2014届高三数学一轮复习：正弦定理和余弦定理的应用

1、1实际问题中的有关概念 (1)仰角和俯角： 在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角(如图 ),(2)方位角： 从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为(如图) (3)方向角：相对于某一正方向的水平角(如图),北偏东：指北方向顺时针旋转到达目标方向 东北方向：指北偏东45或东偏北45. 其他方向角类似 (4)视角： 观测点与观测目标两端点的连线所成的夹角叫做视角(如图),小题能否全取 1从A处望B处的仰角为，从B处望A处的俯角为， 则，之间的关系是() AB C90 D180 答案：B,2若点A在点C的北偏东30，点B在点C的南偏东60， 且

2、ACBC，则点A在点B的 () A北偏东15 B北偏西15 C北偏东10 D北偏西10,解析：如图所示， ACB90， 又ACBC， CBA45， 而30， 90453015. 点A在点B的北偏西15.,答案：B,3.如图，测量河对岸的塔高AB时，可以 选与塔底B在同一水平面内的两个观 测点C与D，测得BCD15， BDC135，CD30 m，并在点 C处测得塔顶A的仰角为30，则塔高AB为 (),答案：D,4(2011上海高考)在相距2千米的A、B两点处测量目标 点C，若CAB75，CBA60，则A、C两点之间的距离为_千米,5(2012泰州模拟)一船向正北航行，看见正东方向有相 距8海里的

3、两个灯塔恰好在一条直线上继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏东60，另一灯塔在船的南偏东75，则这艘船每小时航行_海里,答案：8,解三角形应用题常有以下两种情形 (1)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解 (2)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及到两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解,测量距离问题,例1郑州市某广场有一块不 规则的绿地如图所示，城建部门欲 在该地上建造一个底座为三角形的 环境标志，小李、小王设计

4、的底座 形状分别为ABC、ABD，经测量ADBD7米，BC5米，AC8米，CD.,(1)求AB的长度； (2)若不考虑其他因素，小李、小王谁的设计使建造费用最低(请说明理由),若环境标志的底座每平方米造价为5 000元，试求最低造价为多少？,求距离问题要注意： (1)选定或确定要求解的三角形，即所求量所在的三角形，若其他量已知则直接解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解 (2)确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理,1为了更好地掌握有关飓风的数据资料，决定在海上 的四岛A、B、C、D建立观测站，已知B在A正北方 向15海里处，C在A的东偏北30方向，又在D的

5、东 北方向，D在A的正东方向，且BC相距21海里，求 C、D两岛间的距离,测量高度问题,例2(2012九江模拟)如图，在 坡度一定的山坡A处测得山顶上一建 筑物CD(CD所在的直线与地平面垂直) 对于山坡的斜度为，从A处向山顶前进l米到达B后，又测得CD对于山坡的斜度为，山坡对于地平面的坡角为. (1)求BC的长； (2)若l24，15，45，30，求建筑物CD的高度,求解高度问题应注意： (1)在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念，仰角和俯角都是在同一铅垂面内，视线与水平线的夹角； (2)准确理解题意，分清已知条件与所求，画出示意图； (3)运用正、余弦定理，有序地解相关的三角形，逐步求解问

6、题的答案，注意方程思想的运用,2(2012西宁模拟)要测量底部不能到达的电视塔AB的 高度，在C点测得塔顶A的仰角是45，在D点测得 塔顶A的仰角是30，并测得水平面上的BCD 120，CD40 m，求电视塔的高度,测量角度问题,例3(2012太原模拟)在一次海上联合作战演习中，红方一艘侦察艇发现在北偏东45方向，相距12 n mile的水面上，有蓝方一艘小艇正以每小时10 n mile的速度沿南偏东75方向前进，若侦察艇以每小时14 n mile的速度，沿北偏东45方向拦截蓝方的小艇若要在最短的时间内拦截住，求红方侦察艇所需的时间和角的正弦值,自主解答如图，设红方侦察艇经过x小时后在C处追上

7、蓝方的小艇，,1测量角度，首先应明确方位角，方向角的含义 2在解应用题时，分析题意，分清已知与所求，再根据题意正确画出示意图，通过这一步可将实际问题转化为可用数学方法解决的问题，解题中也要注意体会正、余弦定理综合使用的特点,典例某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上在小艇出发时，轮船位于港口O北偏西30且与该港口相距20海里的A处，并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶假设该小艇沿直线方向以v海里/小时的航行速度匀速行驶，经过t小时与轮船相遇 (1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？ (2)为保证小艇在30分钟内(含30分钟)能与轮船相遇，试确定小艇航行速度的最小值,题后悟道解答本题利用了函数思想，求解时，把距离和速度分别表示为时间t的函数，利用函数的性质求其最值，第二问应注意t的范围关于三角形中的最值问题，有时把所求问题表示关于角的三角函数，再利