图像傅里叶变换.ppt

1、研究生课程，数字图像处理与分析，杜红，电子邮件：第3章傅立叶变换，傅立叶变换，为什么我们要研究频率分量和图像在频域中出现的对应关系来进行图像增强？一些难以在空间域中表达的增强任务在频域中变得非常常见。滤波在频域中更直观。它可以解释空间域滤波的一些性质。它可以指定频域中的滤波器并进行逆变换，然后使用结果滤波器作为空间和域中的空间域滤波器的指南。一旦通过频域实验选择了空间滤波，它通常在空间域中实现。定义了傅立叶变换。一维连续傅里叶变换和逆变换，单变量连续函数f(x)的傅里叶变换F(u)定义为，给定F(u)，f (x) ej2uxdx，f (u) 1可通过逆傅里叶变换获得，其中j，f (u) ej2

2、uxdu，Fxcos (2ux)/mjsin (2ux)/m，fxcos2ux/mjsin2ux/m，一维离散傅里叶变换和逆变换，j，m1x0，1m，f (u)，fxej (2ux) 振幅或频谱为1 2 R(u)和I(u)分别是F(u)的实部和虚部，相位角或相位谱为Iu Ru，傅里叶变换，普夫Ru Iu，傅里叶变换极坐标，功率谱为，离散表示为f(x)，F x f x x x x，x 0，1，2，m 1，f u f u u u，u 0，1，2，m 1，傅立叶变换，傅立叶变换定义，Fu，v Ru，v Iu，v，2 2，u，变量，幅度或频谱分别为1 2 R(u，v)和I(u，v)，分别为F(u，v)

3、的实部和虚部，相位角或相位谱为Iu，v Ru，v，傅里叶变换，Pu，v Fu，v Ru，v Iu，v，f x，y 1，在速率坐标中功率谱为(M/2，N/2)，速率坐标是MN区域的中心，u=0，1，2，m-1，v=0，1，2，n-1， v)原点处的傅立叶变换等于图像的平均灰度，M 1，N，1，x0，y0，1，MN，F0，0，傅立叶变换，如果f(x，y)是实函数，则其傅立叶变换是对称的，即，Fu，v，Fu，v，并且傅立叶变换的频谱是对称的Fu，v，v，v. 1。 2.3.4.5.6.7.8.9.平移性质分布规律标度变换(scaling)，旋转周期性和共轭对称平均值的可分性之间的卷积相关，傅立叶变换

4、，1。傅立叶变换对的平移性质，(1) (2)，公式(1)表明，f(x，Y)乘以一个指数项相当于将其变换后的频域中心移动到一个新的位置。公式(2)表明，将F(u，v)乘以指数项相当于将其变换的空间域中心移动到一个新的位置。公式(2)表明f(x，y)的平移不影响其傅里叶变换幅度FX，yej2u0x/mv0y/nfuu0。表示函数与其傅里叶变换、傅里叶变换、1、fx、y1、1之间的对应关系。傅立叶变换对的平移性质(续)当u0=M/2，v0=N/2时，引入(1)和(2)，得到，e，xy，e，e。根据傅立叶变换的定义，我们可以得到f1x，yf2x，yf1x，yf2x，yf2x，yf2x，yf2x，yf2

5、x，yf2x。傅立叶变换。标度变换(scaling)给出了两个标量a和b，可以证明以下两个公式适用于傅立叶变换：af x，y aFu，v，Fu /a，v/b，1 ab，fax，by，傅立叶变换，4。旋转引入极坐标xrcos、yrsin、ucos、vsin，将f(x，y)和F(u，v)转换为fr和F。将它们带入傅里叶变换对得到fr，0 F，0，f(x，y)旋转角度0，F(u，v)也将旋转相同的角度F(u，v)旋转角度0，f(x，y)也将旋转相同的角度，傅里叶变换，5。周期性和共轭对称性，虽然F(u，v)但f(x，y)只能由F(u，v)在任何周期内的n个值得到，而F(u，v)只能在频域内由一个周期

6、内的变换完全确定。同样的结论也适用于空间域中的f(x，y)，fu，v fu m，v fu m，v n fu m，v n FX，y FX m，以上公式表明，傅里叶变换、伏、伏、伏、伏。周期性和共轭对称性如果f(x，y)是实函数，其傅里叶变换具有共轭对称性fu，v fu，v，其中F*(u，v)是F(u，v)的复共轭。复习：当两个复数的实部相等，虚部相反时，这两个复数称为共轭复数。对于一维变换F(u)，周期性意味着F(u)的周期长，度数为m。对称性意味着频谱关于原点对称。周期性和共轭对称性、半周期傅里叶谱、二维图像的傅里叶谱以及以傅里叶FX、yej2vy/n、x0、y0、1m1j2ux/m1n1、F

7、x、v、x0e、6为中心的全周期傅里叶谱的示例。f (x，v)是沿f(x，y)线的傅立叶变换。当x=0，1，m-1时，沿f(x，y)的所有线计算傅立叶变换。分离符，v，e，M，N，1，M，j2ux/M，傅立叶变换，6。通过首先计算沿着输入图像的每一行的一维变换，然后计算沿着中间结果的每一列的一维变换，可以改变分离二维傅立叶变换的整个过程，即，上述类似的过程也可以计算二维逆傅立叶变换、傅立叶变换、fx、y、fx、y、Fx、y、7。平均值由二维傅里叶变换定义，m1n1x 00，1mn，fu，v，FX，yej2ux/mvy/n，m1n1x 00，1mn，所以F0，0，m1n1x 00，1mn，傅里叶

8、变换，FX。上述公式表明，如果f(x，y)是一幅图像，则原点的傅里叶变换等于该图像的平均灰度，傅里叶变换，fm，nhxm，yn，8。卷积的理论大小是两个函数f(x，y)和h(x，y)的色散和卷积，MN，1Mm N0，FX YFu，vHu，v fx，yhx，YFu，vHu，v，傅里叶变换，f m，nhxm，yn，FX，yhx，yFu，vHu，v，9。关于实函数，f*f，相关定理，1 M1N1 * MN m0 n0，性被定义为fx，yhx，y，fx，yfx，yF*u，vHu，v *，傅立叶变换，fx，yfx，yfu，v ru，v iu，v，FX，y fu自相关理论2 2 2 2注：复数及其共轭的乘

9、积是复数模的平方，傅立叶变换，卷积相关性的重要应用在于匹配：确定是否存在感兴趣或感兴趣的对象区域，f(x，y)是原始图像h(x，y)作为对象或感兴趣区域(模板)。如果匹配，两个函数的相关值将在对应点的位置达到最大值，在H，傅里叶变换、相关匹配的例子中，图像f(x，y)，模板h(x，y)，扩展图像f(x，y)相关函数图像，扩展图像h(x，y)通过水平灰度轮廓的相关图像的最大值，傅里叶变换，傅里叶变换及其逆傅里叶变换的性质快速傅里叶变换(FFT)，只考虑一维情况， 根据傅里叶变换和变换的分离，二维傅里叶变换可以通过两个连续的一维傅里叶变换获得，快速傅里叶变换，为什么需要快速傅里叶变换？ 快速傅立叶

10、变换只需要进行102次运算，并且快速傅立叶变换算法和原始变换算法的计算量之比是log2m/m。如果M=1024103，原始变换算法需要106次运算，而快速傅立叶变换需要104次运算，快速傅立叶变换和原始变换算法的计算量之比是1: 100，110，Fu，FXE2UX/m.对于u的M个值中的每一个，都需要M次复数乘法(f(x)乘以ej2ux/M)和M-1次加法，也就是说，复数乘法和加法的次数都与m2成正比、快速傅立叶变换算法的基本思想是基于一种称为逐次加倍的方法.将原始傅立叶变换成两个递归公式，M 1 x0，1 M，fu，快速傅立叶变换(FFT)，12，Fevenufod Duw2uk，Fu，12

11、，Fevenufodduw2uk，fuk，Fxej2ux/Mu0，1，2，其中：M=2K费文(u)，Fodd(u)是k点的傅立叶值，u 0，1，2，M 1，FFT，12，fevenufod duw2uk，fu，12，fevenufodduw2uk，fu k，为了方便起见，离散傅里叶变换的公式由下面的公式表示，其中它是常数，1mmx0，fu，fxej2ux/m，快速傅里叶变换(FFT)，M 1 x0，fxWM ux，1m，WM e j2 /M，快速傅里叶变换(FFT)假设M的形式是M 2n作为正整数。因此，M可以表示为M2K，它将M=2K带入上述公式，2K x 0，fxw2uxk，12k，fu，

12、11ku2x1ku2x12k，212k k w w x f u f，2k w x f，FFT。由此推断，上述公式为，wmej2/m. 11k1ux 1k1ux 2kx0 kx0，w22kux ej2 (2ux)/2kej2 (UX)/kwkux，x0，x0，FFT定义了两个符号，f2xwkux，1k k，fevenu，f2x1wkux，1k k，Foddu，u0，1，2，k1，fevenufod duw2k，通过快速傅立叶变换得到快速傅立叶变换的第一个公式，它表明F(u)可以由奇数和偶数部分之和，u，12，fu，wkuej2wku1，w，w2ukej1w2uk1计算。WK u，2，uK 2K，

13、e，j2uK/2K，e2u/2Kej，WK uK e j2 (uK)/K e j2u/Ke j2，W2uK，1、f2xW2K，x 0 f2x1W2K、f2xWK，f2x1WK uKxW2K uK，f2xWK，x 0、F2x1WK ux W2uK，快速傅立叶变换(FFT)，K1x0，K1x0，ukx，1k，112k，fxw2kukx 最后得到了两个快速傅里叶变换公式：1 2 Fevenu FodduW2uK，Fu K，u，1 2，Fu，并对这些表达式进行了分析，得到了一些有趣的特性：m点的变换，可通过将原表达式分成两部分来计算。 求Feven(u)和Fodd(u)的奇、偶部分之和，求F(u)的第一个(M/2)值的奇、偶部分之差，求F(u)的最后一个(M/2)值。并且不需要额外的变换计算，快速傅立叶变换，并总结了快速傅立叶变换的思想：(1)通过计算两点的离散傅立叶变换来计算两点的离散傅立叶变换，(2)通过计算两点的离散傅立叶变换来计算四点的离散傅立叶变换，等等。(3)对于任何N=2m的密度泛