数系发展课件

1、数系的发展,1,PPT学习交流,第一节 实数系统,2,PPT学习交流,实数系统,In This Section,一家人,数系扩 充概述,连续统 假设,3,PPT学习交流,德国著名数学家大卫希尔伯特曾经讲过一个精彩故事。在那里，希尔伯特成为一个旅馆的老板，这个旅馆不同于我们现实生活中的任何旅馆，它设有无穷多个房间。 一天，该旅馆所有的客房已满。这时，又来了一位客人坚持要住下来。,Hilbert 的旅馆,4,PPT学习交流,数系扩充概述,5,PPT学习交流,1. 实数系扩充历史,自然数是“数”出来的，其历史最早可以追溯到五万年前。,6,PPT学习交流,1. 实数系扩充历史,分数（有理数）是“分”出

2、来的，早在古希腊时期，人类已经对有理数有了非常清楚的认识，而且他们认为有理数就是所有的数。,7,PPT学习交流,1. 实数系扩充历史,无理数是“推”出来的，公元前六世纪，古希腊毕达哥拉斯学派利用毕达哥拉斯定理，发现了“无理数”。,毕达哥拉斯(约公元前560480年）,8,PPT学习交流,1. 实数系扩充历史,“无理数”的承认（公元前4世纪）是数学发展史上的一个里程碑。,9,PPT学习交流,1. 实数系扩充历史,负数是“欠”出来的，它是由于借贷关系中量的不同意义而产生的。我国三国时期数学家刘徽（公元250年前后）首先给出了负数的定义、记法和加减运算法则。,刘徽（公元250年前后）,10,PPT学

3、习交流,正数与负数， 有理数与无理数， 都是具有“实际意义的量”， 称之为“实数”，构成实数系统。 实数系统是一个没有缝隙的连续系统， 任何一条线段的长度都是 一个实数。,2. 复数系的产生与发展,11,PPT学习交流,2. 复数系的产生与发展,复数是“算”出来的。 复数最初是在解二次方程中出现的， 1484年，法国数学家舒开（Chuquet,1445-1500）在其算数三篇中，解方程式 4x23x，得根 x3/2(9/4-4)， 他声明这个根是不可能的。,12,PPT学习交流,2. 复数系的产生与发展,意大利波洛尼亚大学数学教授卡达诺对于复数的建立起到重要作用。,卡达诺(Cardano,15

4、01-1576),13,PPT学习交流,2. 复数系的产生与发展,1545年，卡达诺在大衍术中写到：“要把10分成两部分，使二者乘积为40，这是不可能的，不过我却用下列方式解决了。”,14,PPT学习交流,2. 复数系的产生与发展,1637年，法国数学家笛卡尔把这样的数叫做“虚数” （“想象中(imaginary)的数”）。,笛卡尔(R.Descartes,1596-1661),15,PPT学习交流,2. 复数系的产生与发展,1777年，瑞士数学家欧拉在其论文中首次用符号“i” 表示(-1)，称为虚数单位。,欧拉(L.Euler,17071783),16,PPT学习交流,2. 复数系的产生与发

5、展,在此之前的1748年，欧拉给出了著名公式 eix cosx + i sinx 发现了复数与三角函数的关系。,17,PPT学习交流,2. 复数系的产生与发展,1799年德国数学家高斯已经知道复数的几何表示；1831年，他用数对来代表复数平面上的点：(a,b)代表 a+bi 。,高斯(Carl Friedrich Gauss，17771855),18,PPT学习交流,2. 复数系的产生与发展,(a,b) a+bi,a,b,19,PPT学习交流,2. 复数系的产生与发展,18世纪后期，随着复数与三角函数关系的揭示，复数的平面坐标的表达等，复数的意义逐渐被明确； 19世纪上半叶，复变函数理论建立并

6、得到广泛应用。,20,PPT学习交流,2. 复数系的产生与发展,1873年，我国数学家华衡芳(18331902)将意大利数学家邦贝利（Bangbeili 15301590） 代数术翻译为中文，将 “虚数”引入中国。,21,PPT学习交流,复数系 是保持四则运算基本性质的 最大数系,3 超复数的产生,22,PPT学习交流,3. 超复数的产生,1843年爱尔兰数学家哈密尔顿 发现有序四元实数组完全可以组成一个数系叫“四元数”，这是一个乘法不满足交换律的数系。,哈密尔顿 （Hamilton, William Rowan, 18051865）,23,PPT学习交流,3. 超复数的产生,1847年，英国

7、数学家凯莱进一步发现了八元数。这个数系的乘法不满足交换律，也不满足结合律。,凯莱(Cayley,Arthur. 1821-1895),24,PPT学习交流,自然数N 整数Z 有理数Q 实数R 复数（二元）C 四元数（乘法不可交换） 八元数（超复数） （乘法不可交换，也不能结合）,4 数系扩充的科学道理,25,PPT学习交流,4. 数系扩充的科学道理,逆运算在数系的扩充中扮演着极为重要的角色： 逆运算的运算法则来源于正运算，因此比正运算困难，以致可能出现无法进行的现象，从而必须引进新东西，使数系得以扩展。,26,PPT学习交流,4. 数系扩充的科学道理,自然数中减法产生0和负数， 整数系统； 整

8、数中除法产生分数， 有理数系统； 自然数中开方产生无理数， 实数系统； 负数中开方产生虚数， 复数系统。,27,PPT学习交流,数系的每一次扩充， 基本都是运算的需要,1 实数的结构,28,PPT学习交流,5. 实数的结构,实数中正、负数、有理数都是容易被认识的，而无理数则是神秘的、复杂的、难以被认识的； 实数中，整系数代数多项式的根叫代数数，例如，1，1/2，31/2，其中有理数是整系数一次多项式的根； 实数中不是代数数的数叫超越数，例如，e。,29,PPT学习交流,6、数集的地位,30,PPT学习交流,6. 数集的地位,31,PPT学习交流,6. 数集的地位,32,PPT学习交流,6. 数

9、集的地位,33,PPT学习交流,6. 数集的地位,34,PPT学习交流,6. 数集的地位,在这里：,有理数集,35,PPT学习交流,有理数集,36,PPT学习交流,1. 有理数的代数属性,有理数集是最小的数域 有理数集在四则运算下是封闭的，而且加法、乘法满足结合律与交换律，并且满足乘法对加法的分配律，具有这种性质的数集叫做数域。,2. 有理数的几何属性,37,PPT学习交流,2. 有理数的几何属性,有理数在数轴上是稠密的、和谐的。 稠密性：任意两个有理数之间，必然存在第三个有理数，而不管这两个有理数有多么接近。 和谐性：有理数之间相处得亲密无间，对任意一个给定的有理数，永远找不到一个与之最接近

10、的有理数。,38,PPT学习交流,2. 有理数的几何属性,这里有有理数,这两位之间有有理数,3. 有理数的集合特点,39,PPT学习交流,3. 有理数的集合特点,有理数是可数的与自然数一样多 比较两个有限数量的东西孰多孰少的基本思想是直接或间接的一一对应。 1874年起，德国数学家康托开始研究这类问题，他将一一对应的思想应用于比较无穷集的元素多少问题。,40,PPT学习交流,康托（Georg Cantor; 18451918）,1845年出生于圣彼得堡，犹太人后裔。 11 岁时进入德国，1867 年获柏林大学的博士学位，1872 年升为教授。 1874 年开始研究比较无穷集的元素多少问题。,4

11、1,PPT学习交流,先数数偶数,这个世界上，正偶数多一些，还是正整数多一些呢？,12345678,246810121416, ,知道了： 所有正整数和所有正偶数都一样多！,42,PPT学习交流,再数数平方数,这个世界上，平方数多一些，还是正整数多一些呢？,12345678,1222324252627282, ,知道了： 所有平方数和所有正整数都一样多！,43,PPT学习交流,可数集,像自然数这样可以排成一列或者可以一个一个数下去的无限集叫做可数集。 因此偶数数集、平方数集都是可数集。,44,PPT学习交流,1(1 , 1),2 (2 , 1) 3 (1 , 2),4 (3 , 1) 5 (2

12、, 2) 6 (1 , 3), ,结论：格点数量 = 整数数量,看看格点与整数的比较,45,PPT学习交流,整数、格点与有理数的比较,123456 (1 , 1)(2 , 1)(1 , 2)(3 , 1)(2 , 2)(1 , 3),结论：整数数量=格点数量 =分数数量,46,PPT学习交流,有理数是可数集,有理数集是可数集,4. 有理数的长度为0,47,PPT学习交流,4. 有理数的长度为0,有理数在数轴上所占的长度为0 如果我们采取某种手段将全体有理数在数轴上挤压在一起，使其彼此之间没有重叠、也没有缝隙，它们能占用多大的长度？,48,PPT学习交流,总结一下,从代数上看， 有理数在四则运算

13、下是封闭的， 构成一个数域； 从几何上看，有理数在数轴上是稠密的， 因此，要去度量任何一件实际事物， 不论要求多高的精度， 只要有理数就够了； 从测度上看，有理数很“轻巧”， 它们是可数的， 在数轴上所占用的长度为0,49,PPT学习交流,总结一下,说说有理数的缺陷,实数集,50,PPT学习交流,实数集,51,PPT学习交流,1. 实数理论的建立,由于有理数有许多不完备的地方，如果不对有理数进行扩充，关于极限的运算就无法进行，从而也就不会有微积分。 有理数扩充的直接结果是实数集。 关于实数，长期以来，人们只是直觉地去认识：有理数是有限小数或无限循环小数，无理数是无限不循环小数，有理数与无理数统

14、称为实数。,52,PPT学习交流,1. 实数理论的建立,19世纪，德国数学家 康托（G. Cantor, 1845-1918）、 戴德金(J. W. R. Dedekind, 18311916) 、 魏尔斯特拉斯（ K. W. T. Weierstrass, 18151897 ） 通过对无理数本质进行深入研究，奠定了实数构造理论。,53,PPT学习交流,康托（Georg Cantor; 18451918）,1845年出生于圣彼得堡，犹太人后裔。 11 岁时进入德国，1867 年获柏林大学的博士学位，1872 年升为教授。 1874 年开始研究比较无穷集的元素多少问题。,54,PPT学习交流,魏

15、尔斯特拉斯K.W.T., Weierstrass,K.T.W Weierstrass (18151897) 德国数学家 先修财务、管理、法律，后学数学 1854年，哥尼斯堡大学名誉博士；1856年，柏林科学院院士 数论、几何、复分析,55,PPT学习交流,戴德金R. (Dedekind, Richard _1916 ),戴德金R. (Dedekind, Richard) 1831年10月 6日生于德国不伦瑞克； 1916 年2月12 日卒于不伦瑞克。 数学家。,2. 实数集的代数属性,56,PPT学习交流,2. 实数集的代数属性,实数集是数域 实数集在四则运算下是封闭的，而且加法、乘法满足结合

16、律与交换律，并且满足乘法对加法的分配律。 要严格地证明这一点是困难的，它需要考虑实数的有序性、四则运算的具体定义等。,3. 实数集的几何属性,57,PPT学习交流,3. 实数集的几何属性,实数在数轴上是连续的、无缝的。 （1）数学分析中有六个等价命题 单调有界数列收敛原理； 致密性定理； Cauchy收敛准则; 确界定理； 聚点原理； 闭区间套定理； 有限覆盖定理.,58,PPT学习交流,3. 实数集的几何属性,（2）可以进行极限运算这是微积分建立的基础,4. 实数集的集合特点,59,PPT学习交流,4. 实数集的集合特点,实数集是不可数的与自然数不能建立1-1对应。,60,PPT学习交流,实

17、数集是不可数的,实数集是不可数集,无限集合的基数,61,PPT学习交流,无限集合的基数,62,PPT学习交流,1. 集合的基数,我们知道：自然数集、整数集、奇数集、偶数集、平方数集、有理数集、实数集等都是无限集它们的元素都有无穷多个。但是它们也有区别，比如：有理数集等都是可数集，而实数集是不可数集。 因此，从对等的角度来看，实数比有理数更多一些。,63,PPT学习交流,1. 集合的基数,我们把描述一个集合元素个数多少的量叫做这个集合的基数； 可数集的特征是：其元素可以排成一列或者可以一个一个数下去。其基数记为0 （读作：阿列夫0）. 因此奇数数集、偶数数集、平方数集、有理数集等的基数都是0 。

18、,2. 可数基运算,64,PPT学习交流,2. 可数基运算,可数基0运算性质： 0 +n = 0 0 +0 = 0 ， n0= 0 00= 0 ，(0)n = 0,65,PPT学习交流,3. 代数数集是可数集,整系数代数多项式（代数方程）的根叫代数数 代数数的个数（基数）是 0,66,PPT学习交流,4. 实数集是不可数的,实数集是不可数的，其基（连续统基数）记为 1 。 1 0,总结一下,67,PPT学习交流,总结一下,实数（不可数）,无理数 (不可数),超越数 (不可数),68,PPT学习交流,总结一下,有理数集可数（基为 0 ） 无理数集不可数（基为 1 ） 代数数集可数（基为 0 ）

19、超越数集不可数（基为 1 ）,5. 连续统基数运算,69,PPT学习交流,5. 连续统基数运算,连续统基数1运算性质 1 +n +0 = 1 1 + 1 = 1 ， n1= 1 01= 1 ，(1)n = 1,6. 超越数知多少,70,PPT学习交流,6. 超越数知多少？,实数中不是代数数的数叫超越数，超越数有1个。 最早认识的超越数刘维尔数（1851年） L=1/10n!=0.11000100000, 其中的1分布在小数点后第1，2，6，24，120，720，5040，等处。,71,PPT学习交流,6. 超越数知多少？,最熟悉的超越数：自然对数的底e，圆周率 ，光速，万有引力常数 其中e的超

20、越性由Hermit在1873年证明, 的超越性由Lindemann在1882年证明.,认识超穷数,72,PPT学习交流,认识超穷数,73,PPT学习交流,超穷数,0 和 1 都表示的是无限集的个数，它们从本质上都代表无穷，但又有所区别，称这样的数为超穷数。,1. 幂集的基数,74,PPT学习交流,1. 幂集的基数,设M是一个集合，由M的所有子集构成的集合称为M的幂集。记为 P(M)或 2M. 例 M= , P(M)= M=1, P(M)=,M M=1,2, P(M)=,1,2,M M=1,2,3, P(M)= ,1,2,3,1,2,1,3,2,3,M,75,PPT学习交流,1. 幂集的基数,M

21、=, P(M)=； |M|= 0, |P(M)| = 1； M=1, P(M)=,M； |M|= 1, |P(M)| = 2； M=1,2, P(M)=,1,2,M； |M|= 2, |P(M)| = 4； M=1,2,3, P(M)=,1,2,3,1,2,1,3,2,3,M； |M|= 3, |P(M)| = 8。,76,PPT学习交流,1. 幂集的基数,一般地，可以证明，对有限集M，永远有 |P(M)| = 2|M| 问题：无限集的结论如何？,2. Cantor没有最大基数定理,77,PPT学习交流,2. Cantor没有最大基数定理,Cantor定理 对任意集合M，总有 |P(M)|=

22、2|M| |M| 即 P(M)与 M不对等。,3. 为什么叫1 ？,78,PPT学习交流,3. 为什么叫1 ？,连续统基数 1= 2 0 证明思想： （- ， +） (0, 1) 0，1N （用二进制表示：ak/2k, ak=0,1）,4. 认识超穷数,79,PPT学习交流,4. 认识超穷数,0,1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 1/2 , 1/3 , 1/4 , 2/3 , 3/2 , 1/5 , 1/6 , 2/5 , 3/4 , 4/3 , 5/2 , 22/7 , 113/355 , 52163/16604 , 17/12 ,