讲义8-不完全信息动态博弈(续2)――不完全信息重复博弈

1、第8讲 不完全信息动态博弈（续2）不完全信息重复博弈,主讲人：张成科 博士 广东工业大学经济与贸易学院 ,管理博弈论（Management Game Theory),目录导航,一 精练贝叶斯纳什均衡 基本思路 贝叶斯法则 精练贝叶斯纳什均衡 不完美信息博弈的精练贝叶斯均衡 二 信号传递博弈及其应用举例 不完全信息重复博弈,不完全信息重复博弈与声誉,KMRW声誉模型 该模型首先是由Kreps（克瑞普斯）、Milgrom（米尔格罗姆）、Roberts（罗伯茨）和Wilsom（威尔荪）于1982年提出。 它主要研究不完全信息静态博弈G经过有限次重复时，博弈人之间的合作行为特征。 因此，有必要先回顾完

2、全信息静态博弈有限次重复的结论。,（一）完全信息重复博弈及其结论,零和博弈等博弈方的利益严格对立的博弈G的有限次重复，不会使各博弈人在某阶段的战略选择有所改变（即不会发生合作行为）。 有唯一纯战略Nash均衡的博弈G，有限次重复G，不会使各博弈人在某阶段的战略选择有所改变（亦即不会发生合作行为） 。 特别地，有“连锁店悖论”。 有多个纯战略Nash均衡的博弈G，有限次重复，有可能使各个博弈人通过选择象“触发战略”等形式，实现部分阶段的行为。,有限次重复 描述方式：将博弈看成是一个特殊的T阶段完全信息动态博弈，然后用子博弈精练Nash均衡讨论。 结论：,“连锁店悖论”(chain-store p

3、aradox),Selten (1978);,进入者,在位者,进入,不进入,默许,斗争,（40，50）,（-10，0）,（0，100）,逆向归纳,假定在位者有20个市场。直观告诉我们，如果进入者在第一个市场进入，在位者应该选择斗争，因为尽管从一个市场看，斗争是不值得的，但这样做可以遏止进入者在其他市场上的进入。 唯一的精炼纳什均衡是：进入者总是进入；在位者总是默许。,完全信息重复博弈及其结论,零和博弈等博弈方的利益严格对立的博弈G的无限次重复，不会使各博弈人在某阶段的战略选择有所改变（即不会发生合作行为）。 有纯战略Nash均衡的博弈G，无限次重复，有可能使各个博弈人通过选择象“触发战略”等形

4、式，在适当的贴现率水平下，实现部分阶段的行为。,无限次重复 描述方式：将博弈看成是一个特殊的T=阶段完全信息动态博弈，然后用子博弈精练Nash均衡讨论。 结论：,（二）不完全信息重复博弈情形,那么，这些结论，在不完全信息博弈G的重复博弈中，将会有什么样的变化呢？这正是本节要研究的。 我们仅讨论G为不完全信息静态博弈时的情况，特别地，就以“囚徒困境”式博弈的不完全信息情况作为主要的讨论对象。,描述方式：将T次重复博弈看成是一个特殊的具有T阶段不完全信息动态博弈，然后用精练贝叶斯Nash均衡的概念来讨论。,Axelrod 实验,Axelrod（1981）实验表明：即使在有限次博弈中，合作行为也频繁

5、出现。,问题在哪里？,一个可能的原因在于：我们前面假定不仅参与人的理性是共同知识，而且每个参与人可以选择的战略和效用函数都是共同知识。但现实不是这样。 可能性：逆向归纳方法的问题（理性共识）；信息不完全； 正如我们前面讨论的谈判情况：如果信息是完全的，谈判一开始就达成协议，但现实中的谈判不是这样，原因在于信息不对称。,不完全信息,KMRW模型（1982）； 如果参与人对其他参与人的效用函数和战略空间的信息不完全，即使博弈重复的次数是有限的，人们也有积极性建立一个合作的声誉(reputation)，合作会出现。 以“囚徒困境”为例说明KMRW模型。,囚徒困境博弈完全信息时的模型,坦白C,抵赖D,

6、坦白C,抵赖D,-8，-8,0，-10,-10，0,-1，-1,A,B,在以下讨论中，坦白=背叛，抵赖=合作,单方不完全信息,假定有两个参与人，A和B，进行囚徒困境博弈。如下图。 参与人A有两中可能的类型：(1)“非理性”型， 概率为p。该类型参与人A只有一种战略，针锋相对战略或者称为grim strategy； (2)“理性”型，概率为（1-p）。该类型参与人A可以选择任何战略。 参与人B有一种类型：理性型。,对“非理性”的解释,“非理性囚徒”： 是对具有上面行为特征的另一类囚徒的概括； 可以理解为讲义气、重信誉的人；内在化了声誉(reciprocity) 社会规范的人； 并不是指他的行为是

7、不追求效用最大化，而是说他有一种特殊的成本函数或效用函数；使他更注重讲义气重声誉。,“理性囚徒”：是指“机会主义者”或者非合作型参与人，是对完全信息情形下“囚徒”及其行为的一个简单化概括。,不完全信息囚徒困境重复博弈的顺序,重复博弈的顺序如下： 自然首先选择囚徒A的类型；囚徒A知道自己的类型，囚徒B只知道囚徒A属于理性的概率为1-p，非理性的概率为p. 两个囚徒进行第一阶段博弈； 观测到第一阶段博弈结果后，进行第二阶段博弈；观测到第二阶段的博弈结果后再进行第三阶段博弈；如此类推； 两理性囚徒的支付是各个阶段博弈支付的贴现值之和（设贴现率为1）。,囚徒困境博弈,坦白C,抵赖D,坦白C,抵赖D,-

8、8，-8,0，-10,-10，0,-1，-1,A,B,在以下讨论中，坦白=背叛，抵赖=合作,两次重复囚徒困境博弈情形,假设非理性囚徒A只采用一种战略（称为针锋相对战略）：开始选择D，然后在t阶段选择囚徒B在t-1阶段的选择（即“你背叛我就背叛，你合作我就合作”）。 此时，我们只需考察囚徒B在第一阶段的选择x，该x将影响囚徒A在第二阶段的选择。各选择情况如下表：,两次重复囚徒困境博弈情形,t=1,t=2,A,非理性(p),理性型(1-p),B （理性型),背叛D,X,坦白C,坦白C,X,坦白C,囚徒B的期望支付情况,若参与人B在第1阶段的行动X=D，其两阶段的期望支付总合为： U2D=p(-1)

9、+(1-p) (-10)+p0+(1-p) (-8)=17p-18 t=1时 t=2时 同理若参与人B在第1阶段的行动X=C，其两阶段期望支付总和为： U2C=p0+(1-p) (-8)+p(-8)+(1-p) (-8)=8p-16 t=1时 t=2时,两次重复时的结论,显然，当U2DU2c时，即 17p-18 8p-16 亦即p 2/9时，囚徒B将选择X=D. 结论： 如果囚徒A属于非理性的概率p 2/9，囚徒B将在第一阶段选择抵赖(D)，即合作行为发生。,博弈重复3次(T=3),t=1,t=2,A,非理性(p),理性型(1-p),B （理性型),合作D,X,X=？(D),坦白C,X,Y,t

10、=3,Y,坦白C,设非理性囚徒A仍只采用“针锋相对战略”，且p 2/9，此时，各个博弈人的战略选择可归纳成上表。,表 4.7,坦白C,参与人A（理性）的选择,可见，如果理性囚徒A和囚徒B在第一阶段选择X=D，那么后续阶段与T=2时相同。,表 4.8,参与人A（理性）的选择,下面我们推导上表（表4-8）是精练Bayes Nash均衡的条件： 由于假设非理性囚徒A只采用“针锋相对战略”，故囚徒B修正其先验概率为后验概率的规则是：若在t=1阶段，观测到囚徒A的选择为C，则修正p为P=0，否则P=p。,共同知识,参与人A（理性）的选择,首先考虑理性囚徒A在第一阶段的战略。 理性囚徒A选择D是最优的（即

11、不让囚徒B区别自己的真实身份）。 证明如下： 给定囚徒B在第一阶段的选择D，则理性囚徒A在t=1阶段选择D的总期望效用为： V1D=(-1)+(0)+(-8)=-9 对应的战略分别为：理性囚徒A为(D,C,C) 囚徒B为(D,D,C),分离战略,参与人A（理性）的选择,若理性囚徒A在t=1第1阶段选择C，则囚徒B立即在t=2阶段判断出囚徒A的真实身份，从而囚徒B在t=2,3阶段将都选择C. 这样理性囚徒A也只有选择C；双方的战略分别为： 理性囚徒A(C,C,C) 囚徒B(D,C,C) 则理性囚徒A的总期望支付为： V1C=(0)+(-8)+(-8)=-16 所以理性囚徒A在第一阶段选择合作是最

12、优的。从而没有兴趣单方面偏离表4.8,参与人B（囚徒2）的选择,囚徒B有四种战略： （合作，合作，背叛）=(D,D,C)； （背叛，合作，背叛）=(C,D,C) ； （背叛，背叛，背叛）=(C,C,C)； （合作，背叛，背叛）=(D,C,C)。 但是根据在两次重复博弈的讨论，囚徒B的战略(D,C,C)显然不是最优的，故只需考虑前三种。,其次考虑囚徒B的战略：,给定理性囚徒1在第一阶段选择D（总战略为(D,C,C)），囚徒2选择(D,D,C)的总期望支付为： U2(D,D,C)=-1+p(-1)+(1-p) (-10)+p 0+(1-p) (-8)=17p-19 t=1 t=2 t=3 如果囚徒

13、2选择(C,C,C)，则整个三阶段重复博弈的路径变为：,考察囚徒B的战略（D，D，C）,t=1,t=2,A,非理性(p),理性型(1-p),B （理性型),合作D,X=C,合作D,背叛C,X=C,X=C,t=3,X=C,背叛C,背叛C,U2(C,C,C)=0+-8+-8=-16,考察囚徒2的战略（D，D，C）,因此只要U2(D,D,C) U2(C,C,C)，即 17p-19 -16 亦即 p 3/17 则囚徒2选择(D,D,C)优于(C,C,C)。 同理 若囚徒2选择(C,D,C)，则整个三阶段重复博弈的路径变为：,考察囚徒2的战略（D，D，C）,t=1,t=2,A,非理性(p),理性型(1-

14、p),B （理性型),D,C,D,C,C,D,t=3,D,C,C,此时，U2(C,D,C)=0+-10+p0+(1-p) (-8)=8p-18,考察囚徒2的战略（C，D，C）,因此只要U2(D,D,C) U2(C,D,C)，即 17p-19 8p-18 亦即 p 1/9 则囚徒2选择(D,D,C)优于(C,D,C)。 由于假定了p 2/9，故p 3/17和p 1/9都成立。 这说明，给定理性囚徒1的战略(D,C,C)情况下，囚徒2的最优选择为(D,D,C)。亦即没有兴趣单独偏离表4.8。,考察囚徒2的战略（D，D，C）,综合以上分析，只要囚徒A是非理性的概率p 2/9，表4.8所示的战略组合就

15、是一个精练Bayes Nash均衡。,关于囚徒2的战略（D，D，C）的结论,（五）结论1,1. 只要囚徒A是非理性的概率p 2/9， 下表所列战略组合是一个精炼纳什均衡： 非理性囚徒A采用“针锋相对战略”，理性型囚徒A采用(D，C，C)，即在第1阶段选择合作，然后在第2和第3阶段选择背叛； 囚徒2采用(D，D，C)，即在第1和第2阶段选择合作，然后在第3阶段背叛。,（五）结论2,2. 可以进一步证明，如果p 2/9, 对于所有T3，下表所列战略组合是一个精炼纳什均衡： 非理性囚徒1采用“针锋相对战略”，理性型囚徒1在t=1至t=T-2阶段一直选择合作，然后在第t=T-1和t=T阶段选择背叛；

16、囚徒2采用在t=1至t=T-1阶段选择合作，然后在t=T阶段背叛。,非合作阶段的总数量等于2，与T无关。背叛只在最后两阶段出现。,（五）结论3-4,3. 如果p0的概率是非理性的）。则不论p多么小，只要重复的次数足够多，合作均衡就会出现。,下面举例说明结论4：,（五）举例说明结论4,假定： 非理性囚徒选择触发战略（“冷酷战略”）： （1）开始选择D； （2）若在t阶段对方选择C，则从t+1阶段开始一直 选C直到T阶段（即绝不原谅对方的任何背信弃义行为）。 则Bayes法则推断后验概率就可以归结为：任何囚徒若在t=1阶段选择C，就将让对方识别为理性的囚徒身份。,（五）举例说明结论4,下面我们证明

17、：只要T足够大，对理性囚徒而言，在t=1选择C不是最优的。 以囚徒1为例： 如果他是理性的，且在t=1阶段选择C，则囚徒2将在第二阶段后识别他的身份。这样，博弈的可能路径是：,t=1,t=2,囚徒2,非理性(p),理性型(1-p),囚徒1 （理性型),D,C,D或C,C,C,C,t=3, ,C,C,C,此时，理性囚徒1的最大期望总支付为： u1C=0+-8+.+-8=-8(T-1),（五）举例说明结论4,（五）举例说明结论4,下面考虑： 如果囚徒1是理性的，但他在t=1阶段不选择C，比如他冒充非理性的，选择“冷酷战略”，结果会怎样呢？ 当囚徒2是非理性的（概率为p），则博弈的路径为：,t=1,

18、t=2.,理性型囚徒1冒充非理性,非理性囚徒2 （选择冷酷战略）,D,D.,D,D.,t=T,D,D,举例比较说明,此时，u1冷=(-1)+(-1)+.(-1)=-T,t=1,t=2.,理性型囚徒1冒充非理性,理性囚徒2,D,C.,C,C.,t=T,C,C,举例比较说明,当囚徒2是理性的（概率为1-p），则博弈的路径为：,此时，u1冷=(-10)+(-8)+.(-8)=-8T-2,举例比较说明,故理性囚徒1使用“冷酷战略”的总期望支付为： U1冷=p(-T)+(1-p) (-8T-2) 因此，若 p(-T)+(1-p) (-8T-2)-8(T-1) 即 T(3-2p)/7p 理性囚徒1使用“冷酷战略”比一开始就选择C更优。 从而说明理性囚徒1一开始就选择C不是最优的。,双方不完全信息的举例讨论,令T*=(3-2p)/7p，则T*随p值减小而递增。 如p=0.1时， T*=4 p=0.05时， T*=9（取整后）。 但无论p多么小，只要p0，总存在这样的T*，使当T T*时，理性囚徒在t=1选择C不是最优的。 一般地，有如下KMRW定理。,KMRW定理,在T阶段重复囚徒博弈中，如果每个囚徒都有p0的概率是非理性的，且T足够大，那么总存在T0T0阶段选择C（即不合作）。并且，非合