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文档简介

1、,第七节,齐次线性微分方程,基本思路:,求解常系数线性齐次微分方程,求特征方程(代数方程)之根,转化,第七章,1,学习交流PPT,一、定义,二阶常系数齐次线性方程：,二阶常系数非齐次线性方程：,二阶齐次线性方程：,如何求解,其中p,q为常数,二阶变系数齐次 线性微分方程,其中p,q不全为常数,2,学习交流PPT,二、二阶常系数齐次线性方程解法,-特征方程法,(1),由上节讨论可知, 可先求出微分方程(1)的它的两个线性无关的特解y1, y2，,那么c1y1+c2y2就是微分方程(1)的通解,当r为常数时，指数函数 y=erx 和它的各阶导数都只相差一个常数因子.由于指数函数有这个特点，因此我们

2、用y=erx来尝试看是否选取适当的r,使y=erx满足方程(1).,代入微分方程(1)，得,特征方程,(2),方程(2)的特征根,3,学习交流PPT,(1)特征方程有两个不相等的实根,两个线性无关的特解,得齐次方程的通解为,特征根为,(2)特征方程有两个相等的实根,一特解为,特征根为,求另一特解,要求,设另一特解为,则,4,学习交流PPT,因为这里只要得到一个不为常数的解，所以不妨选取,从而微分方程(1)的通解为,5,学习交流PPT,(3)特征方程有一对共轭复根,特征根为,欧拉公式,两个复数值特解为,重新组合得到微分方程的新特解,所以,微分方程(1)的通解为,6,学习交流PPT,二阶常系数齐次

3、微分方程求通解的一般步骤:,（1）写出相应的特征方程; （2）求出特征根; （3）根据特征根的不同情况,得到相应的通解.,7,学习交流PPT,解：,特征方程为：,解得：,故所求通解为,例1,解：,特征方程为,解得,故所求通解为：,例2,8,学习交流PPT,例3. 求解初值问题,解: 特征方程,有重根,因此原方程的通解为,利用初始条件得,于是所求初值问题的解为,9,学习交流PPT,n 阶常系数齐次线性方程解法,特征方程为：,10,学习交流PPT,注意：,n次代数方程有n个根, 而特征方程的每一个根都对应着通解中的一项, 且每一项各一个任意常数.,例4.,的通解.,解: 特征方程,特征根:,因此原

4、方程通解为,11,学习交流PPT,解: 特征方程:,即,其根为,方程通解 :,例5.,12,学习交流PPT,故通解为：,解：,特征方程为,1、,思考与练习,13,学习交流PPT,2、求方程,的通解 .,答案:,通解为,通解为,通解为,第八节,14,学习交流PPT,3、,为特解的 4 阶常系数线性齐次微分方程,并求其通解 .,解: 根据给定的特解知特征方程有根 :,因此特征方程为,即,故所求方程为,其通解为,15,学习交流PPT,1 .二阶常系数齐次微分方程求通解的一般步骤:,（1）写出相应的特征方程; （2）求出特征根; （3）根据特征根的不同情况,得到相应的通解.,小 结,16,学习交流PPT

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