前的方程组与变换后的方程组是同 解的这三种变换都是方程组的同解变换， 所以最后求得的解 ( 2 ) 是方程组 ( 1 ) 的解,2020/7/5,第三章矩阵的初等变换与线性方程组,7,若记,在上述变换过程中，只对方程组的系数和常 数进行运算，未知数并未参与运算,那么上述对方程组的变换完全可以转换为对 矩阵的行变换,方程组 ( 1 ) 的增广矩阵,于是定义,类似地，可定义矩阵的初等列变换，所用记 号把 r

3、换成 c 即可,2020/7/5,第三章矩阵的初等变换与线性方程组,8,定义1下列变换称为矩阵的初等行变换,矩阵的初等行变换与初等列变换，统称初等 变换,2020/7/5,第三章矩阵的初等变换与线性方程组,9,显然，三种初等变换都是可逆的，且其逆变 换是同一类型的初等变换,如果矩阵经有限次初等变换变成矩阵，,就称矩阵与等价，记作,等价关系具有反身性、对称性和传递性,2020/7/5,第三章矩阵的初等变换与线性方程组,10,用矩阵的初等行变换来解方程组 ( 1 ),2020/7/5,第三章矩阵的初等变换与线性方程组,11,2020/7/5,第三章矩阵的初等变换与线性方程组,12,回代，得,取为自

4、由未知数，并令，即得,其中为任意常数,2020/7/5,第三章矩阵的初等变换与线性方程组,13,(1)可画出一条阶梯线，线的下方全为 0 ；,(2)每个台阶只有一行，台阶数既是非零行的 行数，阶梯线的竖线后面的第一个元素为非 零元，也就是非零行的第一个非零元,行阶梯形矩阵还称为行最简形矩阵,矩阵和都称为行阶梯形矩阵,矩阵称为矩阵的标准形,2020/7/5,第三章矩阵的初等变换与线性方程组,14,行最简形矩阵再经过初等列变换，可化成标 准形,任何矩阵，总可经过有限次初等行变换 把它变为行阶梯形矩阵和行最简形矩阵,左上角是一个单位矩阵，其余元素全为 0 ,其特点是：,2020/7/5,第三章矩阵的

5、初等变换与线性方程组,15,此标准形由 m ， n ， r 三个数完全确定，其 中 r 就是行阶梯形矩阵中非零行的行数,对于矩阵，总可经过初等变换把它化 为标准形,所有与等价的矩阵组成一个集合，称为一 个等价类，标准形是这个等价类中形状最 简单的矩阵,初等矩阵与初等变换,2020/7/5,第三章矩阵的初等变换与线性方程组,16,三种初等变换对应有三种初等矩阵,定义2由单位阵经过一次初等变换得到的 矩阵称为初等矩阵,2020/7/5,第三章矩阵的初等变换与线性方程组,17,2020/7/5,第三章矩阵的初等变换与线性方程组,18,得,用 m 阶初等矩阵左乘矩阵，,其结果相当于把的第 i 行与第

6、j 行对调,2020/7/5,第三章矩阵的初等变换与线性方程组,19,类似地，以 n 阶初等矩阵右乘，得,其结果相当于把的第 i 列与第 j 列对调,2020/7/5,第三章矩阵的初等变换与线性方程组,20,2020/7/5,第三章矩阵的初等变换与线性方程组,21,以左乘矩阵，,其结果相当于以数 k 乘的第 i 行,以右乘矩阵，,其结果相当于以数 k 乘的第 i 列,2020/7/5,第三章矩阵的初等变换与线性方程组,22,2020/7/5,第三章矩阵的初等变换与线性方程组,23,以 左乘矩阵，,其结果相当于把的第 j 行乘 k 加到第 i 行,2020/7/5,第三章矩阵的初等变换与线性方程

7、组,24,以 右乘矩阵，,其结果相当于把的第 i 列乘 k 加到第 j 列,2020/7/5,第三章矩阵的初等变换与线性方程组,25,性质1设是一个矩阵，,显然初等矩阵都是可逆的，且,对施行一次初等行变换，相当于在的左 边乘以相应的 m 阶初等矩阵；,对施行一次初等列变换，相当于在的右 边乘以相应的 n 阶初等矩阵,2020/7/5,第三章矩阵的初等变换与线性方程组,26,再证必要性设可逆，标准形为，即有,性质2方阵可逆的充分必要条件是存在有 限个初等矩阵，使,因初等矩阵均可逆，充分性是显然的,证,初等矩阵，使,因此中非零行的行数为 n ，即,从而,2020/7/5,第三章矩阵的初等变换与线性

8、方程组,27,定理1设与为矩阵，那么的充 分必要条件是存在 m 阶可逆矩阵及 n 阶可 逆矩阵，使,推论方阵可逆的充要条件是,定理 1 把矩阵的初等变换与矩阵的乘法联系 了起来，从而可以依据矩阵乘法的运算规律 得到初等变换的运算规律，也可以利用矩阵 的初等变换去研究矩阵的乘法,2020/7/5,第三章矩阵的初等变换与线性方程组,28,例1把矩阵,表示成有限个初等矩阵的乘积,解因 ，故可逆,从而经过初等变换可变为单位阵,2020/7/5,第三章矩阵的初等变换与线性方程组,29,2020/7/5,第三章矩阵的初等变换与线性方程组,30,下面介绍一种利用初等变换求逆阵的方法,2020/7/5,第三章

9、矩阵的初等变换与线性方程组,31,例2设,解,的行最简形矩阵为，求，并求一个可逆 矩阵，使,对作初等行变换,2020/7/5,第三章矩阵的初等变换与线性方程组,32,注意本例中可逆矩阵不是惟一的,2020/7/5,第三章矩阵的初等变换与线性方程组,33,例3求解矩阵方程，其中,解若可逆，则方程有惟一解，且,对作初等行变换,2020/7/5,第三章矩阵的初等变换与线性方程组,34,2020/7/5,第三章矩阵的初等变换与线性方程组,35,例4设 n 阶方阵,解由 ，所以可逆故,求中所有元素的代数余子式之和,2020/7/5,第三章矩阵的初等变换与线性方程组,36,2020/7/5,第三章矩阵的初

10、等变换与线性方程组,37,2矩阵的秩,2020/7/5,第三章矩阵的初等变换与线性方程组,38,任何矩阵，总可经过有限次初等行变换 把它变为行阶梯形矩阵和行最简形矩阵，再 经过有限次初等列变换化为标准形,而无论行阶梯形矩阵、行最简形矩阵还是标 准形，它们的非零行的行数是一样的,2020/7/5,第三章矩阵的初等变换与线性方程组,39,定义3在矩阵中，任取 k 行与 k 列， 位于这些行列交叉处的个元素，不改变它 们在中的位置次序而得的 k 阶行列式，称 为矩阵的 k 阶子式,定义4设在矩阵中有一个不等于 0 的 r 阶 子式，且所有 r + 1 阶子式全等于 0 ，那么 称其为矩阵的最高阶非零

11、子式，数 r 称为 矩阵的秩，记作,规定零矩阵的秩等于 0 ,2020/7/5,第三章矩阵的初等变换与线性方程组,40,例5求矩阵和的秩，其中,秩是的非零子式的最高阶数,对于，显然有,解在中，,而的 3 阶子式只有一个，且，,2020/7/5,第三章矩阵的初等变换与线性方程组,41,对于,显然它的 4 阶子式全为零，取三个非零行的 第一个非零元所在的列构成的 3 阶子式为,2020/7/5,第三章矩阵的初等变换与线性方程组,42,行阶梯形矩阵的秩就等于非零行的行数,定理2若，则 ,则 ,证先证明若经一次初等行变换变为，,设，且某个 r 阶子式,问题：初等变换是否改变矩阵的秩？,2020/7/5

12、,第三章矩阵的初等变换与线性方程组,43,2020/7/5,第三章矩阵的初等变换与线性方程组,44,由于亦可经一次初等行变换变为，故也 有 ,因此 ,经一次初等行变换矩阵的秩不变，即可知经 有限次初等行变换矩阵的秩仍不变,设经初等列变换变为，则经初等行变 换变为,由上段证明有,总之，若经有限次初等变换变为，则,2020/7/5,第三章矩阵的初等变换与线性方程组,45,推论若可逆矩阵使，,则 ,可逆矩阵的秩等于矩阵的阶数，故可逆矩阵 又称满秩矩阵，不可逆矩阵称降秩矩阵,对于 n 阶矩阵，其 n 阶子式只有一个， 故当时，当时,对作初等行变换变成行阶梯形矩阵,2020/7/5,第三章矩阵的初等变换

13、与线性方程组,46,例6设,求的秩，并求的一个最高阶非零子式,解,2020/7/5,第三章矩阵的初等变换与线性方程组,47,由行阶梯形矩阵的 3 个非零行，得,再求的一个最高阶非零子式,记,因此这便是的一个最高阶非零子式,2020/7/5,第三章矩阵的初等变换与线性方程组,48,故中必有 3 阶非零子式,考察的行阶梯形矩阵，,则,设的行阶梯形矩阵为 ，,2020/7/5,第三章矩阵的初等变换与线性方程组,49,例7设,求矩阵及矩阵 的秩,解,则就是的行阶梯形矩阵，,故从中可同时看出及,2020/7/5,第三章矩阵的初等变换与线性方程组,50,注意以为增广矩阵的线性方程组无解,因此,对任何非零向

14、量，,2020/7/5,第三章矩阵的初等变换与线性方程组,51,当时，,解,例8问矩阵与的秩的关系怎样？,反之，当 时，,即线性方程组与 同解,下面再介绍几个常用的矩阵秩的性质：,2020/7/5,第三章矩阵的初等变换与线性方程组,52,矩阵秩的一些最基本的性质，归纳起来有：,特别地，当为非零列向量时，有,因为的子式总是的子式，,对亦然，所以,设,2020/7/5,第三章矩阵的初等变换与线性方程组,53,证,综上即有,把和作列变换化为列阶梯形和，有,即,无妨设为矩阵,于是,2020/7/5,第三章矩阵的初等变换与线性方程组,54,证,对矩阵 作列变换 ，得,下面罗列两条常用的性质，以后给予证明

15、：,因，故,2020/7/5,第三章矩阵的初等变换与线性方程组,55,证,例9证明：若，且，则,存在 m 阶可逆矩阵，使,设，若为列满秩矩阵，则,列满秩矩阵,这一结论通常称为矩阵乘法的消去律,3线性方程组的解,2020/7/5,第三章矩阵的初等变换与线性方程组,56,设有 n 个未知数 m 个方程的线性方程组,或写成向量方程,线性方程组 ( 3 ) 如果有解，就称它是相容的，,反之，则称它不相容,证只需证明条件的充分性,2020/7/5,第三章矩阵的初等变换与线性方程组,57,利用系数矩阵和增广矩阵的秩，可以方便地 讨论线性方程组的解的情况,定理3 n 元线性方程组,设,由矩阵秩的性质，有,2

16、020/7/5,第三章矩阵的初等变换与线性方程组,58,无妨设的行最简形为,2020/7/5,第三章矩阵的初等变换与线性方程组,59,2020/7/5,第三章矩阵的初等变换与线性方程组,60,2020/7/5,第三章矩阵的初等变换与线性方程组,61,上面含 n - r 个参数的解 ( 6 ) 可表示线性方程 组 ( 3 ) 的任一解，因此称为线性方程组 ( 3 ) 的通解,系数矩阵经初等行变换化为行最简形,2020/7/5,第三章矩阵的初等变换与线性方程组,62,例10求解齐次线性方程组,解,令，即得,2020/7/5,第三章矩阵的初等变换与线性方程组,63,故所求齐次线性方程组的解为,对增广矩阵施行初等行变换,2020/7/5,第三章矩阵的初等变换与线性方程组,64,例11求解非齐次线性方程组,解,2020/7/5,第三章矩阵的初等变换