数列与函数的极限公式概念

1、极限和连续一、数列极限定义：1、给定的数列xn，当n无限大时，其通项xn无限接近某常数a时，数列xn以a为限度，记为limnxn=A或xnA(n)2、当数列xn以实数a为界限时，数列xn收敛到a，否则数列xn发散。二、数列极限的性质：1 )极限的唯一性：数列收敛的话，该极限是唯一的，如果limnxn=a，则limnxn 1=a2 )有界性：收敛数列有界(数列有界是数列收敛必要的不充分条件)3 )数列的界限：像数列一样，其界限是3也就是说三、需要记忆的常用数列的极限四、算法：如果原则：二、函数极限：函数极限limxf(x)=A的充分的必要条件是limx-f(x)=limx f(x)=A函数极限l

2、imxx0f(x)=A的充分的必要条件是limxx0-f(x)=limxx0 f(x)=A分段函数的极限与这点的定义的有无无关，只与左右的极限相关即，在limxx0fx中存在 limxx0-fx=limxx0 fx函数极限的性质：1 )极限的唯一性：如果函数f(x )在xx0 (或x)时有极限，则该极限是唯一的极限算法：假设limf(x)=A、limg(x)=B1)limf(x)g(x)=AB2)limf(x)g(x)=AB3)b0时，limf(x)g(x)=AB4)limcf(x)=climf(x) (c是常数)5)limf(x)k=limf(x)k (k是常数)总结： a00、b00时、l

3、imxa0x n1xn-1anb0x m1xm-1BM=a0b0n=m时、0nm时复合函数算法： limxx0fx=limuu0fu数列的夹入标准：有三个数列xnynzn，满足条件1 ) ynxnZn (n=1，2，)如果2)limnyn=limnzn=a，则数列收敛，limnxn=a假设函数剪辑的近似基准：函数f(x )、g(x )、h(x )在具有点x0的向心附近定义，满足条件1)g(x) f(x) h(x )。2 )存在limxx0g (x )=a，limxx0hx=A .界限limxx0fx，等于a单调有界规范：单调有界数列有限度。 也就是说，单调增加有上限的数列有限，即单调减少有下限

4、的数列有限有两个重要的界限重要界限:limx0 sinxx=1重要界限:limx(1 1x)x=e，limx0(1 x)1x=e无限的性质：1 )有限个无限小的代数和是无限小2 )有界变量和无限小的积是无限小的3 )常数和无限小的积是无限小的4 )有限的量无限小的积无限小5 )有限个无限小的积是无限小某个自变量的变化过程中的limf(x)=A的满足条件是f(x)=A (x ) .无限小的比较：=(x )，=(x )都是自变量在同一变化过程中的无限小如果lim=c (c0，常数)，则和为相同次数，可以说无限小.如果lim=1，则和等效地称为无限小，记为.如果lim=0，则和是高阶无限小，记为=o

5、()lim k=c(c0，k为正整数)，和被称为k次无限小.5.的满足条件是-为(或)的高阶无限小，即-=o或= o()6.、是自变量同一变化过程中的无限小，如果存在、lim，则lim=lim常用等价无穷小： 相乘的无限小因子可以替换为等价无穷小，不能加法、减法在x0的情况下，xsinxtanxarcsinxarctanxln (1x )ex-1；1-cosx x22； (1x ) a-1到ax (a0 ) ax-1到xlna (A0，a1 ) n1x-1到xn一般等价无限小：变量的情况1 x - 1 1 2 x。无限大：函数无限大在xx0时，如果f(x )无限大，则1f(x )是无限小的在X

6、X0时，f(x )为无限小，且在有x0向心附近f (x )0，1f (x )为无限大.注：分母的极限为0，不能使用商的算法初等函数：连续函数经过四则运算得到的函数还是连续函数所有初等函数在其定义区间内是连续的f(x )是初等函数，x0是其定义区间内点，limxx0fx=f(x0 ) .最大值定理：函数f(x )在闭区间a，b中连续时，它一定在a，b中具有最大值.有界性定理：函数f(x )在闭区间a，b连续时，它在a，b上成为有界.中值滤波器：如果函数f(x )在闭区间a，b中连续，并且f(a) f(b )，则对于f(a )和f(b )间的任意数，在开区间(a，b )内至少存在一点，以使f()=.零点定理(根的存在性定理):函数f(x )在闭区间a，b中连续，并且如果有f(a )和f(b )的异号(f(a)f(b)0)，则在开区间(a，