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文档简介
1、1.3.2 函数极值与导数,知识回顾:,如果在某个区间内恒有 ,则 为常数.,用“导数法” 求单调区间的步骤:,注意:函数定义域,求,令,求单调区间,问题:如图表示高台跳水运动员的高度 随时间 变化的函数 的图象,单调递增,单调递减,归纳: 函数 在点 处 ,在 的附近, 当 时,函数h(t)单调递增, ; 当 时,函数h(t)单调递减, 。,探究,(3)在点 附近, 的导数的符号有 什么规律?,(1)函数 在点 的函数值与这些点 附近的函数值有什么关系?,(2)函数 在点 的导数值是多少?,(图一),问题:,探究,(图一),极大值f(b),点a为函数y=f(x)的极小值点,f(a)叫做函数y
2、=f(x)的极小值.,点b为函数y=f(x)的极大值点,f(b)叫做函数y=f(x)的极大值.,极小值点、极大值点统称极值点, 极大值和极小值统称为极值.,极小值f(a),思考:极大值一定大于极小值吗?,(1)如图是函数 的图象,试找出函数 的极值点,并指出哪些是极大值点,哪些是极小值点?,(2)如果把函数图象改为导函数 的图象?,随堂练习,答:,1、x1,x3,x5,x6是函数y=f(x)的极值点,其中x1,x5是函数y=f(x)的极大值点,x3,x6函数y=f(x)的极小值点。,2、x2,x4是函数y=f(x)的极值点,其中x2是函数y=f(x) 的极大值点,x4是函数y=f(x)的极小值
3、点。,下面分两种情况讨论: (1)当 ,即x2,或x-2时;,(2)当 ,即-2 x2时。,例4:求函数 的极值.,解:,当x变化时, 的变化情况如下表:,当x=-2时, f(x)的极大值为,令,解得x=2,或x=-2.,当x=2时, f(x)的极小值为,探索: x =0是否为函数f(x)=x3的极值点?,若寻找可导函数极值点,可否只由f(x)=0求得即可?,f(x)=3x2 当f(x)=0时,x =0,而x =0不是该函数的极值点.,f(x0) =0 x0 是可导函数f(x)的极值点,x0左右侧导数异号 x0 是函数f(x)的极值点 f(x0) =0,注意:f /(x0)=0是函数取得极值的
4、必要不充分条件,(2)如果在 附近的左侧 ,右侧 , 那么 是极小值,归纳:求函数y=f(x)极值的方法是:,(1)如果在 附近的左侧 ,右侧 , 那么 是极大值;,解方程 ,当 时:,练习: 下列结论中正确的是( )。 A、导数为零的点一定是极值点。 B、如果在x0附近的左侧f(x)0,右侧f(x)0,那么f(x0)是极大值。 、极大值一定大于极小值。,B,(最好通过列表法),巩固练习:,求函数 的极值,当 时, 有极大值,并且极大值为,当 时, 有极小值,并且极小值为,解: 令 ,得 ,或 下面分两种情况讨论: (1)当 ,即 时; (2)当 ,即 ,或 时。 当 变化时, 的变化情况如下
5、表:,思考:已知函数 在 处取得极值。 (1)求函数 的解析式(2)求函数 的单调区间,解:(1) 在 取得极值, 即 解得 (2) , 由 得 的单调增区间为 由 得 的单调减区间为,函数 在 时有极值10,则a,b的值为( ) A、 或 B、 或 C、 D、 以上都不对,C,,,注意:f/(x0)=0是函数取得极值的必要不充分条件,注意代入检验,随堂练习,课堂小结:,一、方法: (1)确定函数的定义域 (2)求导数f(x) (3)求方程f(x) =0的全部解 (4)检查f(x)在f(x) =0的根左.右两边值的符号,如果左正右负(或左负右正),那么f(x)在这个根取得极大值或极小值 二、通过本节课使我们学会了应用数形结合法去求函数的极值,并能应用函数的极值解决函数的一些问题 作业: P32 5 ,今天我们学习函数的极值,并利用导
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